课时分层作业7 等比数列及其通项公式(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(七)　等比数列及其通项公式 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共103分 一、选择题 1．若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是(　　) A．{lg an}　　　　　　 B．{1＋an} C． D．{} 2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝ (　　) A．4　　　B．2　　　C．－2　　　D．－4 3．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝(　　) A． B． C． D． 4．实数－1，x，y，t，－4等比数列，则xyt等于(　　) A．－4 B．1 C．8 D．－8 5．在公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，且a3，a7，a16成等比数列，则公差为(　　) A． B．－ C． D．1 二、填空题 6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________． 7．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 8．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a2a4＝144，4a2＋a4＝48，则数列{an}的公比为________． 三、解答题 9．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，求证{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式． 10．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且 a2·a5＝． (1)求数列{an}的通项公式； (2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？ 11．(多选题)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为(　　) A．－ B．－2 C．1 D．－1 12．(多选题)有下列四个命题，正确的是(　　) A．等比数列中的每一项都不可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________． 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝3an－2n(n∈N＋)，则数列{an}中，a1＝________，an＝________． 15．(1)已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p； (2)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(七) 1．C　[因为数列{an}是等比数列，所以an＝a1qn-1， 对于A，＝不一定是常数，故A不一定是等比数列； 对于B，{1＋an}可能有的项为零，故B不一定是等比数列； 对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列{an}公比的倒数，故C项一定是等比数列； 对于D，当q<0时，数列{an}存在负项，此时无意义，故D项不符合题意．故选C．] 2．D　[根据已知条件知，a＋c＝2b①，bc＝a2②且a＋3b＋c＝10③，由①③得b＝2．把b＝2代入①②解得a＝2(舍)或a＝－4．故选D．] 3．A　[由条件知，a2(q4－1)＝40①且a2(q2＋1)＝10②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝，把q＝代入②得a2＝∴＝＝＝．] 4．D　[设a1＝－1，a2＝x，a3＝y，a4＝t，a5＝－4， 由等比数列知xt＝a2a4＝a1a5＝(－1)×(－4)＝4， y2＝＝a1a5＝(－1)×(－4)＝4，因为y＜0，所以y＝－2，所以xyt＝4×(－2)＝－8，故选D．] 5．C　[设等差数列的公差为d(d≠0)，则a3＝1＋2d，a7＝1＋6d，a16＝1＋15d，由条件可知(1＋2d)(1＋15d)＝(1＋6d)2，解得d＝或d＝0(舍)，故选C．] 6．3×2n-3　[由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2． 所以an＝a1qn-1＝a1q2·qn-3＝a3·qn-3＝3×2n-3．] 7．27，81　[设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3． 所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81．] 8．2　[由a2a4＝144，得q4＝144，因为各项均为正数，所以a1q2＝12，由4a2＋a4＝48，得4a1q＋a1q3＝48，解得a1＝3，q＝2，所以公比为2．故答案为2．] 9．解：　令an＋1＋k＝2(an＋k)，即an＋1＝2an＋k， 与an＋1＝2an＋1比较得k＝1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 又因为a1＋1＝2≠0，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n-1，所以an＝2n－1． 10．解：　(1)因为2an＝3an＋1， 所以＝，数列{an}是公比为的等比数列， 又a2·a5＝， 所以＝，由于各项均为负， 故a1＝－，an＝－． (2)设an＝－，则－＝－＝，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项． 11．AC　[由题意知2a3＝a1＋a2，∴2a1q2＝a1＋a1q，又a1≠0，则2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，故选AC．] 12．AC　[对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．故选AC．] 13．　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列＝a2a7， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0． ① 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1． ② 由①②解得a1＝，d＝－1．] 14．2　3n－1　[令n＝1，得2a1＝3a1－2，解得a1＝2， 当n≥2时，由2Sn＝3an－2n(n∈N＋)， 得2Sn－1＝3an－1－2(n－1)，两式相减得2an＝3an－3an－1－2， 即an＝3an－1＋2，整理得＝3， ∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝3n，∴an＝3n－1．故答案为a1＝2，an＝3n－1．] 15．解：　(1)因为{cn＋1－pcn}是等比数列，所以(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)(cn－pcn－1)对一切n≥2，n∈N＋均成立．将cn＝2n＋3n代入上式，得[2n+1＋3n+1－p(2n＋3n)]2＝[2n+2＋3n+2－p(2n+1＋3n+1)][2n＋3n－p(2n-1＋3n-1)]，整理得(2－p)(3－p)＝0，解得p＝2或p＝3． (2)证明：设{an}，{bn}的公比分别为p，q，且p≠q．要证{cn}不是等比数列，只需证≠c1c3． 因为＝(a2＋b2)2＝(a1p＋b1q)2＝q2＋2a1b1pq，c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝q2＋a1b1(p2＋q2)， 所以－c1c3＝2a1b1pq－a1b1(p2＋q2)＝－a1b1(p－q)2． 因为p≠q， 所以p－q≠0， 又a1≠0，b1≠0， 所以≠c1c3． 故{cn}不是等比数列． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $