课时分层作业5 等差数列的前n项和公式(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(五)　等差数列的前n项和公式 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共103分 一、选择题 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若a2＋a3＝8，S5＝25，则该数列的公差为 (　　) A．－2　　　 B．2　 　　C．－3　 　　D．3 2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a12＝a7＋6，则S11＝(　　) A．99 B．33 C．198 D．66 3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　) A．765 B．665 C．763 D．663 4．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　) A．9 B．10 C．19 D．29 5．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十六斤绵，分给八子做盘缠，次第每人多十七，要将第七数来言．”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第7个儿子分到的绵是(　　) A．167斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤 二、填空题 6．记Sn为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________． 7．在等差数列{an}中，a3＋a10＝5，a7＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最大值为________． 8．已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}前12项之和为________． 三、解答题 9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50． (1)求数列的通项公式； (2)若Sn＝242，求n． 10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0． (1)求公差d的取值范围； (2)该数列的前几项和最大？ 11．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是(　　) A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N＋，均有Sn＞0 D．若对任意n∈N＋，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 12．(多选题)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0且S6＝S9则(　　) A．d＞0 　　 B．a8＝0 C．S7或S8为Sn的最大值 　　 D．S5＞S6 13．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则d＝________，a5＝________． 14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米． 15．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S4＝－20． (1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn； (2)是否存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(五) 1．B　[由条件可得(a1＋d)＋(a1＋2d)＝8且5a1＋d＝25．解得d＝2．] 2．D　[因为a1＋a12＝a7＋6，所以a6＝6，则 S11＝＝11a6＝11×6＝66，故选D．] 3．B　[由题意得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，∴2＋(n－1)×7<100， ∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665．] 4．B　[钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝． 当n＝19时，S19＝190．当n＝20时，S20＝210>200．∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．] 5．A　[记8个儿子按年龄从大到小依次分绵a1斤，a2斤，a3斤，．．．，a8斤， 因为按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵， 所以数列为等差数列，且公差为17，所以an＝a1＋17． 因为绵的总数为996斤，所以8a1＋×17＝996，解得a1＝65． 所以第7个儿子分到的绵是a7＝65＋17×6＝167(斤)．] 6．2　[由2S3＝3S2＋6可得2＝3·＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6， 即2＝2a1＋d＋6，解得d＝2．] 7．70　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d． 则解得 所以Sn＝na1＋d＝－n2＋n． 因为二次函数y＝－x2＋x图象的对称轴为直线x＝，n∈N＋， 所以当n＝7时，(Sn)max＝70．] 8．304　[因为a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40⇒d＝－8，所以an＝40－8n．所以|an|＝|40－8n|＝所以前12项之和为＝80＋224＝304．] 9．解：　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d． 则解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n． (2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242， 得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11． 10．解：　(1)由a3＝12，S12＞0，S13＜0，得 整理得 解得－＜d＜－3． 故公差d的取值范围是． (2)法一：由题意可得d＜0，∴{an}为递减数列．由S12＞0，S13＜0，可知在1n12中，必存在自然数n，使得an≥0，an＋1＜0，此时对应的Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值． ∵∴a7＜0，a6＞0，∴前6项和最大． 法二：解关于n的不等式组 得 由－＜d＜－3，得n3－＜3＋＝7，n＞2－＞2＋＝5.5． ∴5.5＜n＜7． ∵n∈N＋， ∴n＝6．故当n＝6时，Sn最大，即前6项和最大． 法三：Sn＝na1＋d＝n(12－2d)＋d＝n2＋n＝－． 由－＜d＜－3，知6＜＜6.5， ∴当n＝6时，Sn最大，即前6项和最大． 11．ABD　[显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A，B正确． 又若对任意n∈N＋，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确． 而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确．] 12．BC　[因为Sn＝na1＋d，所以Sn＝n2＋n， 则Sn是关于n(n∈N＋，n≠0)的一个二次函数，又a1＞0且S6＝S9，则d<0，故A错误， 对称轴n＝＝，开口向下， 又n为整数，所以Sn在[1，7]上单调递增， 在[8，＋∞)上单调递减， 所以S5＜S6，故D错误，所以最靠近的整数n＝7或n＝8时，Sn最大，故C正确，由题意知a7＋a8＋a9＝0， ∴a8＝0，故B正确，故选BC．] 13．－2　－1　[由题意知 解得 所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1．] 14．2 000　[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为 S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米)．] 15．解：　(1)设等差数列{an}的公差为d． ∵S2＝2，S4＝－20，∴2a1＋d＝2，4a1＋6d＝－20． 联立解得a1＝4，d＝－6．∴an＝4－6(n－1)＝10－6n． Sn＝＝7n－3n2． (2)假设存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列， 则2(Sn＋2＋2n)＝Sn＋Sn＋3． ∴2[7(n＋2)－3(n＋2)2＋2n]＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2，解得n＝5． ∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $