七年级数学上学期第一次月考卷（高效培优·提升卷）（范围：有理数）数学沪科版2024七年级上册

2025-2026学年七年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第1章 有理数 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利10元记作元，那么亏本50元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】解：如果盈利10元记作元，那么亏本50元记作元， 故选：A． 2．在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解；在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有，，0，，，共5个， 故选：C． 3．下列说法错误的是（   ） A．近似数3.02万精确到百位 B．142500000000精确到千万位为1425.0亿 C．142500000000精确到千万位为 D．近似数4.80所表示的精确数的范围为 【答案】C 【详解】解：A、近似数3.02万中，末位数字2位于百位（3.02万=30200），故精确到百位，说法正确，选项错误； B、原数142500000000精确到千万位时，千万位为0，后续数字全为0，无需进位。用“亿”为单位表示为1425.0亿，小数点后的0表明精确到千万位，说法正确，选项错误； C、科学记数法中，末位数字5位于十亿位，故精确到十亿位而非千万位，说法错误，选项正确； D、近似数4.80精确到百分位，其范围应为，说法正确，选项错误； 故选：C． 4．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．设表示不超过a的最大整数，如，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．当a等于整数时, ，否则不成立，如，故本选项错误； B．当a等于正整数时, ，故本选项错误； C．当a等于正整数时, ，故本选项错误； D．由的定义可知，一定不超过a，且差值小于1，即，故本选项正确； 故选D． 7．将分数输入如图所示的流程图，则输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是负数， ∴输出的结果为， 故选：C． 8．若，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴异号， ∴当时，；当时， 又∵ ∴， ∴， 故选B． 9．在数轴上与所对应的点的距离等于4的点表示的数是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：当点在表示的点的右边时， 该点表示的数是：； 当点在表示的点的左边时， 该点表示的数是：； 故该点表示的数是2或， 故选：C． 10．对于下列说法： ①若、互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，，则的值为． 其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵0的相反数是0， ∴当时，则无意义，故①结论错误，不符合题意； ∵， ∴、同号或至少一个为0时， ∴，故②结论正确，符合题意； 如图，设点P表示有理数x，由绝对值的意义得， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最小值为7， ∴③结论正确，符合题意； ∵，， ∴中必然为两个正数，一个负数， 设， 则， ∴④结论错误，不合题意． 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知，则的值为 ． 【答案】9 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 12．在数轴上，若点，分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是8，点在原点的左侧，则点表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：， 在原点的左侧， 表示的数为． 故答案为：． 13．用表示有理数中较大的数，用表示有理数中较小的数，则 【答案】 【详解】解：由题意可知， ，， ∵， ∴， 故答案为：． 14．是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 【答案】 2 14 【详解】解：（1）根据，，，得， ， 故答案为：2． （2）解：根据是双重绝对值运算， 故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或， 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， ，，此时最小值是18； 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， 时， 当时，，不符合题意； 当时，，，最小值为：， 当时， 当时，，最小值为18， 当时，，，最小值为：， 同理可证的最小值也是14或18， 综上所述，最小值为14， 故答案为：14． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 16．（8分）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（8分）（1）请在数轴上把下列各数表示出来：，，0，，. （2）将上列各数用“”连接起来：______． 【答案】数轴见解析； 【详解】解：（1），，；数轴如图所示： （2）用“”连接，． 18．（8分）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．（10分）我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决． (1)计算： (2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程 解：原式的倒数为： ． 故原式 请你根据对小明的方法的理解，计算 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）直接利用乘法对加法的分配律计算即可； （2）先计算的倒数，把除法化为乘法，利用乘法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式的倒数为： ， 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键． 20．（12分）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 【答案】(1)， (2)①②④ (3) 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：，． （2）解：①任何非零数的圈次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于，正确； ②对于任何正整数，的圈次方表示的是个相除，都等于；正确； ③，，故，错误； ④负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确； 故答案为：①②④ （3）解：∵ ∴， ， ， ， ， ． 21．（12分）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【详解】解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 22．（12分）某校七年级班至班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，实际购书情况如下表： 班级 班 班 班 班 实际购书量（本） 实际购书量与计划购书量的差（本） (1)求每个班计划购书量； (2)直接写出：________，________，________； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到本，其中本书免费．若每本书售价为元，求这个班团体购书的最低费用． 【答案】(1)每个班计划购书量为本 (2)，， (3) 【详解】（1）解：∵由于班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为， ∴每个班计划购书量为本， （2）解：由题意可得：∵一班实际购书量与计划购书量的差本， ∴一班实际购入本， ∵二班实际购书量为本， ∴二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， ∵三班实际购书量为本， ∴三班实际购书量与计划购书量的差为本， 故答案为：，，． （3）解：由上可得个班团体购书总数量为：本， ∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， 又∵一次购买达到本，其中本书免费， ∴一次购买达到本，只需要花本书的钱， ∴最低总花费为：元， ∴这个班团体购书的最低费用为． 23．（12分）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴或； （3）解：假设存在符合条件的k值， ∵经过t秒点A表示的数是，点B表示的数是， ∴，， ∴， 由题意，， ∴， 即存在符合条件的k值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第1章 有理数 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利10元记作元，那么亏本50元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列说法错误的是（   ） A．近似数3.02万精确到百位 B．142500000000精确到千万位为1425.0亿 C．142500000000精确到千万位为 D．近似数4.80所表示的精确数的范围为 4．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．设表示不超过a的最大整数，如，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 7．将分数输入如图所示的流程图，则输出的结果为（   ） A． B． C． D． 8．若，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 9．在数轴上与所对应的点的距离等于4的点表示的数是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 10．对于下列说法： ①若、互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，，则的值为． 其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知，则的值为 ． 12．在数轴上，若点，分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是8，点在原点的左侧，则点表示的数为 ． 13．用表示有理数中较大的数，用表示有理数中较小的数，则 14．是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）计算： (1) (2) 16．（8分）用简便方法计算： (1)； (2)． 17．（8分）（1）请在数轴上把下列各数表示出来：，，0，，. （2）将上列各数用“”连接起来：______． 18．（8分）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 19．（10分）我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决． (1)计算： (2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程 解：原式的倒数为： ． 故原式 请你根据对小明的方法的理解，计算 20．（12分）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 21．（12分）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 22．（12分）某校七年级班至班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，实际购书情况如下表： 班级 班 班 班 班 实际购书量（本） 实际购书量与计划购书量的差（本） (1)求每个班计划购书量； (2)直接写出：________，________，________； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到本，其中本书免费．若每本书售价为元，求这个班团体购书的最低费用． 23．（12分）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C C C D C B C B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．9 12． 13． 14． 2 14 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 16．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（8分） 【答案】数轴见解析； 【详解】解：（1），，；数轴如图所示： （2）用“”连接，． 18．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．（10分） 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）直接利用乘法对加法的分配律计算即可； （2）先计算的倒数，把除法化为乘法，利用乘法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式的倒数为： ， 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键． 20．（12分） 【答案】(1)， (2)①②④ (3) 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：，． （2）解：①任何非零数的圈次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于，正确； ②对于任何正整数，的圈次方表示的是个相除，都等于；正确； ③，，故，错误； ④负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确； 故答案为：①②④ （3）解：∵ ∴， ， ， ， ， ． 21．（12分） 【答案】（1），， （2） （3） 【详解】解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 22．（12分） 【答案】(1)每个班计划购书量为本 (2)，， (3) 【详解】（1）解：∵由于班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为， ∴每个班计划购书量为本， （2）解：由题意可得：∵一班实际购书量与计划购书量的差本， ∴一班实际购入本， ∵二班实际购书量为本， ∴二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， ∵三班实际购书量为本， ∴三班实际购书量与计划购书量的差为本， 故答案为：，，． （3）解：由上可得个班团体购书总数量为：本， ∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， 又∵一次购买达到本，其中本书免费， ∴一次购买达到本，只需要花本书的钱， ∴最低总花费为：元， ∴这个班团体购书的最低费用为． 23．（12分） 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴或； （3）解：假设存在符合条件的k值， ∵经过t秒点A表示的数是，点B表示的数是， ∴，， ∴， 由题意，， ∴， 即存在符合条件的k值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $