21.1 二次根式 课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕二次根式的概念、有意义条件及性质展开，课堂导入先复习平方根与算术平方根，再通过正方形边长、圆半径等实际问题抽象出二次根式形式，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生理解概念形成过程。 其亮点在于以实际问题驱动概念建构，体现“用数学的眼光观察现实世界”，通过实例归纳性质培养推理意识，练习设计从判断到应用，发展运算能力与符号意识。学生能直观理解知识现实背景，教师可依托清晰结构提升教学效率。

21.1 二次根式 1 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 学习目标 理解二次根式的概念 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 理解二次根式有无意义的条件 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｔｗｏ 理解二次根式的性质 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｔｈｒｅｅ 2 知识回顾 平方根？ 算术平方根？ 16的平方根是 ，算术平方根是 。 0的平方根是 ，算术平方根是 。 ﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？ ±4 4 0 0 没有 3 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 知识回顾 平方根？ 算术平方根？ 一般地，如果一个正数的平方等于a，即＝a，那么这个正数叫做a的算术平方根。 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。a 【只有非负数才有平方根和算术平方根】 4 1、 二次根式的概念 1.已知一块正方形空地的面积，你能求出该正方形空地的边长吗？ 1）若该正方形的面积为9㎡，则该正方形的边长是 ； 2）若该正方形的面积为30㎡，则该正方形的边长是 ； 3）若该正方形的面积为 S ㎡，则该正方形的边长是 。 3 5 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 1、 二次根式的概念 2.若一个圆的面积为 S ㎡，则用含 S 的式子表示圆的半径是 。 3.一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130㎡，则它的宽为 。 ·观察上面得到的式子 、 、 、 分别表示什么意义？ 它们有什么共同特征？（形式上和被开方数上） 6 一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，其中“ ”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。 1、 二次根式的概念 注意：中的a可以是数，也可以是代数式； “ ”中一般把根指数2省略，写作“ ”。 两个必备特征 ①外貌特征：带二次根号“ ” ②内在特征：被开方数是非负数（a≥0） 前提条件 7 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 练习: 1、 二次根式的概念 判断下列各式是否为二次根式？ 1） 2） 3） 4）﹣ 5） （a≤0） 6） 7） 8） 9） √ × × √ √ × √ √ √ 8 2 、 二次根式有意义的条件 1.已知二次根式，请回答下列问题。 1）当＝6时，求二次根式的值。 2）请再取定一些值代入下表，求此二次根式的值。 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 \ \ \ \ 0 1 思考： ，二次根式在实数范围内有意义。 当－2≥0时，即≥2时 9 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 2 、 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. （如果一个式子中含有多个二次根式，那么他们有意义的条件是必须使各二次根式中的被开方数都为非负数。） 如：要使＋有意义， 。 则－1≥0且3－≥0，所以1≤≤3. x 10 2 、 二次根式有意义的条件 练习: 1.取何值时，下列式子有意义。 1） 2） 3） 4） ≥3 全体实数 ＞0 ≥﹣3且≠1 2.已知为实数，且=－＋4，求的算术平方根。 解：∵x,y为实数，y=－＋4， ∴，∴，∴x=9，∴y=4， ∴=∴的算术平方根为. 11 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 3、 二次根式的性质 性质1: 双重非负性 ≥0 （≥0） 1.当≥0时，表示什么含义？其数值有什么特点？ 即一个非负数的算术平方根也是非负数 答: 当a>0时，√a表示a的算术平方根，因此 a>0; 当a=0时，a表示0的算术平方根,因此√a=0. 所以当a≥0时,√a≥0，即当a是非负数时，a也是非负数。 12 3、 二次根式的性质 二次根式非负性的应用 “若几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0” 若实数x,y满足＋=0，则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为 。 20 13 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 3、 二次根式的性质 2.如图是一个正方形的绿地，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现什么？ 正方形的边长为 ； 用边长表示正方形的面积为 。 14 3、 二次根式的性质 为了验证结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？ 性质2： 0 2 4 ...... 0 2 ...... 0 2 4 ...... 算数平方根 平方运算 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 15 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 3、 二次根式的性质 练习 1） ==20 逆用 eg: - 5 = = ()() 16 3、 二次根式的性质 3.填一填： 0 2 4 ...... 0 4 16 ...... 0 2 4 ...... 算数平方根 平方运算 17 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 3、 二次根式的性质 思考：当＜0时，=？ ﹣0.1 ﹣ ﹣2 ﹣4 ...... 0.01 4 16 ...... 0.1 2 4 ...... 算数平方根 平方运算 18 3、 二次根式的性质 性质3: = 即任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 19 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 3、 二次根式的性质 练习 1）化简： 解： ＝＝ 2）求值： 解： ＝2- 20 3、 二次根式的性质 性质1: 双重非负性 ≥0 （≥0） 性质2: 性质3: = 21 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 3 、 二次根式的性质 取值范围 运算顺序 运算结果 22 二次根式 二次根式 1.概念 2.有意义的条件 3.性质 小结： 23 深入理解特殊三角形有助于学生更好地补充。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在因式分解中体现为能够灵活地测试。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对整式加减的掌握程度，特别是补充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数单调性的关键在于理解如何演绎，这是解决相关问题的基本功。 感谢聆听 24 $