专题02 不等式（期中知识清单）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题02 不等式（10知识&8题型&2易错） 【答案】 一、1、做差法 做商法 2、对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 二、1、 2、 三、1、结合二次函数的图像-数形结合 2、注重分母不等于与二次不等式转化 3、注意正负 【清单一】等式与不等式的性质 知识点1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 知识点2、不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 【清单二】基本不等式 知识点3、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 【清单三】二次方程、二次函数与二次不等式 知识点4、一元二次不等式 一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点5、二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点6、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【特别提醒】 (1)、对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)、对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点7、解一元二次不等式的一般步骤 1、通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 2、计算对应方程的判别式； 3、求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； 4、根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【特别提醒】 (1)、一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 知识点8、解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识9、简单分数不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 知识点10、不等式恒成立问题 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 【必考题型一】不等式的性质 【例1】、（2025高一上·江苏·专题练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】对于A，当时即可判断，对于B，利用作差法即可判断，对于C，取即可判断，对于D，利用作差法即可判断. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B：因为 ，则，所以，，所以，故B正确， 对于C，取，满足，显然不成立，故C错误； 对于D： ，因为，得，又，所以，所以，故D错误. 故选：B 【变式1-1】、（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】举反例令可得A错误；由不等式的性质可得B错误；作差法可得C正确；举反例可得D错误. 【详解】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C 【变式1-2】、（24-25高二下·河北沧州·期末）（多选题）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 因为，且，所以，故选项A正确； 对于选项B： 若，则，故选项B错误； 对于选项C： 因为，所以，又因为，所以，故选项C正确； 对于选项D： 若，则，不等式两边同时除以得，故选项D错误． 故选：AC． 【变式1-3】、（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（多选题）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【答案】CD 【难度】0.4 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等式的性质即可求解AB，利用整体法，结合不等式的性质求解C，利用作差法即可求解D. 【详解】对于A,由，故，故A错误， 对于B，由于，所以， 又，所以， 又，故，故， 因此，故B错误， 对于C,由于，结合，， 则，故C正确， 对于D, ，由于，， 故，即，故D正确， 故选：CD 【必考题型二】比较大小 【例2】、，，则，的大小关系为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法比大小. 【详解】由已知，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即， 故答案为：. 【变式2-1】、（2025·四川绵阳·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】结合不等式的基本性质及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足； 当时，，则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-2】、（24-25高一下·广东惠州·开学考试）某校高一年级男生人数多于女生人数，在选科后选报物理方向的人数多于历史方向的人数，则（    ） A．物理方向的男生多于物理方向的女生 B．历史方向的女生多于历史方向的男生 C．物理方向的女生多于历史方向的男生 D．物理方向的男生多于历史方向的女生 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，计算可得结论. 【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为， 根据题意可得，所以， 即，故物理方向的男生多于历史方向的女生. 故选：D. 【变式2-3】、（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则m与n的大小关系为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用做差，平方运算，即可判断大小关系. 【详解】 ， 要判断与的大小， 即判断与的大小， ， 所以，即. 故答案为： 【必考题型三】基本不等式的应用-直接法求最值 【例3】、若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 【变式3-1】、（24-25高一·江苏·假期作业）若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】法一：把用表示化简，再应用基本不等式计算得出最大值；法二：令，再化简应用基本不等式计算得出最大值； 【详解】法一：由实数 满足， 设，解得， 则， 当且仅当，及时等号成立， 所以的最大值为. 法二：令， 则 ， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 【变式3-2】、（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据题意得出；再根据均值不等式求出即可得出结果. 【详解】因为，恒成立， 所以． 又因为， 所以， 根据均值不等式可得： ，当且仅当，即时取等号， 所以，即． 故答案为：. 【变式3-3】、（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 【必考题型四】基本不等式的应用-“1”的代换求最值 【例4】、（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 【变式4-1】、（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 【变式4-2】、（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由条件得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 故答案为：1 【变式4-3】、（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】设，，再根据结合基本不等式求解即可. 【详解】设，，则， 因为，故，则. 故， ， 当且仅当，即，结合可得， ， 即，，，时取等号. 故答案为： 【必考题型五】基本不等式中的证明问题 【例5】、（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由得 当，时，取得最小值． 【变式5-1】、（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）设，，且，求的最小值； （2）已知正实数，满足，求的最小值； （3）设，，，为实数，求证：． 【答案】（1）9；（2）；（3）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据基本不等式常值代换计算求解； （2）根据已知化简求出得，再变形化简应用基本不等式计算； （3）应用重要不等式得出，，,，再结合不等式的性质计算证明即可. 【详解】（1）解：因为，，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9． （2）解法一 由得， 则， 故可知当时，取得最小值，为． 解法二 由得． 令，， 则． ， 故可知当时，取得最小值，为． （3）因为，，，， 以上四个式子相加可得： ， 当且仅当时等号成立． 即． 所以结论成立． 【变式5-2】、（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可； （2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）方法一:，且，，都是正数， ，当且仅当时取等号， 故. 方法二：，且，，都是正数， 所以 ，当且仅当时取等号， 故. （2）方法一:、都是正数， 当且仅当时取等号， 又，，所以，当且仅当时取等号， ， ，即， ，. 令，其中， 因为在上单调递减， 所以，所以的最小值为. 方法二:因为 都是正数， ，当且仅当，即时取等号， 又， ，当且仅当时取等号， 令，下面即要讨论函数，的最小值； 首先，讨论函数在上的单调性， 对， 有. 函数在上单调递减. 当，即时，取得最小值. ，当且仅当时取等号. 【变式5-3】、已知均为正数. (1)若，求的最小值； (2)，求证：. 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、利用基本不等式证明不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）由得，则，再由基本不等式求解即可； （2）由，得，再由基本不等式求解即可 【详解】（1）由得， 所以， 又均为正数， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以的最小值为9； （2）因为， 所以， 又均为正数， 所以， 所以， 当且仅当时取等号. 【必考题型六】二次不等式的解法 【例6】、（2024·浙江·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据集合的表示方法和一元二次不等式的解法求得集合，，再结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合集合的表示方法，以及一元二次不等式的解法求得集合是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 【变式6-1】、（2025高一·全国·专题练习）已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3，据此可得答案. 【详解】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3， 则由韦达定理：，解得． 故选：B 【变式6-2】、（2024·江苏南通·模拟预测）若不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得且，由此化简要求的不等式为，从而求出它的解集. 【详解】由题，可得和是方程的两根，且， ，解得， 则不等式可化为，即， 解得，故不等式的解集为. 故选：A. 【变式6-3】、（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以. 故选：A. 【必考题型七】其它不等式的解法 【例7】、（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分式不等式 【分析】将分式不等式转化为等价的不等式组求解. 【详解】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：D. 【变式7-1】、（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】由已知，解分式不等式求得集合，进而求解结论. 【详解】根据题意，原式，移项得，即， 所以，解得，即， 所以. 故选：B. 【变式7-2】、（24-25高一上·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、分式不等式 【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，不等式， 而集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 【变式7-3】、（2025高三·全国·专题练习）集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】分别解出集合中的绝对值不等式和分式不等式，再利用交集的运算可得结果. 【详解】，，； ，，，， . 故选：B. 【必考题型八】二次不等式的恒成立问题与存在性问题 【例8】、（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 【变式8-1】、（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，命题“”的否定， 即命题“”真命题， 根据二次函数的性质可得，应有， 解得. 故选：C. 【变式8-2】、（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 【变式8-3】、（2025高一上·江苏·专题练习）已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式乘“1”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意知：不等式恒成立， 即， ， 即：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，当且仅当即 时等号成立. ∴当时，取得最小值为8. ∴解得： 故选：C. 【易错题型一】容易忽略一元二次方程的二次项系数不能等于0致错 【例1】、（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 【变式1-1】、（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意可得命题：“，”为真命题，讨论是否为0，解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 故当时，，即为，符合题意； 当时，需满足解得. 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 【易错题型二】容易忽略基本不等式成立的条件 【例2】、（24-25高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 【变式2-1】、（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式（10知识&8题型&2易错） 【清单一】等式与不等式的性质 知识点1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 做商法 或 知识点2、不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 【清单二】基本不等式 知识点3、基本不等式 如果，那么，当且仅当 时，等号成立．其中， 叫作的算术平均数， 叫作的几何平均数．即正数的算术平均数 它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则 ，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则 ，当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是 ；其中“一正”指 ，“二定”指 ，“三相等”指满足 的条件． （2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则 （当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则 （当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 【清单三】二次方程、二次函数与二次不等式 知识点4、一元二次不等式 一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 ．一元二次不等式的一般形式是 ，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点5、二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与 交点的 ． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的 ． 知识点6、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【特别提醒】 (1)、对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是： ． (2)、对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为 ，再对照上述情况求解． 知识点7、解一元二次不等式的一般步骤 1、通过对不等式变形，使二次项系数 ； 2、计算对应方程的 ； 3、求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； 4、根据 写出不等式的解集． 【特别提醒】 (1)、一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 知识点8、解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数 、 、 进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对 进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对 进行讨论． 知识9、简单分数不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意 ． 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 知识点10、不等式恒成立问题 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 【必考题型一】不等式的性质 【例1】、（2025高一上·江苏·专题练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【变式1-1】、（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】、（24-25高二下·河北沧州·期末）（多选题）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式1-3】、（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（多选题）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【必考题型二】比较大小 【例2】、，，则，的大小关系为 ． 【变式2-1】、（2025·四川绵阳·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】、（24-25高一下·广东惠州·开学考试）某校高一年级男生人数多于女生人数，在选科后选报物理方向的人数多于历史方向的人数，则（    ） A．物理方向的男生多于物理方向的女生 B．历史方向的女生多于历史方向的男生 C．物理方向的女生多于历史方向的男生 D．物理方向的男生多于历史方向的女生 【变式2-3】、（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则m与n的大小关系为 . 【必考题型三】基本不等式的应用-直接法求最值 【例3】、若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【变式3-1】、（24-25高一·江苏·假期作业）若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】、（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 【变式3-3】、（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【必考题型四】基本不等式的应用-“1”的代换求最值 【例4】、（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式4-1】、（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【变式4-2】、（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【变式4-3】、（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 【必考题型五】基本不等式中的证明问题 【例5】、（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【变式5-1】、（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）设，，且，求的最小值； （2）已知正实数，满足，求的最小值； （3）设，，，为实数，求证：． 【变式5-2】、（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【变式5-3】、已知均为正数. (1)若，求的最小值； (2)，求证：. 【必考题型六】二次不等式的解法 【例6】、（2024·浙江·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】、（2025高一·全国·专题练习）已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式6-2】、（2024·江苏南通·模拟预测）若不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】、（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【必考题型七】其它不等式的解法 【例7】、（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】、（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】、（24-25高一上·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-3】、（2025高三·全国·专题练习）集合，则（ ） A． B． C． D． 【必考题型八】二次不等式的恒成立问题与存在性问题 【例8】、（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式8-1】、（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】、（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】、（2025高一上·江苏·专题练习）已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错题型一】容易忽略一元二次方程的二次项系数不能等于0致错 【例1】、（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】、（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错题型二】容易忽略基本不等式成立的条件 【例2】、（24-25高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 【变式2-1】、（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $