特训07 二次函数——图形存在性问题专练（7大题型）-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训07 二次函数 图形存在性问题专练 【特训过关】 一、等腰三角形存在性问题 1.如图，直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两 点，点E(m,0)是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点 D,交抛物线于点P,连接PB. y (1)求抛物线解析式： (2)当线段PD的长度最大时，求点P的坐标： (3)若线段BD和PD为等腰三角形PBD的腰，求此时点E的坐标. 【管0y=-+2x+3:a)P (3)点E的坐标为3-V2,0) 【解析】(1)解：，直线y=-x+n与x轴交于点A3,0), .0=-3+n, ∴.n=3, ∴直线解析式为：y=-x+3, 当x=0时，y=3, .点B(0,3, ,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B, c=3 则 -9+3b+c=01 1 b=2 解得： c=31 ∴.抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3; (2)解：ED⊥x轴，点E(m,0, 点Pm,-m2+2m+3,则点D(m,-m+3), 则PD=-m2+2m+3-（-m+3=-m2+3m, m3时，PD最大.一m2+2m+3 +2x3+3=15 2 (3)解：根据题意得，0<m<3, 由(2)得PD=-m2+3m,BD=Vm2+(-m+3-3)2=√2m, .PD =BD √2m=-m2+3m, 解得：m=0(舍去)或3-√2， ∴点E的坐标为3-V2,0. 2.如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A-5,0)和点B,交y轴于点C(0,-5). B 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图2，若点P是线段AC上的一动点，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q,当PQ最大时，在抛物线 对称轴上找一点M,使QM+AM的值最小，求出此时点M的坐标； 2 (3)若点P在直线AC上的运动过程中，是否存在点P,使△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)y=x2+4x-5;(2)M点坐标为 〔-2)3)P点业标为(5-32,3列或 -5+3W2,-3W2或(1，-6)或(-2，-3) 【解析】(1)解：，抛物线y=x2+bx+c交y轴于点C0,-5),则c=-5, 再把A-5,0)代入抛物线，得：25-5b-5=0, 解得：b=4, 所以抛物线的函数表达式为y=x2+4x-5. (2)解：设直线AC的解析式为y=kx+b, -5k+b=0 则 b=-5 k=-1 解得： b=-5 .直线AC的解析式为y=-x-5, 设P(m,-m-5),则Qm,m2+4m-5, .Pg=-m-5-(m2+4m-5)=-m2-5m=- + 当m=- 4 当y=0时，x2+4x-5=0, 解得：x=-5或1，即B(1,0) 设直线BQ的表达式为y=x+n,代入B、Q两点坐标， 5. 35 --m+n=- 得{2 4, m+n=0 3 5 1m= 解得 2 n=- 2 55 :.直线B0的表达式为y=2 2 ,抛物线的对称轴为直线x=一2，把x=-2代入y= 55 2-2 得=15 M点坐标为 (3)解：存在，理由如下： 由抛物线的对称轴为直线x=-2、A-5,0)、B(1,0), 设P(t,-t-5), ∴.AB2=36,AP2=2t+52=2t2+20t+50,BP2=t-12+(t+5)2=212+8t+26, ①当AB=AP时，即36=2t2+20t+50, 得2+10t+7=0, 解得：t=-5±3V2, ∴P点坐标为-5-32,32)或(-5+3V2,-3V2) ②当AB=BP时，即36=2t2+8t+26, 得2+4t-5=0, 解得t=-5或1(-5舍去)， .P点坐标为1，-6)： ③当PA=PB时，易知P点的横坐标为-2， 代入y=-x-5中得y=-3, ∴P点坐标为-2，-3) 综上，P点坐标为-5-3W2,32)或-5+3W2,-3W2)或(1，-6)或(-2，-3) 4 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y=ax2+3(a≠0)与x轴交于A-3,0)、B两点，将抛物线 C,向右平移4个单位长度得到的抛物线C,与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）. (1)求点B的坐标和抛物线C的函数解析式： (2)记抛物线C,的对称轴1与x轴交于点H,在直线1上是否存在点E,使得以点B、D、E为顶点的三角 形是等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】1D点B的坐标为8(3.0，范物线G的函数解折式为y=x-4+3:(2)点E的坐标为 4,V7)或(4-√7或4,15或4，-v15. 【解析】(1)解：将点A-3,0)代入抛物线C:y=ax2+3(a≠0得：9a+3=0, 解得a=- 1 抛物线C,的解析式为y三x2+3 当y=0时，-二x2+3=0,解得x=-3或x=3, 3 ,抛物线C:y=ax2+3a≠0)与x轴交于A-3,0)、B两点， 点B的坐标为B(3,0, :将抛物线Cy= x2+3向右平移4个单位长度得到抛物线C, 3 然物线C的函数解新式为y=号x-4产+3。 2》解：对于纷搜Cy=x-4+3. 当)=0时，青x-4+3=0,解得x=1或=7. ,抛物线C,与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）， 5 .C1,0)或D(7,0), 苑物线Cy=青x4P+3的对称销/为查线=4. ∴.可设点E的坐标为E(4,m), 由(1)己得：点B的坐标为B(3,0), .BD=7-3=4,BE2=(4-3)2+(m-0)2=1+m2,DE2=(7-42+(0-m)2=9+m2, ∴BE≠DE, 则分以下两种情况： ①当BD=BE时，△BDE是等腰三角形， .BE2=BD2,即1+m2=42, 解得m=±5， ∴此时点E的坐标为4，√5)或4，-V15: ②当DE=BD时，△BDE是等腰三角形， .DE2=BD2,即9+m2=42, 解得m=±√7， ∴此时点E的坐标为4，V7)或(4，-√万)： 综上，在直线1上存在点E,使得以点B、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，此时点E的坐标为4，√) 或(4，-√7或4，V15)或(4，-V1⑤： 6 二、直角三角形存在性问题 4.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0),Bm,0)两点，与y轴交于点C(0,7, Q B G B 图1 图2 (1)求b,c,m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线 交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴，垂足为点F,当四边形DEFG的 周长最大时，求点D的坐标： (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC,NB与y轴交于点Q,在对称轴 上找一点P,使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标. 【答案】(1)b=6,c=7,m=7；(2)当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为(4,15)；(3) 点P的坐标为 55或(3，-16). 【解析】(1)解：把A-1,0),C(0,7)代入y=-x2+bx+c, -1-b+c=0 得 c=7 b=6 解得 c=7 ,这个抛物线的解析式为：y=-x2+6x+7, 令y=0,则-x2+6x+7=0, 解得x1=7,x2=-1, 7 B7,0, .m=7; (2)解：抛物线的解析式为y=-x2+6x+7=-x-3)2+16; ∴.对称轴为直线x=3, 设D(x,-x2+6x+7, ,DE∥x轴， .E6-x,-x2+6x+7, ,过点D作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴， .四边形DEFG是矩形， ∴.四边形DEFG的周长=2(-x2+6x+7+2(x-6+x)=-2x2+16x+2=-2(x-4)2+34 .-2<0 .当x=4时，四边形DEFG的周长最大，则-42+6×4+7=15， ∴.当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为(4,15； (3)解：过C作CH垂直抛物线对称轴于H,过N作NK⊥y轴于K, M H B ∴.∠NKC=∠MHC=90°， 由翻折得CN=CM,∠BCN=∠BCM, 8 B(7,0),C(0,7, .OB=OC, .∠OCB=∠OBC=45°， ,CH⊥对称轴于H, ∴.CH∥x轴， ∴.∠BCH=45°， .∠BCH=∠OCB, .∠NCK=∠MCH, ∴.△MCH≌ANCK(AAS), ∴.NK=MH,CK=CH, :抛物线的解析式为：y=-x2+6x+7=-(x-32+16, .对称轴为x=3,M(3,16, ∴.MH=16-7=9,CH=3, ∴.NK=MH=9,CK=CH=3, ..OK=OC-CK=4, .N-9,4, 设直线BN的解析式为y=kx+b', 「-9k'+b'=4 7k'+b'=0 1 k'=- 4 解得： 7 b'= 4 直线BN的解析式为：y=-x+? x+ 4 4 e 设P(3,p), 9 g=r+j-49+8 49833 分两种情况： ①当∠BQP=90°时，BP2=PO+BQ, 16+p产-+ 1616 5 解得：p=4 …P3》 ②当∠QBP=90°时，PQ=BP2+BQ, 2p+16 16+p2+833 16 解得：p=-16, .点P的坐标为3，-16)； 55 综上，所有符合条件的点P的坐标为 3, 或(3，-16). 4 5.综合与探究 已知抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于B(4,0)，,C(0,4)两点，与x轴的另一个交点为A. VA B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式. 10特训07 二次函数 图形存在性问题专练 【特训过关】 一、等腰三角形存在性问题 1.如图，直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两 点，点E(m,0)是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点 D,交抛物线于点P,连接PB. E A (1)求抛物线解析式： (2)当线段PD的长度最大时，求点P的坐标： (3)若线段BD和PD为等腰三角形PBD的腰，求此时点E的坐标. 1 2.如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(-5,0)和点B,交y轴于点C(0,-5). V B B 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图2，若点P是线段AC上的一动点，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q,当PQ最大时，在抛物线 对称轴上找一点M,使QM+AM的值最小，求出此时点M的坐标： (3)若点P在直线AC上的运动过程中，是否存在点P,使△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 2 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y=ax2+3(a≠0)与x轴交于A-3,0)、B两点，将抛物线 C,向右平移4个单位长度得到的抛物线C,与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）. (1)求点B的坐标和抛物线C的函数解析式： (2)记抛物线C,的对称轴1与x轴交于点H,在直线1上是否存在点E,使得以点B、D、E为顶点的三角 形是等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 3 二、直角三角形存在性问题 4.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0),Bm,0)两点，与y轴交于点C(0,7, M Q ! B B 图1 图2 (1)求b,c,m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线 交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴，垂足为点F,当四边形DEFG的 周长最大时，求点D的坐标： (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC,NB与y轴交于点Q,在对称轴 上找一点P,使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标. 5.综合与探究 已知抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于B(4,0),C(0,4)两点，与x轴的另一个交点为A. B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式. (2)若N为抛物线顶点，则线段CN的长为· (3)如图1，点M是直线BC上方抛物线的一动点，过点M作MD⊥x轴，交BC于点E.连接CM, BM,求△CBM的面积的最大值， (4)如图2，在抛物线上是否存在点Q,使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写 出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 5 6.如图，抛物线y=x2+bx+C与x轴交于A,B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C.直线 y=x-3经过B,C两点，点P是抛物线上一动点. B (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值； (3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'连接AC,A'F当△FAC是直角三角形时， 直接写出点F的坐标. 6 三、等腰直角三角形存在性问题 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A-3,0),B两点，交y轴于点 C(0,4),对称轴是直线x=1,顶点为D. D A B 0 备用图 (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴的垂线，交线 段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标； (3)设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB,交AC于点N.点Q从点B处以每秒3个单 位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t(秒).当以MN为边的△QMN是等腰直角三角形时， 直接写出此时t的取值. 7 8.【综合探究】 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,作直线BC,其中点A-1,0),点 C(0,-4).若点P在线段BC上运动（点P不与点B,C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E, 交x轴于点F. B (1)求该抛物线的解析式： (2)若PE=PF,求此时点P的坐标： 2 (3)是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 8 5 9.如图，已知抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)经过点A-3,2),与y轴交于点B,其对称轴为直线x= 2 C0,2)为y维上一点，直线4C与抛物线交于另-点D, 1 珠 A B B D 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E,使得△ADE的面积最大，并求出最大面积： (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F,x轴上一点N使得△DWF是等腰直角三角形？如果存在，求点 F的坐标；如果不存在，请说明理由， 9 四、平行四边形存在性问题 10.如图，直线y=- 2x+1与x轴交于点4，与y轴交于点B,抛物线y=-x2+br+c经过A、B两点. B (1)求抛物线的解析式： (2)若P是抛物线上一点，且P点坐标为 点Q为抛物线对称轴上一点，求QP+QA的最小值； (3)点N为直线AB上的动点，点M为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四 边形时，求点M的坐标. o