数与形（知识精讲+考点导航+考点精练）2025-2026学年数学六年级上册期中大通关(人教版）

（期中单元大通关）-数与形 （知识精讲、考点导航、考点精练） 数与形找规律的步骤 1、寻找数量关系； 2、用代数式表示规律； 3、验证规律。 寻找数与形规律的方法 1、算式的规律 （1）把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容。在探索“式”的规律时，要从组成“式的要素中去探索。 （2）在数学算式中探索规律，应仔细观察算式的特点和结果的特点，进而根据规律找出这一类算式的结果。 2、数字排列的规律 （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。 （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律。 （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律。 （4）相邻两数的关系中隐含着规律。 3、图形的变化规律 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题。 重点是能够发现图形之间的数量关系，以及增长的规律。 考点1：数字排列规律 考点2：数阵排列规律 考点3：多边形规律探索 考点4：其他类型规律探索 考点1：数字排列规律 1．算式，再加上（    ）后，结果就是1。 A． B． C． D． 2．1＋3＋5＋7＋…＋29＋31＝（    ） A．144 B．256 C．265 D．326 3．观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561；那么32024的末位数字应该是（    ）。 A．3 B．9 C．7 D．1 4．古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，古人在从右往左依次排列的绳子上打结，按“满五进一”来计数。如：图①中表示的数是：25×1＋5×1＋1×2＝32，则图如②中表示的数是（    ）。 图①               图② A．45 B．89 C．113 D．324 考点2：数阵排列规律 5．将一些五角星如下图摆放，照这样的规律继续摆下去，第7幅图中共有( )颗五角星，第n幅图中共有( )颗五角星。 6．把数和形结合起来思考，是数学学习经常使用的方法。认真观察如图所示的点阵图，按这样的规律，第6幅图一共有( )个圆点，第n幅图一共有( )个圆点。 7．观察下面的点阵图形规律，第8个图形中有( )个点，第n个图形中有( )个点。 8．古希腊毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和，比如4＝1＋3，9＝3＋6…那么49＝( )＋( )。 考点3：多边形规律探索 9．如下图，像这样摆下去，摆n个六边形需要多少根小棒？用自己喜欢的方法表达解答的过程。 10．用小棒摆五边形，如下图所示。 （1）填表。 五边形个数 1 2 3 4 … n 小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 … （2）照这样摆120个五边形，需要多少根小棒？ 11．有10张长3厘米，宽2厘米的扑克牌，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张扑克牌盖住桌面的面积是多少平方厘米？ 12．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把数与形联系在一起，下图是用形来表示数，请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9。 (1)按这个规律排下去，第5幅图的点数是( )。 (2)第20幅图的点数是( )。 (3)第幅图的点数是( )。 考点4：其他类型规律探索 13．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 (1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。 (2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。 (3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。 14．“化繁为简，由易到难”是研究问题的基本思考方法。有一道数学题：15条直线两两相交，最多有几个交点？笑笑决定从简单的例子开始研究。 （1）举例，并梳理成表格。 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 （2）当6条直线两两相交时，最多有（    ）个交点。 （3）当n（n为整数且n≥2）条直线两两相交时，最多有几个交点？ 15．下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？ 照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？ 16．数一数。    （1）图中各有多少个▲和△？ 序号 ① ② ③ ④ ▲ （    ） （    ） （    ） （    ） △ （    ） （    ） （    ） （    ） （2）照这样连续画下去，第7个图形中▲和△各有多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．A 【分析】先计算，把转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，消项后再计算得到结果，根据加数等于和减另一个加数，用1减得到的结果，即可得解。 【详解】 算式，再加上后，结果就是1。 故答案为：A 【点睛】计算，应先想办法消项后，再计算。 2．B 【分析】1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝42，可得规律：从1开始的连续奇数之和，等于数字个数的平方，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 1＋3＋5＋7＋…＋29＋31，一共是16个数字的和。 1＋3＋5＋7＋…＋29＋31 ＝162 ＝256 故答案为：B 3．D 【分析】根据题意可知，末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，用2024除以4，余数是1，末尾数字是3；余数是2，末尾数字是9；余数是3，末尾数字是7；没有余数，末尾数字是1；据此根据余数的情况确定末尾数字即可。 【详解】2024÷4＝506，没有余数，32024的末位数字应该是1。 观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561；那么32024的末位数字应该是1。 故答案为：D 4．B 【分析】根据题意可知，图①中表示的数是：25×1＋5×1＋1×2＝32，左边结绳表示25，有1个；中间结绳表示5，有1个，右边结绳表示1，有2个；由此可知，图②中，左边有结绳有3个，表示25×3，中间有2个结绳，表示5×2，右边有4个结绳，表示1×4，据此解答。 【详解】根据分析可知，图②表示的数是： 25×3＋5×2＋1×4 ＝75＋10＋4 ＝85＋4 ＝89 则图②中表示的数是89。 故答案为：B 5． 25 4n－3 【分析】由图可知，第1幅图中共有1颗五角星，第2幅图中共有（1＋4）颗五角星，第3幅图中共有（1＋4×2）颗五角星，第4幅图中共有（1＋4×3）颗五角星……每次增加4颗五角星，那么第n幅图中共有[1＋4×（n－1）]颗五角星，最后求出n＝7时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】1＋4×（n－1） ＝1＋4n－4×1 ＝1＋4n－4 ＝4n－4＋1 ＝（4n－3）颗 当n＝7时。 4n－3 ＝4×7－3 ＝28－3 ＝25（颗） 所以，第7幅图中共有25颗五角星，第n幅图中共有（4n－3）颗五角星。 6． 21 3＋3n 【分析】由图可知： 第①幅图中圆点数等于1＋2＋3 第②幅图中圆点数等于2＋3＋4 第③幅图中圆点数等于3＋4＋5 …… 第⑥幅图中圆点数等于6＋7＋8＝21（个）圆点 第n幅图中圆点数等于n＋（n＋1）＋（n＋2）＝（3＋3n）个圆点，由此解答即可。 【详解】第6幅点阵图中的圆点数： 6＋7＋8 ＝13＋8 ＝21（个） 第n幅点阵图中的圆点数：n＋（n＋1）＋（n＋2）＝（3＋3n）个。 第6幅图一共有21个圆点，第n幅图一共有（3＋3n）个圆点。 7． 64 n2 【分析】由图可知，第1个图形中有1个点，表示为12； 第2个图形中有4个点，表示为22； 第3个图形中有9个点，表示为32； 第4个图形中有16个点，表示为42； 发现规律：第n个图形中有n2个点。据此解答。 【详解】82＝8×8＝64（个） 所以，第8个图形中有64个点，第n个图形中有n2个点。 8． 21 28 【分析】1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4…第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n＝；正方形数是1＝，4＝，9＝…第n个正方形数是；任何一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和，正方形数49＝，所以正方形数是第7个，根据第n个三角形数是计算即可解答。 【详解】由分析可知：第n个三角形数是 49＝ 所以正方形数是第7个，则两个三角形数分别是第7个和第6个，把7和6分别代入，得： ＝＝7×4＝28 ＝＝3×7＝21 所以49＝21＋28 9．（或），解答见详解 【分析】观察可发现规律，1个六边形：根小棒；2个六边形：根小棒；3个六边形：根小棒按照这样的方法分析解答。 【详解】1个六边形：根小棒；2个六边形：根小棒；3个六边形：根小棒按照这样的方法摆下去，摆n个六边形需要或（）根小棒。 10．（1）5＋4＋4＋4；4n＋1； （2）481根 【分析】（1）观察图形可知，摆1个五边形需要5根小棒，摆2个五边形需要（5＋4）根小棒，摆3个五边形需要（5＋4＋4）根小棒，摆4个五边形需要（5＋4＋4＋4）根小棒……则摆n个五边形需要[5＋4×（n－1）]根小棒，据此解答即可； （2）把n＝120代入（1）中所得出的规律中求值即可解答。 【详解】（1）5＋4×（n－1） ＝5＋4n－4 ＝（4n＋1）根 填表如下： 五边形个数 1 2 3 4 … n 小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 5＋4＋4＋4 … 4n＋1 （2）4×120＋1 ＝480＋1 ＝481（根） 答：需要481根小棒。 11．24平方厘米 【分析】长方形的面积公式：长方形面积＝长×宽。 利用长方形面积公式求出第一张扑克牌盖住桌面的面积，即3×2＝6（平方厘米）； 第二张在第一张的基础上额外盖住桌子的面积（即红色部分）：2×（3－2）＝2×1＝2（平方厘米）此时盖住桌面的总面积为6＋2＝8（平方厘米）； 第三张在第二张的基础上额外盖住桌子的面积（即黄色部分）：2×（3－2）＝2×1＝2（平方厘米）此时盖住桌面的总面积为6＋2＋2＝10（平方厘米）； 第四张在第三张的基础上额外盖住桌子的面积（即蓝色部分）：2×（3－2）＝2×1＝2（平方厘米）此时盖住桌面的总面积为6＋2＋2＋2＝12（平方厘米）； 结合下图分析易知：以后每增加一张扑克牌，盖住桌面的面积就会增加2×（3－2）＝2×1＝2（平方厘米）。据此结论即可解决本题。 【详解】一张扑克牌盖住桌面的面积为3×2＝6（平方厘米） 以后每增加一张扑克牌盖住的桌面面积增加2×（3－2）＝2×1＝2（平方厘米） 所以10张扑克牌盖住桌面的面积是：6＋2×（10－1）＝6＋2×9＝6＋18＝24（平方厘米） 【点睛】由从问题出发，依次分析找到图形变化的规律是解题的关键。 12．(1)17 (2)77 (3)4n－3 【分析】（1）（2）（3）通过观察图，发现规律： 第1幅图的点数为1＋0×4＝1＋0＝1 第2幅图的点数为1＋1×4＝1＋4＝5 第3幅图的点数为1＋2×4＝1＋8＝9 第4幅图的点数为1＋3×4＝1＋12＝13 …… 第n幅图的点数为：1＋（n－1）×4＝1＋4n－4＝4n－3 通过发现的规律，算出第5幅图和第20幅图的点数是多少，据此解答。 【详解】（1）4×5－3＝20－3＝17（个） 按这个规律排下去，第5幅图的点数是17。 （2）4×20－3＝80－3＝77（个） 第20幅图的点数是77。 （3）由分析得：第幅图的点数是4n－3。 13．(1) 38 6n＋2 (2)200 (3)14 【分析】（1）根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。 （2）根据（1）求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，进而求出4组需要的火柴棒。 （3）我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条“金鱼”。 【详解】（1）8＋（6－1）×6 ＝8＋5×6 ＝8＋30 ＝38（根） 8＋（n－1）×6 ＝8＋（6n－6） ＝8＋6n－6 ＝（6n＋2）根 按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴棒。 （2）当n＝8时， 6n＋2 ＝6×8＋2 ＝48＋2 ＝50（根） 50×4＝200（根） 如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴棒。 （3）（88－2）÷6 ＝86÷6 ≈14（条） 准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。 14．（1）1；3；6；10 （2）15 （3） 【分析】（1）从图中可以直接数出相交点的数量，一一填在表格中； （2）从表格中可知，2（2条直线）＝1；3（3条直线）＝1＋2；4（4条直线）＝1＋2＋3；5（5条直线）＝1＋2＋3＋4；则6（6条直线）＝1＋2＋3＋4＋5＝15。 （3）根据上面规律，则n（n为整数且n≥2）条直线两两相交时，就是从1开始（n－1）个自然数相加。 【详解】 （1） （2）1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 答：当6条直线两两相交时，最多有15个交点。 （3）当n（n为整数且n≥2）条直线两两相交时，最多有个交点 15．绿色6个；蓝色18个；绿色10个；蓝色26个；见详解 【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8＝2×1＋6； 第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10＝2×2＋6； 第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12＝2×3＋6； 第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14＝2×4＋6； …… 规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形；据此解答。 【详解】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。 当n＝6时，有6个绿色小正方形； 蓝色小正方形有： 2n＋6 ＝2×6＋6 ＝12＋6 ＝18（个） 当n＝10时，有10个绿色小正方形； 蓝色小正方形有： 2n＋6 ＝2×10＋6 ＝20＋6 ＝26（个） 答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。 道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 16．（1）1；3；6；10 3；6；10；15 （2）▲有28个；△有36个 【分析】第1个图有1个▲，第2个图有1＋2＝3（个）▲，第3个图有1＋2＋3＝6（个）▲，第4个图有1＋2＋3＋4＝10（个）▲，……由此发现规律：第n图有（1＋2＋3＋4＋…＋n）个▲。 第1个图有1＋2＝3（个）△，第2个图有1＋2＋3＝6（个）△，第3个图有1＋2＋3＋4＝10（个）△，第4个图有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）△……由此发现规律：第n图有[1＋2＋3＋4＋…＋（n＋1）]个△。 【详解】（1）▲的个数： 第1个图：1个 第2个图：1＋2＝3（个） 第3个图：1＋2＋3＝6（个） 第4个图：1＋2＋3＋4＝10（个） △的个数： 第1个图：1＋2＝3（个） 第2个图：1＋2＋3＝6（个） 第3个图：1＋2＋3＋4＝10（个） 第4个图：1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 如下表： 序号 ① ② ③ ④ ▲ 1 3 6 10 △ 3 6 10 15 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个） 答：第7个图形中▲有28个，△各有36个。 【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $