课时分层作业10 等比数列前n项和的性质及应用(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(十) 1．B　[由条件可知q≠1，且＝(210＋1)， 即1＋q10＝1＋210， ∴q＝2．故选B．] 2．B　[由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B．] 3．B　[∵Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n-1·(4n－3)， ∴S15＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(49－53)＋57＝－4×7＋57＝29， S22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44， S31＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(113－117)＋121＝－4×15＋121＝61， ∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76．故选B．] 4．A　[设等差数列的公差为d， 因为a2，a4－2，a6成等比数列，所以(a4－2)2＝a2·a6， 即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)， 即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)， 解得d＝0或d＝3，因为公差d≠0，所以d＝3， 所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故选A．] 5．BC　[∵等比数列a1＝512，其前n项积为Tn，且T13＝T6， ∴a7·a8·a9·a10·a11·a12·a13＝＝1， ∴a10＝a1·q9＝1．故q＝． 法一：∵a10＝1，q＝，所以前n项积有T9＝T10．又因为an＜1(n＝11，12，…)，所以T9，T10为前n项积的最大值． 法二：∵a1＝512，q＝．∴an＝a1·qn-1＝512×＝210-n． 当时，Tn有最大值，解得9n10． ∴n＝9或10时，Tn有最大值．故选BC．] 6．15　[由题意得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2， ∴q＝2，∴S4＝＝15．] 7．2　[由条件可知，S2n＝S偶＋S奇＝3S奇，∴S偶＝2S奇， 又∵＝q，∴q＝2．] 8．2n－1　[设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则 S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d， 因为＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2， an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1．] 9．解：　(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为q＝＝4， 所以a1＋a2＝a1＋4a1＝5a1＝5，即a1＝1． 故an＝4n-1． (2)由(1)及题知，3an＋＝3·4n-1＋2n-1， 所以Sn＝3×＝4n－1＋2n－1＝4n＋2n－2． 10．解：　(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0． 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1， 两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1， 即(n－1)an－1＝(n－2)an， 当n＝2时，可得a1＝0， 故当n≥3时，＝， 则··…·＝··…·， 整理得＝n－1， 因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3)． 当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1． (2)令bn＝＝， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋…＋，　① Tn＝＋…＋，　② 由①－②得Tn＝＋…＋＝＝1－， 即Tn＝2－． 11．A　[由点在直线x－9y＝0上，得＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0， ∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝3n－1．] 12．AC　[因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N＋)， 所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1， 所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确； 因此a5＝－1×24＝－16，故A正确； 又Sn＝2an＋1＝－2n＋1， 所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误； 因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误．故选AC．] 13．　2　[当等比数列的项数为奇数项时，＝q，即＝，∴公比q＝． 又∵a1＝2，q＝，∴a2＝1，当n≥3时，an∈(0，1)．∴n＝1或n＝2时Tn最大，最大值为2．] 14．2n－1　2n+1－n－2　[因为an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1， 所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n+1－n－2．] 15．解：　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q． 依题意，得解得 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n-1＝3n． 所以，{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3n． (2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn) ＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n) ＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)． 记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，① 则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n+1，② ②－①得2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n+1＝－＋n×3n+1＝． 所以，a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×＝(n∈N＋)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十)　等比数列前n项和的性质及应用 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共103分 一、选择题 1．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S20＝(210＋1)S10，则数列{an}的公比为(　　) A．4　　　　B．2　　　　C．1　　　　D． 2．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝(　　) A．40 B．60 C．32 D．50 3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n-1·(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是 (　　) A．13 B．－76 C．46 D．76 4．已知公差d≠0的等差数列{an} 满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝(　　) A．30 B．20 C．10 D．5或40 5．(多选题)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1＝512，其前n项积为Tn，且T13＝T6，则Tn取得最大值时，n的值是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 6．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于________． 7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________． 8．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________． 三、解答题 9．在等比数列{an}中，a1＋a2＝5，且a2＋a3＝20． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{3an＋}的前n项和Sn． 10．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn． 11．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　) A．3n－1 B． C． D． 12．(多选题)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N＋)，则下列说法正确的是(　　) A．a5＝－16 B．S5＝－63 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn＋1}是等比数列 13．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________． 14．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n-1)，…的第n项为an，前n项和为Sn，则an＝________，Sn＝________． 15．设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N＋)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $