第2章等式与不等式单元测试-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第2章等式与不等式单元测试（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．不等式的解为 ． 2.设是方程的两个根，求______ 3. 已知，则的取值范围是________． 4. 不等式的解集是 __． 5.不等式的解集为____________. 6. 已知正实数a，b；若，则的最小值为________. 7.关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是______． 8.已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 9.已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 10. 若不等式组的解集是，则a的取值范围是______； 11.若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 12．记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13. 已知都是实数，则下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则． B. 若，则． C. 若，则． D. 若，则． 14. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15.给出下列命题中，真命题的个数为（ ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16.关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17. 求下列关于x的不等式的解集： （1） （2）． 18.设函数. （1）解关于x的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围. . 19.设，，，是四个正数． （1）已知，比较与的值的大小； （2）若，求证：，，，中至少有一个小于1． 20. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为50分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求出的最小值. 21．设，定义． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求x的取值范围； （3）若，记，分别比较M与a，以及M与大小，并求M的最大值．， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第2章等式与不等式单元测试（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．不等式的解为 ． 【答案】 【分析】结合绝对值不等式的解法，以及区间的定义，即可求解． 【详解】解：，即，解得， 故所求解集为． 故答案为：． 2.设是方程的两个根，求______ 【答案】1 【解析】 【分析】利用韦达定理求值. 【详解】是方程的两个根，则有，， 所以. 故答案为：1 3. 已知，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以，所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 4. 不等式的解集是 __． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式的两边同时平方，然后求解即可. 【详解】不等式可以变形为， 解得，即， ∴不等式的解集为. 故答案为：. 5.不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解， 【详解】恒成立，原不等式可化为，即， 解得， 故答案为： 6. 已知正实数a，b；若，则的最小值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】由得，则，，代入后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，得，则，即，同理可得； 因此，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立； 故答案为： 7.关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由，，可得或，解不等式组与方程即可. 【详解】由已知，则，即，解得或； 又，则或，即或，解得； 综上所述或， 故答案为：. 8.已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】解不等式可得，，分析可知的解集非空，求解即可. 【解析】由于，故不等式的解集为，所以. 这表明条件等价于关于的不等式的解集非空. 假设，则对任意都有，所以的解集为空，不满足条件，故一定有. 而当时，对有，所以不等式的解集包含，一定非空，满足条件. 所以的最小值是. 故答案为：. 9.已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【解析】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 10. 若不等式组的解集是，则a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】不等式组解集为R，就是不等式和对任意实数x恒成立。结合二次函数图象解决即可。 【详解】因为不等式组的解集是， 所以，不等式和对任意实数x恒成立。 由不等式 对任意实数x恒成立可得，即 ，解得； 由不等式对任意实数x 恒成立，即不等式 对任意实数x恒成立 ，所以或 ，解得或 ，所以故答案：. 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，难度一般。解决一元二次不等式恒成立问题，应结合二次函数的图象，注意三个二次之间的关系，尤其注意当二次项系数含字母时，应讨论二次项系数是否为0、二次项系数的正负。 11.若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的最小值，求解即可. 【详解】因为关于的不等式恒成立，所以， 记， 当时，，当时，有最小值为2； 当时，，为常数函数2； 当时，，当时，有最小值为2； 综上所述：的最小值为2，所以. 故答案：. 12．记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由不等式性质可得，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意，， 则， 当且仅当时，全部取得等号，所以，故的最小值为4. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据新定义结合不等式性质求得. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13. 已知都是实数，则下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则． B. 若，则． C. 若，则． D. 若，则． 【答案】D 【解析】 【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D. 【详解】对于A，若时，不成立，故A错误； 对于B，若时，不成立，故B错误； 对于C，若时，无意义，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，所以成立，故D正确. 故选：D 14. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】取，，，利用排除法即可得正确选项. 【详解】令，，，则，，， 故排除A、B、D、 故选：C. 15.给出下列命题中，真命题的个数为（ ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用基本不等式逐项判断即得. 【解析】当时，①中的不等式是错误的，①错； 因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对； （当时，无解，等号不成立），故③错； 因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对． 故选: B． 16.关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分类讨论，与三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到的取值范围． 【解析】由可得， 当时，，即原不等式无解，不满足题意； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得，即； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为和0，因此由数轴法可得，即； 综上：或，所以实数的取值范围为或． 故选：C． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17. 求下列关于x的不等式的解集： （1） （2）． 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）分析可得，解分式不等式即可得解； （2）分类讨论两根大小解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 因为，则， 由可得，等价于，解得或； 由可得，等价于，解得或； 综上所述：的解集为. 【小问2详解】 因为， 令，解得或， 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 18.设函数. （1）解关于x的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对a分类讨论：当时；当时；当时.分别求出对应的解集； （2）利用分离参数法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出a的取值范围. 【小问1详解】 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，所以由可化为：， 因为（当且仅当，即时等号成立）， 所以.所以a取值范围为. 19.设，，，是四个正数． （1）已知，比较与的值的大小； （2）若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差比较即可判断； （2）利用反证法即可证明． 【小问1详解】 因为， 则， 所以； 【小问2详解】 假设，，，都不小于1，即，，，， 则，，，， 所以，与已知矛盾， 故，，，中至少有一个小于1． 20. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为50分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求出的最小值. 【答案】（1） （2），44 【解析】 【分析】（1）根据题意分、讨论，运算求解； （2）根据题意整理求解，结合单调性求最值. 【小问1详解】 当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间； 当时，若，即，解得（舍）或； 所以当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间 【小问2详解】 设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为. 因此人均通勤时间， 整理得：， 因为在和为减函数，在为增函数， ，， 所以的最小值为44. 21．设，定义． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求x的取值范围； （3）若，记，分别比较M与a，以及M与大小，并求M的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3），，M的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分，，三种情况，结合新定义讨论求解即可； （3）结合题意易判断M与a，以及M与的大小，结合基本不等式易得，进而分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，由，得或， 解得，即x的取值范围为. 【小问2详解】 ①当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. ②当时，， 此时，不符合题意. ③当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. 综上所述，x的取值范围为或. 【小问3详解】 由题意，， 则，. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 当，即时，， 则，时，M取得最大值； 当时，，此时. 综上所述，M的最大值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $