第3章幂、指数与对数章节复习提升同步培优讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章幂、指数与 对数章节复习提升 一、幂与指数 Ⅰ.根式 1.如果xn＝a，那么叫做a的n次方根； 2.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数； 3.()n＝．当n为奇数时，＝；当n为偶数时，＝|a|＝ Ⅱ.分数指数幂的意义 1.分数指数幂 ①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2.实数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 二、对数 1. 对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2. 常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； 3. 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 考点01：n次方根的概念与性质 【例1】（2024-25上海交大附中嘉定分校高一（上）期中）在实数范围内，的四次方根是______．32的5次方根是 　　 【例2】（2024学年闵行中学高一上期中）下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【例3】（2024秋·上海高一专题练习）下列各式正确的是（    ） A．=a B．a0=1 C．=-4 D．=-5 【例4】求下列各根式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 考点02：根式的化简与求值 【例5】（2023春•浦东新区校级期末）计算：　　． 【例6】 （2024-25上海师大二附中高一上考试）代数式化成分数指数幂为______． 【例8】（2024秋·上海高一专题练习）当时，= . 考点03：实数指数幂的化简 【例9】（2024秋·上海高一专题练习）计算下列各式的值： （1） ；（2） ；（3） ． 【例10】（2024-25高一上黄浦区卢湾高级中学期中）若，，化简___________. 【例11】（2024秋·上海高一专题练习）化简： .（其中，） 【例12】（2024秋·上海高一专题练习）化简. 考点04：分数指数幂与根式互化 【例13】 （2024-25奉贤中学高一上期中）化简______． 【例14】（2024-25金山中学高一上期中）将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 【例15】（2024秋·上海高一专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)；(2)；(3)；(4). 考点05：指数幂的运算与求值 【例16】（2024秋·上海高一专题练习）计算： 【例17】已知，求下列各式的值： ① ；      ②；      ③. 【例18】（2024学年闵行中学高一上期中）已知，求的值； 【例19】（2024秋·上海高一专题练习）已知，求下列各式的值. (1) (2) (3) 考点06：对数的概念与性质 【例20】（2024秋·上海高一专题练习）② ；③ ④ ；⑤ 【例21】（2024秋·上海高一专题练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 【例22】（2024秋·上海高一专题练习）若，则的取值范围是 . 【例23】（2024秋·上海高一专题练习）计算： ． 【例24】（2024秋·上海高一专题练习）求下列各式的值： （1）log28；        （2）log9；（3）lne；       （4）lg1. 【例25】（2024秋·上海高一专题练习）若，则 . (1)； (2)； (3)； (4)． 考点07：指数式与对数式互化 【例27】（2024-25上海师大二附中高一上考试）指数式化成对数式为______． 【例28】 （2024-25大同中学高一上期中）已知，，则 ____ 【例29】（2024-25金山中学高一上期中）若，则__________． 【例30】（2024秋·上海高一专题练习）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ；（2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 考点08：对数的运算 【例31】（2024-25高一上上海大附中期中） 成立”是“成立”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 既非充分也非必要 D. 充要 【例32】 （2024-25洋-泾中学高一上期中）若，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【例33】（2024秋·上海高一专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【例34】（2024秋·上海高一专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【例35】（2024秋·上海高一专题练习）计算下列各式的值． (1)； (2)． 考点09：换底公式 【例36】（2024-25高一上上海大附中期中） 已知，用表示=_______ 【例37】（2024-25大同中学高一上期中）已知，用的代数式表示________． 【例38】（2024-25奉贤中学高一上期中） 已知，则______．（用a和b表示） 【例39】 （2024-25高一上复旦大学附属复兴中学期中）已知，，则__________.（结果用表示） 【例40】（2024-25高一上黄浦区卢湾高级中学期中）已知，，试用，表示__________________． 【例41】（2024秋·上海高一专题练习） . 【例42】（2024秋·上海高一专题练习）若，则 . 【例43】（2024秋·上海高一专题练习）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 考点10：对数的实际应用 【例44】（2024-25奉贤中学高一上期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（ ）． A. 607 B. 608 C. 609 D. 610 【例45】里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）与观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（）比值的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（    ）（参考数据：） A．25 B．31.6 C．250 D．316 【例46】（2024-25金山中学高一上期中） “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的. 假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是. 一年后“进步者”是“退步者”的倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 【例47】深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【例48】在银行存元，假设年利率为，每年结算自动转存.多少年达到万元？多少年达到万元？ 【例49】在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？ 考点11：综合提升 【例50】（2024-25大同中学高一上期中）设，“”是“”的一个（ ） A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要 【例51】（2024学年闵行中学高一上期中）已知正数、满足，且，则________. 【例52】（2024-25洋泾中学高一上期中）已知关于x的方程，试解 （1）当是方程的一个解时，求实数a的值； （2）当方程只有一解时，求实数a的值． 【例53】（2024-25上海复旦大学附属中学高一上期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. （1）设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； （2）已知，且，若，，求：的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章幂、指数与对数章节复习提升 考点01：n次方根的概念与性质 考点07：指数式与对数式互化 考点02：根式的化简与求值 考点08：对数的运算 第3章幂、指数与对数 考点03：实数指数幂的化简 考点09：换底公式 章节复习提升 考点04：分数指数幂与根式互化 考点10：对数的实际应用 考点05：指数幂的运算与求值 考点11：综合提升 考点06：对数的概念与性质 知识梳理 一、幂与指数 I.根式 1.如果x=a,那么x叫做a的n次方根； 2.式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数： 3.(na)r=a. 当n为奇数时，nan=a;当n为偶数时，nan=la=a,a≥0，一a,a<0.) Ⅱ.分数指数幂的意义 1.分数指数幂 ①正分数指数幂：。刊 =nam(a>0,m,n∈N*,且n>l). ②负分数指数幂：a刊 =1fm)=lnam(a>0,m,n∈N*,且n>l). ③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.实数指数幂的运算性质 ①amas=a+(a>0,r,s∈R).②(a)=a(a>0,',s∈R).③(aby=ab'(a>0,b>0,reR) 二、对数 1.对数的定义：一般地，如果a=N(a>0且a≠)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log。N,读作 以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 1/22 2.常见对数： ①一般对数：以a(a>0且a≠1)为底，记为log。,读作以a为底N的对数； ②常用对数：以10为底，记为gN; ③自然对数：以e为底，记为lnN; 3.对数的性质和运算法则： ①log,=0;log=1;其中a>0且a≠1； ②aoe=N(其中a>0且a≠1，N>0): ③对数换底公式：1og,b=1og.b ④log.(MN)=log。M+log.N; log a ⑤log.N -=log M-log N; ⑥logb"=”1og.bm,n∈R); 1 1 ⑦a,b=b和l0g。a°=b; ⑧log.b= log,a 典型解析 考点01：n次方根的概念与性质 16 【例1】(2024-25上海交大附中嘉定分校高一（上)期中)在实数范围内， 的四次方根是一·32的5 81 次方根是一 【】数运室可为-)( 所以！6的四次方根是2或 16 2 81 3 3 2 故答案为：士3 32=2=2. 故答案为：2. 【例2】(2024学年闵行中学高一上期中)下列各式正确的是() A.a =a B.a0=1 C.(-4)=-4 D.(-π)泸=-元 【答案】D 【解析】 【分析】根式化简及零指数意义 【详解】对于A,a=a,当a为负数时等式不成立，故A不正确； 2/22 对于B,a°=1，当a=0时无意义，故B不正确； 对于C,-4)=-4,左边为正，右边为负，故C不正确： 对于D,-π)=-π，故D正确。 故选：D. 【点晴】根式化简注意根指数的奇偶性 【例3】(2024秋.上海高一专题练习)下列各式正确的是() A.as =a B.a=1 C.-4)=-4 D.(-5)3=-5 【答案】D 【分析】根据偶次方根，被开方数需满足非负性，而对于奇次方根，任意实数都可，进而问题可求解. 【详解】解：由于a”= 次为教测选爽A心C排除，D止确，B无要加条件a03 故选D 【点晴】本题主要考查n次方根，熟练掌握n次方根的性质是解题的关键. 【例4】求下列各根式的值： 24,(2-0.125；3-2,4-27列. (1) V32 【答案】(1)2(2)-0.53)-243 【分析】(1)(2)(3)(4)利用根式的运算性质求解即可. 【解析】(1 32 (2)-30.125=-0.5)3=-0.5; (3)-2=-2 (4)(-27)2=272=(3)2=36=3 考点02：根式的化简与求值 【例5】(2023春·浦东新区校级期末)计算：-162=_ 【分析】直接化分数指数幂为二次根式得答案。 【解析】原式=-√16=-4. 【例6】(22425上南师大二附中高一上考试)代数式证化成分数指数幂为 3/22 【答案】。号 【解析】 【分析】先将根式化为分数指数幂，再化成负分数指数幂即可求解 11 2 详解1a4 as 故答案为： 2 a 5. 73 【例7】(202425洋泾中学高一上期中)已知a>0,b>0,化简：a2b2 ab 【答案】a3b 【解析】 【分析】把根式化成分数指数式，再利用指数式的运算法则进行化简 73 【详解】因为0262-a2b2?131 73 Vab= 17=a22b22=ab. a2b2 故答案为：a3b 【例8】(2024秋上海高一专题练习)当x<0时，+x6+2x3+3x4=」 【答案】-3x 【分析】根据开根号的性质，直接计算即可得解。 【解析】由x<0, 则x++2F+3=x++2x+3=5x+2x=-5x+2x=-3x, 故答案为：-3x 考点03：实数指数幂的化简 【例9】(2024秋·上海高一专题练习)计算下列各式的值： 32 2 (1)85.85=:(2)8=:(3) 3.b4 3 【答案】 84 a'ba 【分析】(1)(2)(3)根据分数指数幂的运算性质求解即可 【解析】(1)85.85=855=8 3232 4/22 (2)85=(25=22=4 (3) [a-ua =a2b4 故答案为：8,4，ab4 【例101(202425高-上黄浦区卢湾高级中学期中)若a>0,b>0,化简（口2-5）-5.62-6- 【答案】ab4#b4a 【解析】 【分析】利用指数的运算法则即求 【详解】因为a>0,b>0, 所以a252563-5=a2-y-5h2525=b 故答案为：ab4 21 11 4a3b2 -2a2b3 【例11】（2024秋·上海高一专题练习)化简： (其中a>0,b>0) 5a6b6 【答案】-8。 【分析】根据指数幂的运算性质化简可得结果」 21 11 4a3b2 -2a2b3 【解析】因为a>0,b>0,则 5 50b58- 5a6b6 故答案为：-8。 51 2 6 -3a2b1 【例12】(2024秋·上海高一专题练习)化简 4a3.b3 【答案】-5.6 4062 【分析】利用指数幂的运算律进行运算化简 5/22 1 -3a2b J 1 3b2. -3a2b1 【解析】 6 13 4a3.b3 2a3b2 111 5 13 =×-3)×a323b 02b2, 61 4 5-13 所以化简结果为-二a2b2. 4 考点04：分数指数幂与根式互化 【例13】(2024-25奉贤中学高一上期中)化简 【答案】ad 【解析】 【分析】将根式化为分式指数幂的形式，再结合指数幂运算求解 3 5 3§3 【详解】由题意可得： =a3.a2=a32=a6 故答案为：a6 【例14】(2024-25金山中学高一上期中)将√a2√a(其中a>0)化为有理数指数幂的形式为一 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】Va2a=Va2a2=√a2=a 故答案为： ai 【例15】(2024秋上海高一专题练习)用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0,b>0): a -3a4b3 2 6a2b3 【答案】126号3)ab4-2ab 【分析】根据指数幂公式化简即可 a a2 a2 【解析】(1) a后la.a-Ja-a=1. 6/22 32 (2) ajj- 4a4-3a4b3 (4) -12a2b3 =-2ab3 12 12 6a2b3 6a2b3 考点05：指数幂的运算与求值 【例16】(2024秋·上海高一专题练习)计算： 1 【解析】 25 8 9 (π+e°+ 1252 -1+2=2 33 【例17】己知x+x=3,求下列各式的值： ①+x； ②x2+x2; ③x2-x2. 【答案】①√5；②7：③±3√5 【分析】①因为x+x=3,所以 =x+x1+2=5, 又+x>0所以x2+x=5 ②因为x+x1=3,所以x+x)=x2+x2+2=9,所以x2+x2=7 ③因为x2-x2=(x+x)x-x),且(x-x2=x2+x2-2=7-2=5, 所以x-x1=±√5，所以x2-x2=3V5 【例18】(2024学年闵行中学高一上期中)已知a2+ai=5(a>0,x∈R),求a+a的值： 【详解】由题设有。立+a-5可得 a2+a2 =25,故a+ax=23 【例9】2024秋上南高一专题练习已知6-方5，求下列各式的值 33 33 (1)a+a1 (2)a2+a2 (3)a2-a2 a2+a2 a-a 【答案】(1)a+a1=7(263) 3 【分析】(1)根据指数幂的运算，结合完全平方公式即可求解， 11∠L (2)根据指数幂的运算，结合立方和的公式即可化简求解， (3)由立方差的公式，化简即可求解 【解析】(1)由a-=5,可知a>0, 因为a2-a2=a+a1-2=5,故a+a1=7 33 a2+a2 a-1+a (2)a2+a2 -=a-1+a1=61 a2+a2 a2+a2 1 )2 (3)由(1)知a+a1=7,所以a2+a2 =a+a+2=9, 又因为g+a>0,所以a+a立=3” 1 3 a2-a2a+1+a1 所以 2-a2 a+1+a8 a-a 1 11 3 a2+a2 a2-a2 a2+a2 考点06：对数的概念与性质 【例20】(2024秋·上海高一专题练习)②log1=:③log.a= ④l0ga=；⑤ alog.N 【答案】 0 【分析】略 【解析】略 【例21】(2024秋.上海高一专题练习)若对数log(-2a+1)有意义，则a的取值范围是 【答案】0写 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得 3a>0 【解析】依题意， 3a≠1 且a ,解得0<a<2 3 -2a+1>0 所以a的取值范国是@U(写 故答案为：( 【例22】(2024秋·上海高一专题练习)若10g+1x+1=1,则x的取值范围是 8/22 【答案】(-1,0)U(0,+∞) 【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于x的不等式组，即可解得实数x的值 x+1>0 【解析】对于等式log+1x+1)=1,有 x+1≠1，解得x>-1且r≠0， 因此，x的取值范围是(-1,0)U(0,+0). 故答案为：（-1,0)U0,+0) 【例23】(2024秋上海高一专题练习)计算：223+4823+83+16823= 【答案】120 【分析】由幂的运算性质及23=3即可求解 【解析】解：2：3+4：3+883+168：3=3+(2：32+(28：3°+(2：°=3+32+33+34=120， 故答案为：120. 【例24】(2024秋·上海高一专题练习)求下列各式的值： 1 (1)log28: (2)g:(3)Ine; (4)lg1. 【答案】(1)3；(2)-1；(3)1；(4)0 【分析】根据对数式与指数式的互化及可求出答案； 【解析】(1)设1og28=x,则2x=8=23 所以x=3.所以1og28=3 (2)设1og】=,则g==9-1, 9 9 所以x=-1.所以1og)=-1 (3)ne=1. (4)lg1=0. 【例25】(2024秋上海高一专题练习)若1og,[log,(1og2x]=0,则x= 【答案】32 【分析】由对数的概念运算求解即可 【解析】由对数运算的定义，有 .log;logs(log2x)=0, .logs(log2 x)=1, 9/22 .l0g2 x=5, .x=2=32 故答案为：32 【例26】求下列各式中x的值， (1)10g1x=-3, 3 (2)10g.49=4; (3)l0gs[log,(10g2 x)]=0; (4)log2[log;(1og2 x)]=1. 【答案】(1)27 (2)v7 (3)22 (4)29 【分析】(1)(2)将对数化为指数，结合指数运算求解： (3)(4)根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果 3 【解析】(1)因为og!x=-3,所以x= =27 3 (2)因为l0g,49=4,可得x=49, 又因为x>0且x≠1，得x=√7. (3)因为log[log,1og2x]=0,得log,1og2x)=1, 则1og2x=7,所以x=27. (4)因为log,[log,1og2x门=1，可得log:(1og2x)=2, 则10g2x=9,所以x=2 考点07：指数式与对数式互化 【例27】(2024-25上海师大二附中高一上考试)指数式2=b化成对数式为 【答案】a=log,b 【解析】 10/22