4.1 几何图形 讲义 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

4.1 几何图形 学习目标 1. 能识别常见的几何体，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。 2. 理解立体图形的不同分类方式，并能对简单的立体图形进行分类。 3. 知道几何体是由点、棱、面构成的，能初步描述几何体的顶点、棱、面的特征。 4. 理解点、线、面、体之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体。 5. 能判断一些简单的平面图形绕某条直线旋转一周后所得到的立体图形。 6. 能分析简单组合几何体的构成，指出它是由哪些基本几何体组合而成的。 知识点讲解 1. 常见的几何体 我们生活的空间中充满了各种各样的物体，数学上，我们把具有一定形状和大小的物体称为几何体，简称体。 常见的基本几何体有： · 正方体：六个面都是正方形，十二条棱长度都相等。 · 长方体：六个面都是长方形（或有相对的两个面是正方形），相对的面面积相等，相对的棱长度相等。 · 圆柱：上下两个底面是大小相等的圆，侧面是一个曲面。 · 圆锥：有一个圆形底面和一个顶点，侧面是一个曲面。 · 球：由一个曲面围成，球面上任意一点到球心的距离都相等。 · 棱柱：有两个互相平行且全等的多边形底面（底面是几边形就叫几棱柱），侧面是长方形，侧棱平行且相等。例如：三棱柱、四棱柱。 · 棱锥：有一个多边形底面（底面是几边形就叫几棱锥）和一个顶点，侧面是三角形。例如：三棱锥（四面体）、四棱锥。 2. 立体图形的分类 立体图形可以从不同角度进行分类： · 按围成的面是否有曲面分： · 多面体：由平面图形围成的几何体。如：正方体、长方体、棱柱、棱锥。 · 旋转体：由一个平面图形绕一条直线旋转而成的几何体。如：圆柱、圆锥、球。 3. 几何体的构成要素：点、棱、面 · 面：几何体的表面。面有平面和曲面之分。例如：正方体的面是平面；圆柱的侧面是曲面，底面是平面。 · 棱：两个面相交的线叫做棱。棱有直棱和曲棱之分。例如：正方体的棱是直棱；圆柱的侧面和底面相交形成的线是曲棱（圆）。 · 顶点：棱和棱的交点叫做顶点。例如：正方体有8个顶点。 注意：像球这样的几何体，它只有一个曲面，没有棱，也没有顶点。 4. 点、线、面、体之间的关系 · 体由面围成：面是构成体的基本要素。例如：一个正方体由6个平面围成。 · 面与面相交成线：线是面的边界。例如：长方体相邻的两个面相交成一条直棱。 · 线与线相交成点：点是线的交点。例如：长方体三条棱相交于一个顶点。 · 动态关系： · 点动成线：一个点运动后形成一条线。例如：笔尖在纸上移动就能画出线。 · 线动成面：一条线运动后形成一个面。例如：将一条线段向两端无限延伸得到一个平面（在特定条件下，如沿着垂直于自身的方向平移）；一个直角三角形的一条直角边固定，另一条直角边绕它旋转一周，斜边形成的轨迹是一个圆锥的侧面。 · 面动成体：一个面运动后形成一个体。例如：将一个长方形绕它的一条边旋转一周，会形成一个圆柱。 5. 平面图形旋转后得到的立体图形 一些简单的平面图形绕着一条固定的直线（旋转轴）旋转一周，可以得到一个立体图形。 · 长方形（或正方形）绕其一条边旋转一周：得到圆柱。这条固定的边是圆柱的高，另一边是圆柱底面圆的半径。 · 直角三角形绕其一条直角边旋转一周：得到圆锥。这条固定的直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥底面圆的半径。 · 半圆绕其直径旋转一周：得到球。 6. 组合几何体的构成 有些复杂的立体图形是由两个或两个以上的基本几何体组合而成的，这样的几何体称为组合几何体。 分析组合几何体的构成时，通常看它是由哪些我们学过的基本几何体（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等）通过拼接、挖去等方式组合而成。 例题解析 例1： 下列几何体中，属于棱柱的是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 正方体 D. 球 解析：棱柱是多面体，由平面围成，且有两个互相平行且全等的多边形底面，侧面是长方形。 A选项圆柱是旋转体，有曲面；B选项圆锥是旋转体，有曲面和一个顶点；C选项正方体符合四棱柱的特征（底面是正方形的直四棱柱）；D选项球是旋转体，只有曲面。 答案：C 例2： 指出正方体有几个顶点，几条棱，几个面？这些面有什么特点？ 解析：正方体是一种特殊的四棱柱。 顶点：正方体有8个顶点。 棱：正方体有12条棱，所有棱的长度都相等。 面：正方体有6个面，所有面都是大小相等的正方形，都是平面。 答案：正方体有8个顶点，12条棱，6个面；6个面都是大小相等的正方形（平面）。 例3： 下列说法正确的是（ ） A. 面动一定成体 B. 线动一定成面 C. 点动一定成线 D. 以上都对 解析： A. “面动成体”是指一个平面图形绕某条直线旋转或平移等运动可以形成体，但如果这个面沿着自身所在平面移动，则可能只是位置改变，没有形成新的体。不过在初中几何初步认识中，我们通常理解“面动成体”是一种基本的几何形成方式。 B. “线动成面”是指一条线（直线或曲线）沿着某个方向（不与自身重合或平行的方向）移动可以形成面。如果线沿着自身方向移动，则还是一条线。 C. “点动成线”是指点沿着一定方向移动所经过的轨迹是一条线。 在初中阶段，我们主要从这些动态形成的角度来理解点、线、面、体的联系。题目中的“一定”在绝对意义上可能不严谨，但从选项设置看，C选项“点动一定成线”是最符合基本几何观念的描述，点的运动轨迹就是线。A和B选项的“一定”在某些特殊运动情况下不成立。 答案：C 例4： 将一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体是什么？ 解析：根据“平面图形旋转成体”的知识，直角三角形绕一条直角边旋转一周。 以旋转的直角边为轴，另一条直角边旋转一周形成一个圆面（底面），斜边旋转一周形成一个曲面（侧面）。 因此，得到的几何体是圆锥。 答案：圆锥 例5： 观察一个由上下两部分组成的组合体，上面是一个尖顶，下面是一个圆柱体，这个组合体可能是由哪两个基本几何体构成的？ 解析：组合体由上下两部分组成。 上面是“尖顶”，符合圆锥的特征（有一个顶点，底面是圆）。 下面是“圆柱体”，即圆柱。 因此，这个组合体可能是由圆锥和圆柱构成的（圆锥在上方，圆柱在下方）。 答案：这个组合体可能是由圆锥和圆柱构成的。 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确答案，选项间用“|”分隔) 1. 下列几何体中，属于多面体的是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 三棱柱 2. 下列几何体中，没有曲面的是（ ） A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 3. 一个几何体有6个面，12条棱，8个顶点，这个几何体可能是（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 五棱锥 D. 圆锥 4. “笔尖在纸上快速滑动写出一个汉字”，用数学知识解释这一现象，正确的是（ ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 体动成点 5. 将一个矩形绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 长方体 6. 将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周，得到的几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 半球 7. 下列关于正方体的描述错误的是（ ） A. 正方体有6个面 B. 正方体有8个顶点 C. 正方体有10条棱 D. 正方体的所有棱长度都相等 8. 下列图形中，旋转后不能得到圆柱的是（ ） A. 长方形 B. 正方形 C. 直角梯形（绕垂直于底边的腰旋转） D. 圆 9. 一个棱锥有5个面，则它一定是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥 10. 下列组合体中，不可能由正方体和圆柱组成的是（ ） A. 一个正方体放在一个圆柱的正上方 B. 一个圆柱贯穿一个正方体 C. 一个正方体的某个面与一个圆柱的底面完全重合拼接 D. 一个正方体和一个圆柱的侧面完全贴合 二、填空题 11. 圆锥有 个顶点（ ）个面，其中 个平面（ ）个曲面。 12. 圆柱有 条曲棱，它是由 个平面和 个曲面围成的。 13. 点动成 ，线动成 ，面动成 。（填“点”、“线”、“面”或“体”） 14. 一个三棱柱有 个顶点（ ）条棱（ ）个面。 15. 生活中，篮球可以近似地看作几何体中的 ；我们常用的课本（长方体形状）可以近似地看作几何体中的 。 三、解答题 16. 请分别说出构成下列几何体的面有哪些类型（平面或曲面）： (1) 正方体 (2) 圆锥 (3) 圆柱 17. 一个五棱柱有多少个顶点？多少条棱？多少个面？其中有多少个侧面？侧面是什么形状？ 18. 分别指出将下列平面图形绕指定的轴旋转一周后所得到的几何体名称： (1) 长方形绕其一条长边所在的直线旋转一周。 (2) 半圆绕其直径所在的直线旋转一周。 (3) 直角梯形绕其垂直于两底的腰所在的直线旋转一周。 19. 描述一个你所熟悉的组合几何体（如某些建筑物的一部分、生活用品等），并说明它可能是由哪些基本几何体组合而成的。 巩固练习参考答案及解析 一、选择题 1. D 解析：多面体是由平面围成的。A圆柱有曲面；B圆锥有曲面；C球是曲面；D三棱柱由5个平面围成，是多面体。 2. A 解析：A正方体的6个面都是平面；B圆柱有1个侧面是曲面；C圆锥有1个侧面是曲面；D球整个是曲面。 3. B 解析：A三棱柱有6个顶点，9条棱，5个面；B四棱柱（如长方体、正方体）有8个顶点，12条棱，6个面；C五棱锥有6个顶点，10条棱，6个面；D圆锥有1个顶点，1条曲棱，2个面（1平1曲）。 4. A 解析：笔尖可看作一个点，点在纸上滑动形成汉字（线），体现了“点动成线”。 5. B 解析：矩形绕一条边旋转一周，这条边为轴，另一条边旋转形成圆面（底面），对边旋转形成圆柱侧面，故得到圆柱。 6. C 解析：半圆绕直径旋转一周，半圆上的各点旋转轨迹形成球面，故得到球。 7. C 解析：正方体有12条棱，不是10条。 8. D 解析：A长方形绕一边旋转得圆柱；B正方形绕一边旋转得圆柱；C直角梯形绕垂直于两底的腰旋转，上底旋转成小圆面，下底旋转成大圆面，侧面形成圆台的侧面，得到圆台（或看作圆柱挖去一个圆锥，但题目问“不能得到圆柱”，圆台不是圆柱）；D圆绕其直径旋转一周得到球，绕其一条切线旋转会得到一个类似轮胎的环体，无论如何旋转，一个圆本身旋转不能直接得到圆柱。圆柱是由矩形旋转得到的。 9. B 解析：棱锥有一个底面和若干个侧面（三角形）。面数=侧面数+1（底面）。5个面说明有4个侧面，所以是四棱锥（底面是四边形，4个侧面）。 10. D 解析：A正方体可以放在圆柱上方；B圆柱可以贯穿正方体（如正方体中间挖一个圆柱孔）；C正方体的一个面与圆柱的底面重合拼接是可能的；D正方体的面是平面，圆柱的侧面是曲面，两者无法完全贴合。 二、填空题 11. 1，2，1，1 解析：圆锥有1个顶点；底面是1个平面，侧面是1个曲面，共2个面。 12. 2，2，1 解析：圆柱上下底面都是圆，每个底面（圆）是平面与侧面（曲面）的交线，故有2条曲棱（上、下底面的圆）；由2个平面（上、下底面）和1个曲面（侧面）围成。 13. 线，面，体 解析：这是点、线、面、体之间动态生成关系的基本结论。 14. 6，9，5 解析：三棱柱上下底面各有3个顶点，共6个顶点；上下底面各有3条棱，侧面有3条棱，共3+3+3=9条棱；上下2个底面，3个侧面，共5个面。 15. 球，长方体 解析：篮球形状接近球体；课本形状接近长方体。 三、解答题 16. 解： (1) 正方体的6个面都是平面。 (2) 圆锥有2个面：1个底面是平面，1个侧面是曲面。 (3) 圆柱有3个面：2个底面是平面，1个侧面是曲面。 17. 解： 一个五棱柱有10个顶点（上下底面各5个）。 一个五棱柱有15条棱（上下底面各5条棱，侧面有5条棱，5+5+5=15）。 一个五棱柱有7个面（上下2个底面，5个侧面）。 其中有5个侧面。 侧面是长方形。 18. 解： (1) 长方形绕其一条长边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱。 (2) 半圆绕其直径所在的直线旋转一周，得到的几何体是球。 (3) 直角梯形绕其垂直于两底的腰所在的直线旋转一周。 解析：这条垂直的腰为旋转轴。上底较短，旋转一周形成一个较小的圆面；下底较长，旋转一周形成一个较大的圆面；另一条不垂直的腰旋转一周形成一个圆台的侧面。 因此，得到的几何体是圆台。（如果上底长度为0，即直角三角形，则得到圆锥；此处是直角梯形，上底不为0，故为圆台。初中阶段可能不严格要求圆台名称，但应能描述其构成） 19. 解：（示例） 例如：一个带盖的茶叶罐。 它的主体部分是一个圆柱体（茶叶罐的罐身）。 罐盖通常也是一个圆柱体，或者是一个略大一点的圆柱体扣在罐身上。 所以，带盖的茶叶罐可以看作是由两个圆柱体组合而成的（一个大圆柱作为罐身，一个小圆柱作为罐盖，或者罐盖与罐身半径相同）。 （说明：答案不唯一，合理即可。学生可自由发挥，只要能清晰描述组合体及其构成的基本几何体即可。） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 几何图形 学习目标 1. 能识别常见的几何体，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。 2. 理解立体图形的不同分类方式，并能对简单的立体图形进行分类。 3. 知道几何体是由点、棱、面构成的，能初步描述几何体的顶点、棱、面的特征。 4. 理解点、线、面、体之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体。 5. 能判断一些简单的平面图形绕某条直线旋转一周后所得到的立体图形。 6. 能分析简单组合几何体的构成，指出它是由哪些基本几何体组合而成的。 知识点讲解 1. 常见的几何体 我们生活的空间中充满了各种各样的物体，数学上，我们把具有一定形状和大小的物体称为几何体，简称体。 常见的基本几何体有： · 正方体：六个面都是正方形，十二条棱长度都相等。 · 长方体：六个面都是长方形（或有相对的两个面是正方形），相对的面面积相等，相对的棱长度相等。 · 圆柱：上下两个底面是大小相等的圆，侧面是一个曲面。 · 圆锥：有一个圆形底面和一个顶点，侧面是一个曲面。 · 球：由一个曲面围成，球面上任意一点到球心的距离都相等。 · 棱柱：有两个互相平行且全等的多边形底面（底面是几边形就叫几棱柱），侧面是长方形，侧棱平行且相等。例如：三棱柱、四棱柱。 · 棱锥：有一个多边形底面（底面是几边形就叫几棱锥）和一个顶点，侧面是三角形。例如：三棱锥（四面体）、四棱锥。 2. 立体图形的分类 立体图形可以从不同角度进行分类： · 按围成的面是否有曲面分： · 多面体：由平面图形围成的几何体。如：正方体、长方体、棱柱、棱锥。 · 旋转体：由一个平面图形绕一条直线旋转而成的几何体。如：圆柱、圆锥、球。 3. 几何体的构成要素：点、棱、面 · 面：几何体的表面。面有平面和曲面之分。例如：正方体的面是平面；圆柱的侧面是曲面，底面是平面。 · 棱：两个面相交的线叫做棱。棱有直棱和曲棱之分。例如：正方体的棱是直棱；圆柱的侧面和底面相交形成的线是曲棱（圆）。 · 顶点：棱和棱的交点叫做顶点。例如：正方体有8个顶点。 注意：像球这样的几何体，它只有一个曲面，没有棱，也没有顶点。 4. 点、线、面、体之间的关系 · 体由面围成：面是构成体的基本要素。例如：一个正方体由6个平面围成。 · 面与面相交成线：线是面的边界。例如：长方体相邻的两个面相交成一条直棱。 · 线与线相交成点：点是线的交点。例如：长方体三条棱相交于一个顶点。 · 动态关系： · 点动成线：一个点运动后形成一条线。例如：笔尖在纸上移动就能画出线。 · 线动成面：一条线运动后形成一个面。例如：将一条线段向两端无限延伸得到一个平面（在特定条件下，如沿着垂直于自身的方向平移）；一个直角三角形的一条直角边固定，另一条直角边绕它旋转一周，斜边形成的轨迹是一个圆锥的侧面。 · 面动成体：一个面运动后形成一个体。例如：将一个长方形绕它的一条边旋转一周，会形成一个圆柱。 5. 平面图形旋转后得到的立体图形 一些简单的平面图形绕着一条固定的直线（旋转轴）旋转一周，可以得到一个立体图形。 · 长方形（或正方形）绕其一条边旋转一周：得到圆柱。这条固定的边是圆柱的高，另一边是圆柱底面圆的半径。 · 直角三角形绕其一条直角边旋转一周：得到圆锥。这条固定的直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥底面圆的半径。 · 半圆绕其直径旋转一周：得到球。 6. 组合几何体的构成 有些复杂的立体图形是由两个或两个以上的基本几何体组合而成的，这样的几何体称为组合几何体。 分析组合几何体的构成时，通常看它是由哪些我们学过的基本几何体（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等）通过拼接、挖去等方式组合而成。 例题解析 例1： 下列几何体中，属于棱柱的是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 正方体 D. 球 例2： 指出正方体有几个顶点，几条棱，几个面？这些面有什么特点？ 例3： 下列说法正确的是（ ） A. 面动一定成体 B. 线动一定成面 C. 点动一定成线 D. 以上都对 例4： 将一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体是什么？ 例5： 观察一个由上下两部分组成的组合体，上面是一个尖顶，下面是一个圆柱体，这个组合体可能是由哪两个基本几何体构成的？ 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确答案，选项间用“|”分隔) 1. 下列几何体中，属于多面体的是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 三棱柱 2. 下列几何体中，没有曲面的是（ ） A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 3. 一个几何体有6个面，12条棱，8个顶点，这个几何体可能是（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 五棱锥 D. 圆锥 4. “笔尖在纸上快速滑动写出一个汉字”，用数学知识解释这一现象，正确的是（ ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 体动成点 5. 将一个矩形绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 长方体 6. 将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周，得到的几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 半球 7. 下列关于正方体的描述错误的是（ ） A. 正方体有6个面 B. 正方体有8个顶点 C. 正方体有10条棱 D. 正方体的所有棱长度都相等 8. 下列图形中，旋转后不能得到圆柱的是（ ） A. 长方形 B. 正方形 C. 直角梯形（绕垂直于底边的腰旋转） D. 圆 9. 一个棱锥有5个面，则它一定是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥 10. 下列组合体中，不可能由正方体和圆柱组成的是（ ） A. 一个正方体放在一个圆柱的正上方 B. 一个圆柱贯穿一个正方体 C. 一个正方体的某个面与一个圆柱的底面完全重合拼接 D. 一个正方体和一个圆柱的侧面完全贴合 二、填空题 11. 圆锥有 个顶点（ ）个面，其中 个平面（ ）个曲面。 12. 圆柱有 条曲棱，它是由 个平面和 个曲面围成的。 13. 点动成 ，线动成 ，面动成 。（填“点”、“线”、“面”或“体”） 14. 一个三棱柱有 个顶点（ ）条棱（ ）个面。 15. 生活中，篮球可以近似地看作几何体中的 ；我们常用的课本（长方体形状）可以近似地看作几何体中的 。 三、解答题 16. 请分别说出构成下列几何体的面有哪些类型（平面或曲面）： (1) 正方体 (2) 圆锥 (3) 圆柱 17. 一个五棱柱有多少个顶点？多少条棱？多少个面？其中有多少个侧面？侧面是什么形状？ 18. 分别指出将下列平面图形绕指定的轴旋转一周后所得到的几何体名称： (1) 长方形绕其一条长边所在的直线旋转一周。 (2) 半圆绕其直径所在的直线旋转一周。 (3) 直角梯形绕其垂直于两底的腰所在的直线旋转一周。 19. 描述一个你所熟悉的组合几何体（如某些建筑物的一部分、生活用品等），并说明它可能是由哪些基本几何体组合而成的。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $