1.1 第2课时 数列的递推公式及数列的性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

本讲义聚焦数列的递推公式、单调性及an与Sn的关系核心知识点，从递推公式的含义与应用切入，衔接数列单调性的判断与性质应用，结合an与Sn的关系实现从和到项的转化，构建完整学习支架。 通过钢管堆放情境引入递推公式培养数学眼光，例题中累加法累乘法训练逻辑推理与数学运算素养，斐波那契数列故事渗透数学文化。课中助力教师分层教学，课后作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　数列的递推公式及数列的性质 学习任务 核心素养 1．理解递推公式的含义．(重点) 2．掌握递推公式的应用．(难点) 3．掌握数列的简单性质并能应用．(重点) 1．借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养逻辑推理素养． 2．通过利用数列的性质求数列的最值，培养数学运算素养． 观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 知识点1　数列的递推公式 如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 1．所有数列都有递推公式吗？ [提示]　不一定．例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式． 2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)就能确定这个数列吗？ [提示]　不能．数列的递推公式是由初始条件和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始条件，那么这个数列是不能确定的． 知识点2　数列的单调性 1．递增数列 一般地，对于一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列． 2．递减数列 对于一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1＜an，那么这个数列叫作递减数列． 3．摆动数列 对于一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列． 4．常数列 各项都相等的数列叫作常数列． 1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 [答案]　A 2．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 A　[an＋1－an＝3n+1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．] 知识点3　数列中an与Sn的关系 对于数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝ 类型1　由递推公式求数列中的项 【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． [解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)， 且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8． 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8． (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝． 故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝． 　根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． [跟进训练] 1．已知数列{an}，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N＋，且n＞1)，写出数列{an}的前5项． [解]　∵an＝3an－1＋且a1＝1． ∴a2＝3×1＋＝， a3＝3×＝10， a4＝3×10＋＝， a5＝3×＝91． 类型2　数列的单调性及应用 【例2】　【链接教材P9例7】 已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n(n∈N＋)，判断数列{an}的单调性． [解]　法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则 an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2＞0， 即an＋1＞an(n∈N＋)，故数列{an}是递增数列． 法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)， 则＝＝·＞1． 又an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列． 法三：令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝＜1，则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列． 【教材原题·P9例7】 例7　判断下列数列{an}的单调性： (1)an＝1－10n； (2)an＝． [解]　(1)因为an＋1－an＝(1－10n+1)－(1－10n) ＝－9·10n<0， 所以an＋1<an， 即数列{an}是递减数列． (2)因为an＋1－an＝ ＝>0， 所以an＋1>an， 即数列{an}是递增数列． 　数列单调性的判断方法 (1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an＋1和an的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法． (2)利用数列的单调性确定变量的取值范围．解决此类问题常利用以下等价关系： 数列{an}递增⇔an＋1>an(n∈N＋)； 数列{an}递减⇔an＋1<an(n∈N＋)． [跟进训练] 2．已知数列{an}满足an＝n2＋λn(n∈N＋)，且对任意 n∈N＋，an＜an＋1恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．λ＞0　　　　　　　 B．λ＜0 C．λ≥－2 D．λ＞－3 D　[法一(通解通法)：因为对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是递增数列．由an＝n2＋λn知(n，an)(n∈N＋)是函数f (x)＝x2＋λx图象上的点，而函数f (x)图象的对称轴为x＝－，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an＜…即可．欲满足上述不等关系，需－＜，解得λ＞－3． 法二(优解)：由题意得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ＞0恒成立，即λ＞－(2n＋1)恒成立．而n∈N＋，所以λ＞－3．] 类型3　由递推公式求通项 【例3】　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N＋且n≥2，求通项公式an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an． [解]　(1)由an－an－1＝(n≥2)得， ∴a2－a1＝； a3－a2＝； a4－a3＝； … an－an－1＝． 以上各式累加得，an－a1＝＋…＋ ＝＋…＋＝1－． ∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)． 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式， ∴an＝－(n∈N＋)． (2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)， ∴＝，an＝×…××a1＝×…××1＝． 又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N＋)． [母题探究] 1．本例条件变成“a1＝1，an＋1＝”，求数列{an}的通项公式． [解]　由an＋1＝得＝． 即＝． 又∵a1＝1， ∴＝＋…＋ ＝＋1＝＋1＝． 又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝． 2．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N＋)”，写出数列的前5项，猜想an并加以证明． [解]　由a1＝2，an＋1＝3an，得a2＝3a1＝3×2， a3＝3a2＝3×3×2＝32×2， a4＝3a3＝3×32×2＝33×2， a5＝3a4＝3×33×2＝34×2， …， 猜想：an＝2×3n-1， 证明如下：由an＋1＝3an得＝3． 因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3． 将上面的n－1个式子相乘可得 ···…·＝3n-1． 即＝3n-1，所以an＝a1·3n-1，又a1＝2， 故an＝2·3n-1． 　 1．由递推公式求通项公式常用的两种方法 (1)累加法：当an＝an－1＋f (n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式． (2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式． 2．本题在累加或累乘时，常因忘记“n≥2”这个条件，而造成错把缺项的式子看成等式而出错． 类型4　an与Sn的关系 【例4】　已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式． (1)Sn＝3n－7； (2)Sn＝2n2－30n． [解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝－4， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－7－(3n-1－7)＝2×3n-1． 显然a1＝－4不适合上式， 所以an＝ (2)因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32． 显然a1＝－28适合上式，所以an＝4n－32，n∈N*． 　由前n项和求通项公式的步骤 (1)先利用a1＝S1，求出a1． (2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式． (3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an． [跟进训练] 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an． [解]　当n＝1时，a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n-1＝2·3n-1． 当n＝1时，代入an＝2·3n-1得a1＝2≠3． ∴an＝ 1．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是(　　) A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2) C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2) C　[A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．] 2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2，n∈N＋)，则a5＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． D　[由条件可求得，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝，故选D．] 3．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N＋)，则an＝________． 　[由条件知n≥2时， a1a2a3…an－1＝(n－1)2， ∴两式相除得an＝， 又因a1＝12＝1．不适合于an＝， ∴an＝] 4．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)，则a7＝________． 1　[由an＋1＝an＋an＋2知an＋2＝an＋1－an， 又∵a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－2，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝1．] 5．已知数列an＝，则数列中的最小项是第________项． 5　[由于an＝＝， 所以当n≥6时，an>0， 且单调递减，当n5时，an<0，且单调递减． 所以当n＝5时，an取得最小值．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)数列的递推关系式有什么特点？它与通项公式的区别是什么？ [提示]　数列的递推公式是反映数列的相邻两项或多项之间的关系式，而通项公式是数列中的项与序号之间满足的函数关系式，它们的优缺点如下： 项目 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，也有利于对数列性质的研究 一些数列的通项公式表述困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 (2)数列的递推关系满足什么特点时，可以用累加法和累乘法求通项an? [提示]　①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决． (3)一般用什么方法求数列{an}的最大值和最小值？ [提示]　①利用数列的单调性确定数列的最大(小)项．当数列不单调时，还需解不等式an＋1－an＞0来确定数列的单调性． ②通过解不等式组来确定，即设第k(k∈N＋，k＞1)项是数列的最大(小)项，则求出k的正整数值后代入通项公式即得最大值(最小值)． 数列的由来 从前，有一个穷光棍，平时只知好吃懒做，不肯踏踏实实做事情，还经常想入非非做发财梦．一天，他在路边捡到一个鸡蛋，他非常高兴，捧着鸡蛋就在脑子里盘算开了：“我借别人的母鸡把这个蛋孵成小鸡，等小鸡长大了，就可以生蛋，我再把生的蛋孵成鸡，这些鸡又可以生更多的蛋，蛋又可变成更多的鸡……过不了几年，我就可以把蛋和鸡去换许多钱，然后可以盖新房，还可以娶个漂亮媳妇，生儿育女……”他越想越高兴，不禁得意忘形手舞足蹈，忽听“啪”的一声，鸡蛋掉在地上，碎了！懒汉看着摔碎了的鸡蛋，放声痛哭：“哎呀，我的宝贝！我的房子呀！……” 上面这则笑话流传已久，对我们很有教育意义，然而恐怕谁都没有认真计算过：如果鸡蛋没有打碎，几年后这个懒汉究竟有多少只鸡，多少个蛋呢？不过，公元1202年，一位意大利比萨的商人斐波那契(Fibonacci，约1170－1250？)在他的《算盘全书》(这里的“算盘”指的是计算用的沙盘)中提出过一个“养兔问题”，却被无数人算过．这道题说的是： 某人买回一对小兔，一个月后小兔长成大兔．再过一个月，大兔生了一对小兔，以后，每对大兔每月都生一对小兔，小兔一个月后长成大兔．如此下去，问一年后此人共有多少对兔子？ 你能算清吗？不少同学恐怕看完题就已经动手算了，而且很快就算出了答案．不过对不对可不敢保证．说实在的，这题要算对并不那么容易，这可要不慌不忙细心地算才行． 通常可以列一个表来算这个题： 填了几行后，你就可以总结出几条结论： (1)每个月的大兔子数就是上个月的兔子总数．(因上个月的小兔这个月都长成大兔) (2)每个月的小兔子数就是上个月的大兔数．(因上月大兔子这个月都需生一对小兔，而上个月的小兔这个月长成大兔但不生兔子．)由(1)可知：每月小兔数就是前月的兔子总数． (3)每月兔子总数是当月大、小兔子数的和．由(1)、(2)知每月兔子数就等于上月与前月这两个月兔子数的和． 若记第n个月的兔子数为fn，就有 f0＋f1＝f2，f1＋f2＝f3，f2＋f3＝f4，…． 一般的，有fn－2＋fn－1＝fn．有了这个规律，填这个表就很容易了． 你看，养一对兔子，一年之后就会发展壮大成了一个养兔场了． 按这个规律，可以把兔子数一直写下去： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，…． 这样得出的一列数就称为“斐波那契数列．” 波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中提出一个问题： 一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝又可每年长出一条新枝，如此下去，十年后新枝将有多少？ 这恰好也可以得到“斐波那契数”． 人们从“斐”数出发得到了很多有益的和有趣的结果．比如“斐”数与黄金分割(0.618)的关系，直到现在还在优选法和运输调度理论中起着基本原理的作用；又如种向日葵的农场主在葵花籽的分布规律上发现了“斐”数，乃至好多植物的花瓣叶序上发现的“斐”数奇观形成了至今未解的“叶序之迷”．可见一个“养兔问题”竟揭示了大自然的一个普遍存在的奥秘． 课时分层作业(二)　数列的递推公式及数列的性质 一、选择题 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　) A．an＝n　　　　　　　　 B．an＝n＋1 C．an＝2n D．an＝2n－1 D　[由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D．] 2．(多选题)符合递推关系式an＝an－1(n≥2且n∈N＋)的数列是(　　) A．1，2，3，4，… B．1，，2，2，… C．，2，2，4，… D．0，，2，2，… BC　[A不对，B、C经验证符合an＝an－1，D中，因为首项为0，故不正确，故选BC．] 3．已知数列{an}，a1＝1，ln an＋1－ln an＝1，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝n B．an＝ C．an＝en-1 D．an＝ C　[由题知ln an－ln an－1＝1， ln an－1－ln an－2＝1， … ln a3－ln a2＝1， ln a2－ln a1＝1， 以上各式累加得ln an－ln a1＝n－1， ln an＝n－1＋ln a1，又a1＝1， ∴ln an＝n－1，∴an＝en-1．] 4．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．6 B　[由an＋1＝＋1，a1＝1得，a2＝＋1＝3，a3＝＋1＝，a4＝＋1＝．故选B．] 5．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 C　[因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9．] 二、填空题 6．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为________． an＝2n　[因为2Sn＝(n＋1)an，n∈N*， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，n∈N*， 两式相减得2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 整理得nan＋1＝(n＋1)an， 得＝，n∈N*，所以为常数列， 所以＝＝2，所以an＝2n．] 7．(教材P9例8改编)在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列的最大项的值是________． 108　[an＝－2n2＋29n＋3对应的抛物线开口向下，对称轴为n＝－＝＝7， ∵n是整数，∴当n＝7时，数列取最大值，此时最大项的值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108．] 8．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫作三角形数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第2 026个三角形数与第2 025个三角形数的差为________． 2 026　[由条件可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，所以可推测a2 026－a2 025＝2 026．故应填2 026．] 三、解答题 9．(源自苏教版教材)试分别根据下列条件，写出数列{an}的前5项： (1)a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*； (2)a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*． [解]　(1)因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*， 所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4， a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8， a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16． 因此，数列{an}的前5项依次为1，2，4，8，16． (2)因为a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*，所以 a2＝2－＝2－＝， a3＝2－＝2－＝， a4＝2－＝2－＝， a5＝2－＝2－＝． 因此，数列{an}的前5项依次为2，． 10．已知数列{an}的通项公式an＝(k∈R)． (1)当k＝1时，判断数列{an}的单调性； (2)若数列{an}是递减数列，求实数k的取值范围． [解]　(1)当k＝1时，an＝，所以an＋1＝，所以an＋1－an＝＝>0， 故数列{an}是递增数列． (2)若数列{an}是递减数列，则an＋1－an<0恒成立， 即an＋1－an＝＝<0恒成立． 因为(2n＋5)(2n＋3)>0，所以必有3k<0，故k<0． 11．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－．记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2 028＝(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．　　　　D． A　[∵a1＝2，an＋1＝1－， ∴a2＝1－＝，a3＝1－＝－，a4＝1－＝－3，a5＝1－＝2，…，即an＋4＝an， ∴数列{an}是以4为周期的数列． 又a1·a2·a3·a4＝a5·a6·a7·a8＝…＝a2 025·a2 026·a2 027·a2 028＝1， 又Tn为数列{an}的前n项之积， ∴T2 028＝(a1·a2·a3·a4)·(a5·a6·a7·a8)·…·(a2 025a2 026a2 027a2 028)＝1．故选A．] 12．(多选题)已知数列满足an＝n·kn，下列命题正确的有(　　) A．当k＝时，数列为递减数列 B．当k＝时，数列一定有最大项 C．当0<k<时，数列为递减数列 D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项 BCD　[当k＝时，a1＝a2＝，知A错误； 当k＝时，＝·，当n<4时，>1，当n>4，<1， 所以可判断一定有最大项，B正确； 当0<k<时，＝k·<1，所以数列为递减数列，C正确； 设＝m，当n>m，即n≥m＋1时数列{an}为递减数列，当n<m时{an}为递增数列，k＝，最大项为am＝，am＋1＝(m＋1)＝，所以数列{an}必有两项相等的最大项，D正确．故选BCD．] 13．已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－4，则a6＝________，an＝________． －12　－2n　[由条件知，a2＝a1＋a1＝－4，∴a1＝－2．a3＝a2＋a1＝－4－2＝－6，a4＝a3＋a1＝－8，a5＝a4＋a1＝－10，∴a6＝a5＋a1＝－12，依此类推可知an＝－2n．] 14．数列{(25－2n)2n-1}的第4项是________，最大项所在的项数为________． 136　11　[令an＝(25－2n)2n-1，则a4＝(25－2×4)×24-1＝136． 当n≥2时，设an为最大项，则 即 解得n． 而n∈N＋，所以n＝11， 又n＝1时，有a1＝23＜a2＝42， 所以数列{(25－2n)2n-1}的最大项所在的项数为11．] 15．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0)． (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N＋，都有ana6成立，求a的取值范围． [解]　(1)∵an＝1＋(n∈N＋，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N＋)． 结合函数f (x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N＋)． ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0． (2)an＝1＋＝1＋， 已知对任意的n∈N＋，都有ana6成立，结合函数f (x)＝1＋的单调性， 可知5＜＜6，即－10＜a＜－8． 即a的取值范围是(－10，－8)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $