3.2 第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

第三章函数。 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时函数的零点、二次函数的零点及其 与对应方程、不等式解集之间的关系 反思感悟 学习目标 求函数的零点就是求对应方程的根 1.明确函数零点的概念 B变式训练① 2.能够通过二次函数理解函数的零点与 其对应方程、不等式解集之间的关系 ! 3.能够利用图象解决一元二次方程根的 -4 已知函数fx)=x+m 分布问题 (1)若m=4,求函数f(x)的零点个数. 要点精析 (2)若函数f(x)有四个零点，求实数 m的取值范围. 川要点1求函数的零点 一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的 函数值等于零，即f(a)=0,则称a为函数 yf(x)的零点. 思考函数的零点是一个点吗？ 例1判断下列函数是否存在零点，如 果存在，请求出. (1)fx)=-x2-4x-4. (2)fx)=（x-1)(2-4x+3) x-3 学(73 N 高中数学必修第一册人教B版 要点2二次函数的零点及其与对应方 变式训练2 程、不等式解集之间的关系 求不等式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)<0的 一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+ 解集 c(>0),二次函数的零点及其对应方程、 不等式解集之间的关系： (1)当△=b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0 的解集中有两个元素x1,x2(其中x<2), 1,2是f(x)的两个零点，f(x)的图象与x轴 有两个公共点(x1,0),(x2,0),fx)<0的解 集为{xlx<x<x2},f(x)>0的解集为{xx<x 或x>x; (2)当△=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0 的解集中只有一个元素0，且xo是f(x)唯一 的零点，f(x)的图象与x轴有一个公共点 (0,0),f(x)<0的解集为空集，f(x)>0的解 集为{xx≠xo; (3)当△=b2-4c<0时，方程ax2+bx+c=0 没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图象 与x轴没有公共点，f(x)<0的解集为空集， f(x)>0的解集为R. 思考如果一个一元二次方程没有实 数根，与其对应的一元二次不等式的解集 一定是空集吗？ 例2解下列不等式. (1）2x2+5x-3<0 (2)-3x2+6x≤2. (3)4x2+4x+1>0. (4)-x2+6x-10>0. (74)学 第三章函 数⊙ 例3 (1)若不等式ax2+bx+2>0的解 川要点3分段函数的零点 1 则a+b的值为( 例4函数f(x)= x-4,x≥入， A.14 B.-10 已知 x2-4x+3,x<入， C.10 D.-14 入∈R,当入=2时，不等式f(x)<0的解集是 (2)已知一元二次不等式x2+px+<0的 ；若函数f(x)恰有两个零点，则入 解集为<兮 求不等式gx2+px+1>0 的取值范围是 的解集 分析分段函数零点问题分段看，要 分析 已知不等式ax2+bx+c>0(或<0) 灵活运用分类讨论思想和数形结合思想. 的解集，可利用二次函数的图象判断抛物 B变式训练④ 线的方向，再结合韦达定理，求出未知 |x2--1,x∈(-∞，-1]U[2,+0), 若fx)= 1,x∈(-1,2). 求函数g(x)=fx)-x的零点 B变式训练③ 已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x-1< x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为 A.{xlx<-2或>1} B.<-1或 C.{x-2<x<1} D.-lx 学(75 N 高中数学必修第一册人教B版 要点4一元二次方程根的分布问题 变式训练5 例5已知关于x的一元二次方程x2+ 设a∈R,关于x的方程7x2-(a+13)x+ 2mx+2m+1=0. a2-a-2=0有两实数根x1,x2,且0<x1<1<x2< (1)若方程有两根，其中一根在区间 2,则实数a的取值范围是 (-1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 例6设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程 m的取值范围 f(x)-x=0的两根x1和x2满足0<x<2<1,求 (2)若方程有两个不相等实根均在区间 实数a的取值范围. (0,1)内，求m的取值范围. 分析将方程f(x)-x=0转化为二次函 分析二次方程根的分布问题，一定 数g(x)=f(x)-x的零点问题，根据x1,?的 要通过二次函数图象进行研究，把根与区 取值范围，即可推导出a的取值范围. 间端点的关系转移到函数在区间端，点的函 数值的符号，并注意函数的开口、判别式、 对称轴等问题 (76)学 第三章函 数 变式训练6 ! 数学文化 已知二次函数f(x)=x2-2mx+2m+3.若函 例高斯是德国著名的数学家，近代数 数f(x)有两个零点，在区间(-2,0)上只 学奠基者之一，享有“数学王子”的称号， 有一个零点，求实数m的取值范围. 为了纪念数学家高斯，人们把函数y=[x], x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过 x的最大整数.设{x=x-[x],则函数f(x)= 2x{x-x-1的所有零点之和为（) A.-1 B.0 C.1 D.2 分析由题意知，当x=0时，f(x)=-1, 所以0不是函数f(x)的零点.当x≠0时， 令=2=2-2L,=+l,作出国数 2=2x-2[x,+1的图象，利用数形 结合思想，结合函数零，点的定义即可求解. 学(77高中数学必修第一册人教B版 [1,3].故选D 变式训练2(-1,0)U(1,+∞)【解析】f(x)是偶函 数，且f-1)=0,.f1)=f(-1)=0.又f(x)在(0，+) 上是减函数，f(x)在(-∞，0)上是增函数。 ①当>0时，由fx)-<0,得fx)<0,又由于 f(x)在(0，+∞）上为减函数，且f(1)=0,∴f(x)f(1), 得>1. ②当x0时，由)=0，得fx>0,又-1)= 0,fx)在(-∞，0)上是增函数，fx)>f-1),-1< x<0.综上所述，不等式解集为(-1,0)U(1,+∞). 例3解：(1)g(-x)=f-)f=gx), 2 h(-x)=fxf=-h(x),g(x)是偶函数，h(x) 2 是奇函数 (2)gx)+h(x)=fx)-)+fx)-f-)fx). 2 (3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这 个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 变式训练3号【解析】)+8)-3华+5，① f-)*g-)345 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， xgx-3440+5,@. 联立①②，解得fx)=3+5,gx)=- x2+9 …f-1)+g(3)=3(-1)45-4x3=22 32+93 例4B【解析】由题意，可得x)=-1+,对 1+x 于A,fx-1)-1=2-2不是奇函数；对于B,fx-1)+1= 是是奇两数：对于C,九+ll2,定义域不关于 原点对称，不是奇函数：对于D,九++12，定义 域不关于原点对称，不是奇函数.故选B. 变式训练42【解析】·子+x)乃-2，即自变量 (分++分1时，222，面g+冬 1,g尽2 数学文化 例C【解析】当x为有理数时，f(x)=1;当x为无理数 48 时，fx)=0..当x为有理数时，ff(x)=f1)=1;当x为 无理数时，ff(x)=f(0)=1,.无论x是有理数还是无理 数，均有ff(x)=1,故①不正确.有理数的相反数还 是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴.对任意x∈ R,都有f代-x)=-f(x),故②正确.当T∈Q时，若x是有 理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是 无理数，.根据函数的表达式，任取一个不为零的有理 数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立，故③正确.取= ,0,-9,f0.1.f0. 4Y3,0,B0,1,C-,0,△ABc拾好 为等边三角形，故④正确.故选C m3.2函数与方程、不等式之间的 关系 第1课时函数的零点、二次函数的零点 及其与对应方程、不等式解集之间的关系 要点精析 例1解：(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2, ∴函数f(x)存在零点，且零点为-2. (2)令-I)4+3》=0,解得=l, x-3 ..函数f代x)存在零点，且零点为1. 变式训练1解：（)当m=4时，+生4，得到士 4x+4=0,方程有两个根x=+2,故零点个数为2.(2)fx)= +受4有四个零点，即m-0有四个根，40，解得 m<4且m≠0.或者画函数g(x)=x+的图象进行分析】 例2解：(1)4=49>0，方程2x2+5x-3=0的两根为 =-3,7,作出函数y2+5x-3的图象，如图1所 示.由图可得原不等式的解集为-3<<分。 图1 图2 (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0，△=12>0，解方 程3x2-6r+2=0,得=3-Y3,-3+y3,作出函数 3 3 y=3x2-6x+2的图象，如图2所示，由图可得原不等式的 解集为x≤3y了或≥3+V了 3 3 (3)4=0,.方程4x2+4x+1=0 有两个相等的实根==一了·作出 函数y=4x2+4x+1的图象如图3所示 由图可得原不等式的解集为 10 中eR且x-引 2 图3 (4)原不等式可化为2-6x+10< 0,4=-4<0,.方程x2-6x+10=0无 例2答图 实根，.原不等式的解集为⑦. 变式训练2解：设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),分析 各个因式的符号，画图如下 变式训练2答图 结合图象可知，原不等式的解集为{1<x<2或3<<4}. 例3()D【解析】由已知，得a4bx2-0的解为 分，且aw, b1,1 解得-12， b=-2 ∴.a+b=-14.故选D. （②)解：4+0的解第为付<兮引. -了与x了是方程+x+-0的两个实数根，由根与 11 1 32-p, P-6 系数的关系，得 解得 1 1 9=-61 ∴.不等式qx2+px+1>0, 即石4石+1>0，整理，得-60，解得-2< 3.即不等式q2+px+1>0的解集为{-2<<3引. 变式训练3D【解析】由不等式a2+bx+2>0的解集为 {-1<<2},可知=-1,2=2是不等式ax2+bx+2>0对应 方程ar+bx+2=0的两个根，有x+=-b=l,=9 =2=-2,得a=-1,b=1,2+bx+a<0,即为2+x-l<0, 参考答案。 即(2x-l)x+1)k0,不等式的解集为x1<2.故 选D. 例4(1,4)(1,3]U(4,+∞)【解析】当=2时，由 短，将成n0.24我1a心，用k x<4,不等式f(x)<0的解集是(1,4).令x-4=0,得x= 4;令x2-4x+3=0,得2=1，=3.若函数fx)恰有两个零 点，当入>4时，f(x)=x-4>0,此时f(x)=2-4x+3=0,x=1 或=3，即在(-，入)上有两个零点；当入≤4时，f(x) =x-4=0,x=4,由f(x)=x2-4x+3在(-0，入)上只能有一 个零点得1<入≤3.综上，入的取值范围为(1,3]U(4,+) 变式训练4解：函数g(x)=f(x)-x的零点即为方程f(x) -x=0的根.当x∈(-∞，-1]U[2,+∞)时，方程f(x) -x=0,变形为x2-x-1=x,即x2-2x-1=0,解得x=1+V2 或x=1-V2.1-V2(-0,-1]U[2,+∞)，∴x=1+ V2；当x∈(-1,2)时，方程fx)-x=0,变形为x=1, 符合题意.综上，函数g(x)=f(x)-x的零点为1+V2 和1. 例5解：(1)令f(x)=x2+2mx+ 2m+1,依题意，得函数f(x)= x2+2mx+2m+1的图象与x轴 的交点分别在区间(-1,0)和 (1,2)内，画出图象如图1所示. f(-1)=2>0. f(0)=2m+1<0, 图1 由图象，得 f(1)=4m+2<0. f(2)=6m+5>0, 即m<子， 1 6m<2 m 即网的取值花围是名，一》 (2)根据函数图象与x轴的两个交点均在区间 (0,1)内，画出图象如图2所示. △>0. 0<-m<1, 由图象，得 f(0)>0. f(1)>0. 0 m>l+V2或m<1-V2, -1<m<0 即m72 1 图2 例5答图 m 49 N 高中数学必修第一册人教B版 :m-V2,即m的陬值范围是分，-V2 变式训练5{a-2<a<-1或3<a<4【解析】：关于x 的方程7x2-(a+13)x+d2-a-2=0有两实数根x1,,且0< xK1<2<2,设对应二次函数为f孔x)=7x2-(a+13)x+d--2,开 f(0)>0,d2-a-2>0, 口向上，且f(1)<0,∴.7-(a+13)+a2-a-2<0, 解得 f(2)>0,28-2(a+13)+a2-a-2>0 -2<a<-1或3<a<4. 例6解：令g(x)=fx)-x=2+(a-1)x+a, △>0， 0<1a<1, 由题意，可得 2 .0<a<3-2V2. g(1)>0, g(0)>0 故实数a的取值范围是(0,3-2V2). 变式训练6解：函数f代x)=x2-2mx+2m+3在区间(-2,0) 上只有-个零点，-20)0，得m<石 7 考虑边界情况： 由-2-0，得m名号+号， 一2或=-了m-名消足 3 由f0)=0,得m=-立， fx)=43x,x=-3或=0，m≠-3 棕上，得号m长名 数学文化 例A【解析】由题意知，当=0时，f代x)=-1, 0不是函数f(x)的零点. 当≠0时，x)-2-1-0,可得2士+1 令=22x-2[x],y=+1, 作出函数1=2刘=2x-2[x],⅓=+1的图象如图 所示 例题答图 50 由图象可知，除点(-1,0)外，函数1=2{x}=2x- 2[x],=+1的图象其余交点关于(0,1)中心对称， .横坐标互为相反数，即x++x+…=0 由函数零点的定义知，函数f(x)=2x{x-x-1的所有 零点之和为-1+x+2+x+…=-1+0=-1. 故选A. 第2课时零点的存在性及其近似值的求法 要点精析 例1(1)B(2)B【解析】(1)由表可知，f2f3) <0,f3f4)<0,f4f(5)<0.由函数零点存在定理，知 函数y=f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别至 少存在一个零点，.函数y=f(x)在区间[1,6]上的零 点至少有三个.虽然f1f2)>0,但函数yf(x)在[1,2] 上也有可能存在一个或多个零点.故选B. (2)由函数f(x)=x3+x-5,可得f(1)=1+1-5=-3<0, f(2)=8+2-5=5>0,故有f1)f2)<0,根据函数零点存在 定理，可得函数f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B. 变式训练1D【解析】根据函数零点存在定理，函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲 线，且f(afb)<0,那么函数fx)在区间[a,b]上至 少存在一个零点，但不一定只存在唯一的零点；反之， 由“函数yfx)在区间[a,b]上有零点”，也不一定有 f(a)f(b)<0,如函数y=lx在区间(-1,1)的零点是0， 并不满足f(-1f(1)<0.故选D. 例2(1)(1，+)(2)(-0,0]【解析】(1) 函数fx)=2lx-1+x-a有且仅有两个零点， 即函数y=2x-1l+x与y=a有且仅有两个交点， 分别作出函数y=2x-1+x与y=a的图象，如图所示. =2x-1l+x y=a -3-2-10123元 例2答图 由图易知，当a>1时，两函数的图象有两个不同的 交点，故实数a的取值范围是(1，+∞). (2)fx)=a2-2x+1=0,f0)=1≠0， a=-+2=-1-1+1 若)在分，]内有零点，则fx)0在区间 [7内有解，当-号≤<0或0<≤号时，可得