1.2.1 等差数列及其通项公式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦等差数列的通项公式、等差中项及判定证明，通过链接教材例题导入，从已知项求首项、公差切入，逐步过渡到等差中项应用和数列判定，构建从基础定义到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于例题提供多解法（如例1的基本量法、性质法、函数法），培养学生数学思维的灵活性与推理能力。反思领悟总结判定方法，结合跟进训练和分层作业，让学生用数学语言表达规律，提升抽象能力与模型意识。学生能系统掌握解题技巧，教师可通过分层设计提高教学针对性。

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第1章 数列 1.2　等差数列 1.2.1　等差数列及其通项公式 1.2.1　等差数列及其通项公式 学习任务 核心素养 1．理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点) 3．掌握等差数列的判定方法．(重点) 1．通过学习等差中项及等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养． 2．借助等差数列的判断与证明，培养逻辑推理素养． 1.2.1　等差数列及其通项公式 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…． 思考：第30排有多少个座位？ 必备知识·情境导学探新知 1.2.1　等差数列及其通项公式 知识点1　等差数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为____数列，这个常数叫作等差数列的____，公差通常用字母d表示 符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋) 等差 公差 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 思考　1．等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？ [提示]　因为第1项的前面没有任何项了． 思考　2．在数列{an}中，若an＝2n＋3，该数列是等差数列吗？ [提示]　因为an＋1－an＝[2(n＋1)＋3]－(2n＋3)＝2(常数)，所以该数列{an}是等差数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 知识点2　等差中项 在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的________． 等差中项 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 思考　3．观察下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0． [提示]　插入的数分别为3，2，，0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 知识点3　等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝____________． a1＋(n－1)d 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 28　[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28．] 28 体验　在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，a7＝________． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 类型1　等差数列的通项公式 【例1】　【链接教材P13例1】 (1)已知a7＝，d＝－2，求a1； (2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75． 关键能力·合作探究释疑难 [解]　(1)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，∴a1＝． 1.2.1　等差数列及其通项公式 (2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得解得 故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24． 法二：∵a60＝a15＋(60－15)d， ∴d＝＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24． 法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b．由a15＝8， a60＝20得解得∴a75＝75×＋4＝24． 【教材原题·P13例1】 例1　已知数列{an}是等差数列． (1)如果a1＝5，a2＝2，求公差d和a3； (2)如果a3＝5，a2＝2，求公差d和a10． [解]　由等差数列的定义，可知 (1)公差d＝a2－a1＝－3，a3＝a2＋d＝－1． (2)公差d＝a3－a2＝3，a1＝a2－d＝－1，故a10＝a1＋(10－1)d＝－1＋9×3＝26． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 反思领悟　求等差数列的通项公式的两种思路 (1)设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式． (2)已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式． 注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 [跟进训练] 1．(1)在等差数列{an}中，若a1＝2，a2＝4，则a4＝(　　) A．6　　　　B．8　　　　C．16　　　　D．32 (2)在数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两实根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________． (1)B　(2)3　[(1)因为等差数列{an}中，a1＝2，a2＝4，所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，则a4＝a1＋3d＝2＋3×2＝8． (2)因为a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两实根，所以a3＋a10＝3．又因为{an}是等差数列，所以a5＋a8＝a3＋a10＝3．] √ 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 类型2　等差中项的应用 【例2】　(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________． (2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． (1)6　[由题意得 ∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6．] 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 (2)[解]　∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝＝3． 又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1． 又c是3与7的等差中项， ∴c＝＝5． ∴该数列为：－1，1，3，5，7． 反思领悟　等差中项应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝． (2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 [跟进训练] 2．若等差数列的前三项分别为a，2a－1，3－a，求其第2 028项． [解]　由等差中项公式可得2(2a－1)＝a＋(3－a)，解得a＝，所以首项为，公差为＝，所以数列的通项公式为an＝＋(n－1)·＝n＋1，故其第2 028项为a2 028＝×2 028＋1＝508． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 类型3　等差数列的判定与证明 【例3】　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝． (1)数列是否为等差数列？说明理由． (2)求an． 尝试与发现 根据条件能否发现与之间的关系，由此是否可以证明呢？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 [解]　(1)数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝， ∴＝， 即是首项为＝，公差为d＝的等差数列． (2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝， ∴an＝． [母题探究] 1．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 [解]　(1)证明：bn＋1－bn＝ ＝＝ ＝＝． 又b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n． ∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2． 2．(变条件)将本例中条件“a1＝2，an＋1＝”换成“a1＝＝(n≥2，n∈N＋)”，结论如何？ [解]　(1)法一：＝(n≥2，n∈N＋)， ∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)(n≥2，n∈N＋)， 即an－1＝an(4an－1＋1)(n≥2，n∈N＋)， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 ∴an＝(n≥2，n∈N＋)，∴＝＝4＋(n≥2， n∈N＋)，∴＝4(n≥2，n∈N＋)，又∵＝5，∴数列是等差数列，且公差为4，首项为5． 法二：当n≥2，n∈N＋时，＝⇔＝⇔－2＝2＋⇔＝4，且＝5． ∴是等差数列，且公差为4，首项为5． (2)由(1)及等差数列的通项公式得 ＝5＋(n－1)×4＝4n＋1， ∴an＝． 反思领悟　等差数列的三种判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)⇔{an}为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 [跟进训练] 3．在数列{an}中，已知a1＝，且2an＋1＝an＋，bn＝2nan，求证：数列{bn}为等差数列． [证明]　法一(通解通法)：由2an＋1＝an＋得an＋1＝an＋， 所以bn＋1－bn＝2n+1an＋1－2nan＝2n+1·－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1， 所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 法二(巧思妙解)：在2an＋1＝an＋的两边同时乘以2n得2n+1·an＋1＝2nan＋1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列． 1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　) A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 学习效果·课堂评估夯基础 √ A　[等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5．故公差为－3．故选A．] 1.2.1　等差数列及其通项公式 2．(多选题)已知数列{an}满足an＋1＝an－3，n∈N＋，a1＝27，则下列说法正确的是(　　) A．该数列为等差数列 B．公差为3 C．a5＝15 D．－3是该数列的第11项 √ ACD　[由条件可知an＋1－an＝－3．∴该数列为等差数列．公差为－3，这时an＝－3n＋30．∴a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11．故ACD正确．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 3．(教材P14练习T2改编)等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　) A．8　　　B．12　　　C．16　　　D．24 √ C　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则由a2＝2，a5＝8，得解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 4．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为______． 　[＝＝＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)等差数列的概念中，应从哪几个方面理解？ [提示]　等差数列的概念是非常严密的，要抓住“从第2项起”“后项与前项的差”“同一个常数”三个关键点进行理解． (2)任何两个数都有等差中项吗？ [提示]　任何两个数都一定有等差中项，有且只有一个，这个等差中项就是它们的算术平均数，即a与b的等差中项为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 (3)如何判断数列为等差数列？ [提示]　判断一个数列为等差数列可用以下几种方法：①定义法： an＋1－an＝常数．②等差中项法：an＋an＋2＝2an＋1．③通项法：即an＝dn＋b．(d，b为常数)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　) A．30°　　　B．60°　　　C．90°　　　D．120° 课时分层作业(三)　等差数列及其通项公式 B　[因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°．] 35 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　) A．49 B．50 C．51 D．52 D　[∵an＋1－an＝，∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)×＝2＋，∴a101＝2＋＝52．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 36 3．已知在等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为(　　) A． B．1 C．－1 D．－ √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[根据an＝am＋(n－m)d得d＝＝＝－1，故d＝－1．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 37 √ 4．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意如下：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相同)，二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则立秋晷长为(　　) A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 38 D　[设从夏至到冬至，每个节气晷长为an，即夏至时晷长为a1＝15，冬至时晷长为a13＝135，由每个节气晷长损益相同可知，an＋1－an＝常数，所以为等差数列，设公差为d，由题意知，a13＝a1＋12d＝15＋12d＝135，解得d＝10，则a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，四十五寸即四尺五寸．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 39 √ 5．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[公差d＝a2－a1＝－4， ∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n， 令即⇒21<n22． 又∵n∈N＋，∴n＝22．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 40 二、填空题 6．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[设公差为d，∵＝＝＝2d， ∴d＝．∴＝＋4×d＝＋4×＝． ∴a10＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 41 7．若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[法一：利用等差中项，b＝＝，a＝＝，c＝＝．∴c－a＝＝． 法二：利用通项公式．设公差为d，则c－a＝2d，而9－2＝4d，∴d＝，故c－a＝2×＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 42 8．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a2＋a6＝a8．若p－q＝10，则ap－aq＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10　[因为数列{an}为等差数列，且a1＝1，又a2＋a6＝a8，∴(1＋d)＋(1＋5d)＝1＋7d，∴d＝1．∴ap－aq＝(p－q)×d＝10．] 10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 43 三、解答题 9．(源自苏教版教材)在等差数列{an}中， (1)已知a1＝3，公差d＝－2，求a6； (2)已知a3＝10，a9＝28，求an． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由等差数列的通项公式，得 a6＝3＋(6－1)(－2)＝－7． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 44 (2)设等差数列的公差为d，那么解得 所以an＝4＋(n－1)·3＝3n＋1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 10．已知函数f (x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f (xn－1)(n≥2且n∈ N＋)确定． (1)求证：是等差数列； (2)当x1＝时，求x2 028． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 46 [解]　(1)证明：∵xn＝f (xn－1)＝(n≥2且n∈N＋)，∴＝＝，∴＝(n≥2且n∈N＋)， ∴是等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝， ∴＝＝，∴x2 028＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 √ 11．(多选题)已知数列{an}是首项为5，公差为d(d∈N＋)的等差数列，若2 033是该数列的一项，则公差d可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 48 ABC　[由题可设an＝5＋(n－1)d，2 033是该数列的一项，即2 033＝5＋(n－1)d．∴n＝＋1． ∵d∈N＋，n∈N＋，∴d是2 028的约数，选项当中2，3，4均为2 028的约数，只有5不是2 028的约数，故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 12．(多选题)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是(　　) A．构成的新数列是等差数列，公差为10 B．构成的新数列是等差数列，公差为12 C．该数列共有16项 D．该数列共有18项 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 50 BC　[等差数列2，6，10，…，190，公差为4，等差数列2，8，14，…，200，公差为6， 所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 其公差为12，首项为2，所以通项为an＝12n－10， 所以12n－10190，解得n，而n∈N＋，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16．故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 13．已知数列{an}的首项a1＝3，通项公式为an＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列，则p＝________，q＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 52 1　1　[由a1＝3，得2p＋q＝3．① 因为a1，a4，a5成等差数列，所以2a4＝a1＋a5． 又因为a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q， 所以25p＋8q＝3＋25p＋5q．② 由①②得p＝q＝1．故所求p，q的值都是1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 14．等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列的通项公式为___________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为___________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 an＝36－3n an＝38－5n 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 54 an＝36－3n　an＝38－5n　[若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36．若公差为整数，且前7项大于0，第7项以后均为负数， 可得即解得－<d<－， 又∵d∈Z，∴d＝－5， ∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 15．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N＋)． (1)当a2＝－1时，求实数λ及a3． (2)是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出它的公差；若不存在，请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)因为a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2， 所以λ＝．所以a3＝－a2＋22＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 56 (2)不存在．理由如下： 因为a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N＋)， 所以a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16． 若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2， 即λ2－7λ＋13＝0． 因为Δ＝49－4×13＜0，所以方程无实数解． 所以不存在实数λ，使{an}为等差数列． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 谢 谢！ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.2.1　等差数列及其通项公式 $