3.1.1 第2课时 函数的表示方法-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 第2课时 函数的表示方法 法精准、全面概括了变量之间的关系，但 学习目标 是过于抽象 1.能够在实际情境中，根据需要选择恰 当的方法（如解析法、图象法、列表法）表 示函数 2.能够利用待定系数法、换元法、配凑 法、解方程组等方法求函数的解析式。 3.能够利用函数的图象研究函数的 性质 4.理解分段函数的概念，能画出高斯取 整函数的图象。 要点精析 川要点1函数的三种表示方法 解析法 用数学表达式表示两个变量 之间的对应关系 函 图象法 用函数的图象表示函数的 方法 法 用列表的形式给出函数的对 列表法 应关系 思考用解析法、图象法、列表法表 示函数，各自的优，点和缺点是什么？ 例1某商场新进了10台彩电，每台售 价3000元，试求售出台数x(x为正整数) 与收款数y之间的函数关系，分别用列表： 法、图象法、解析法表示出来， 分析列表法可以直观看到函数定义 域、值域，但是定义域元素较多时不方便. 图象法能直观形象地表示出自变量与函数 值的关系，但是手工绘制图象不容易.解析： 54)学 第三章函数。 B变式训练① 已知f(x)的定义域为A,当g(x)的值 域B为A的子集的时候，可以表示为fg(x). 某商场在国庆促销期间规定，商场内所 已知f(g(x)以及g(x)的值域为B,只 有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在 能求f(x)在x∈B时的解析式： 该商场内消费满一定金额后，按如下方案获 得相应金额的奖券： 消费金额的范围/元 获得奖券的金额/元 [200,400) 30 [400,500) 60 「500,700) 100 [700,900) 130 … 根据上述促销方法，顾客在该商场购物 可以获得双重优惠，例如，购买标价为400 元的商品，则消费金额为320元，获得的优 惠额为400x0.2+30=110(元).若顾客购买一 件标价为1000元的商品，则所能得到的优 惠额为() A.130元 B.330元 C.360元 D.800元 要点2求函数的解析式 *例2(1)已知f(x)是一次函数，且 ff(x)=9x+4,求fx)的解析式。 (2)已知函数f(x)(x≥1)满足f(Vx+ 1)=x+2Vx,求fx). (3)已知函数fx)(x≠0)满足2是 fx)=x,求fx). 分析f(g(x))是函数f(x)和g(x)复合， f(g(x)的自变量为x,x经过对应关系g得 到g(x),g(x)经过对应关系f得到f(g(x). 学(55 高中数学必修第一册人教B版 反思感悟 2)是e2,+ (1)当已知函数类型时，可以设出函 (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 数的标准形式，利用待定系数法求函数解 分析一次函数图象是直线，反比例 析式 函数图象是双曲线，二次函数图象是抛物 (2)换元法和配凑法都是将运算对象 线，这些都是我们初中已经掌握的，是可 当作一个整体，如将例2中(2)的Vx+1 以直接使用的 当作一个整体来表示运算结果，从而求出 函数解析式，此时要特别注意函数的定 义域. (3)当函数类型未知，且运算对象不 仅仅只有一个时，往往通过解方程组的方 法求函数解析式 B变式训练② 已知a,b为常数，若f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b= 变式训练3 变式训练 定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)= 作出下列函数的图象，并求其值域. 2f(x).若当0≤x≤1时，fx)=x(1-x): (1)f(x)=x+1,x∈Z. 则当-1≤x≤0时，f(x)= (2)fx)=x2-2x,x∈[0,3) 变式训练4 (3)fx)=x+2 x-1 已知+士=4+之，则3)的值等于 x2 川要点3函数图象的作法及应用 例3作出下列函数的图象并求出其 值域 (1)y=2x+1,x∈[0,2]. 56)学 第三章函 数 川要点4分段函数 变式训练6 如果一个函数，在其定义域内，对于自 x+3,x<0, 已知fx)-x-1,x≥0. 求不等式f(x) 变量的不同取值区间，有不同的对应方式， 则称其为分段函数： >f1)的解集. 分段函数有几段，它的图象就由几条曲 线组成.在同一直角坐标系中，根据每段的 定义区间和表达式依次画出图象.（要注意 每段图象的端点是空心点还是实心点，组合 到一起就得到整个分段函数的图象) 思考如何确定分段函数的定义域和 值域？ x+1,x≤-2， 例4已知函数f(x)= x2+2x,-2<x<2, 2x-1,x≥2， 例5分别作出下列分段函数的图象， 并写出定义域及值域 试求-5)，-V3),/-月的值 1,0<<1, 分析分段函数是一个函数，不是几 (1)fx)= 个函数，解决分段函数问题需要用到分类 x,x≥1. 讨论思想 3,x<-2, (2)g(x)=-3x,-2≤x<2, -3,x≥2. 分析 分段函数的定义域、值域是各 个分段函数的定义域、值域的并集。 学(57 高中数学必修第一册人教B版 变式训练⑦ 数学文化 在图3-1-1中画出函数f(x)=x+1+ 例图3-1-2中的文物称为“垂鳞纹圆 2x-1川，x∈[-3,3]的图象，并求出f(x)的 壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器 值域. 皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代 中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其 -9 容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时 7 6 30s注满，设注水过程中，壶中水面高度为 -4 h,注水时间为t,则下列选项中最符合h关 3 于t的函数图象的是() -3-2-0123x T一T一 图3-1-1 30 30 图3-1-2 A 30 30 D 58)学综上，③⑤中两个函数表示同一个函数 变式训练3ABD【解析】A选项y=V=lx与函数y=x 对应法则不同，不是相同函数；B选项y=(Vx)2定义 域为[0，+∞)与函数=x定义域不同，不是相同函数； C选项y=V=x与函数y=x定义域和对应法则相同， 是相同函数：D选项y=√医定义域为(0，+)与函 数y=x定义域不同，不是相同函数.故选ABD 例4解：方法一： (1)）y=3+7-3x-2)+13=3+13 x-2 -2 x-2 “20,y≠3. .13 .函数的值域为(rlyER,且y≠3. (2=41-2=1-2 x2+1 x2+1 11,0名≤21s1<1, .函数的值域为b-1≤y<I 方法二： (1)由y=3+7(x≠2)， x-2 可得x(y-3)=2y+7(x≠2，y≠3)， .函数的值域为b∈R,且y≠3). 2)由)岩aeR 可得产出≥0，解得-1≤1， .函数的值域为[-1,1). 变式训练4解：（①+1=+号户+子≥子0 ≤号值域为0，告] 1 (2)由-x2+4x≥0，得x2-4x≤0，解得0≤x≤4， 设t=-x2+4x=-(x-2)2+4,则0≤t≤4 .y=2-Vt∈[0,2]，即函数y=2-V-x2+4x的值域 是[0,2]. 数学文化 例CD【解析】当x=4时，y=8V,故A错误；当x= 2时，y=5N,故B错误；任取x∈eM,总有y=leV, 故C正确；任取x∈M,总有y=x2∈N,故D正确.故 选CD 参考答案。 第2课时函数的表示方法 要点精析 例1解：(1)列表法： x/台 y/元 x/台 y/元 x台 y/元 1 3000 5 15000 9 27000 6000 6 18000 10 30000 3 9000 > 21000 4 12000 8 24000 (2)图象法：如图所示。 ◆y/元 39888 520 000 9000 人。 O 12345678910合 例1答图 (3)解析法：y=3000x,x∈{1,2,3，…，10}. 变式训练1B【解析】：顾客在该商场购物可以获得双 重优惠，∴.顾客购买一件标价为1000元的商品，实际 应付800元，优惠200元：再按表中办法获得130元的 奖券，共获得优惠额330元.故选B. 例2解：(1)待定系数法：设代x)=kx+b(k≠0)， 则f代f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4. k2=9，解得 k=3, k=-3, 或 kb+b=4, b=1b=-2. f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2. (2)方法一（配凑法）： :f(Vx+1)=x+2Vx=(Vx+1)2-1(Vx+1≥1)， fx)=x2-1(x≥1). 方法二（换元法）： 令V龙+1t(t≥1)，则=(t-1)2(t≥1)， ·.ft)=(t-1)2+2(t-1)=2-1(t≥1) .f(x)=x2-1(x≥1). (3)构建方程组：由题知fx)+2=x,① 用上代x,得士+2x)② 41 N 高中数学必修第一册人教B版 联立①②，于是得到关于fx)与f)的方程组 nx)+2, 1+2). 消封》： 解得/x)是青任≠0. 变式训练22【解析】由f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+ 10x+24,得(ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24, 即a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24,由系数相 a2=1, a=-1, 等，得2ab+4a=10,解得 ·或l则5-=2 b=-7b=3. b2+4b+3=24」 变式训练3-x(x+山【解析】由于当0≤x≤1时，解 2 析式已知，可设-1≤x≤0，则0≤x+1≤1.f(x+1)= (x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1).又f(x+1)=2f(x),f(x)= fx+1)=-x(+1) 2 2 变式训练47【解析】+++士-2，令 +,当0时，≥2V文-2，当且仅当x=1时， 取等号，当x0时.-x)≤-2，当且仅当x=-1 时，取等号，.f(t)=-2,t∈(-∞，-2]U[2,+∞)， .fx)=x2-2,x∈(-∞，-2]U[2,+∞)，则f3)=32-2=7. 例3解：(1)如图1，当x∈[0,2]时，图象是直线 的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]. 3 12 图1 (2)如图2，当x∈[2，+∞)时，图象是反比例函 数y=2的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]. 42 图2 (3)如图3所示，图象是抛物线y=x42x在-2≤x≤2 之间的部分.观察可知，其值域为[-1,8]. 8 5 4 3 -2-11 012x -21 图3 例3答图 变式训练5解：(1)如图1，这个函数的图象由一些 点组成，这些点都在直线y=+1上，其值域为Z y 图1 (2)如图2，作出抛物线f(x)=x2-2x=(x-1)2-1在 0≤x<3之间的部分，其值域为[-1,3). 0 3x 图2 3)-1+3先作出y的图象，将其 图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长 度，即得y=+的图象.如图3，其值域为(-0,1)U x-1 (1,+∞). 图3 变式训练5答图 例4解：由-5e(-0,-2],-V3e(-2,2),-号e (-0,-2],知f(-5)=-5+1=-4, f-V3)=(-V3)42x(-V3)=3-2V3. 3）3+13,-2x2. 川-32°2x-3 变式训练6解：函数，。 ·f1)=12+1- 1=1.fx)>f1)→fx)>1台 0≥0， 台-2<x<0或 x+3>1x2+x-1>1 x>1,:f(x)>f1)的解集为(-2,0)U(1,+∞)： 例5解：(1)函数f(x)图象如图1所示，由图象知， fx)的定义域是(0，+∞)，值域是[1，+∞). (2)函数g(x)图象如图2所示，由图象知，gx)的 定义域是(-∞，+∞)，值域是(-6,6]. -20 图2 例5答图 3,≤x≤3， 变式训练7解：f(x)=lx+1+2x-1= 2,-1≤K分 -3x,-3≤x<-1, 故f(x)图象如图： 参考答案。 9以 8 765 3 1- 4本32可1234 变式训练7答图 由图象，可知/a(x分-号，)f3)f-3) 9,函数的值鼓为[3,9 数学文化 例A【解析】水壶的结构：底端与上端细、中间粗， 所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加得快，中 间增加得慢，最后水上升的速度又变快，由图可知选项A 符合.故选A 31.2函数的单调性 第1课时函数的单调性及函数的平均变化率 要点精析 例1证明：Hx,e[2,+∞)，且x<, 则-f+tr 4 =(6+4xx出_xrx-4 X12 X比2 .2≤x1<x, x-x2<0,x2>4,x-4>0, fx)-fx2)<0,即f)f2), 函数f(x)=+4在[2，+0)上是增函数 H,与∈(0,2]，且x<, 则fx)-fx2)=（x)x4) X1X2 .0<x1<x2≤2 x-2<0,0<x2<4,xG2-4<0, :f(x)-fx2)>0,即fx)>f). 函数x)=x+4在(0,2]上是减函数 变式训练1解：当a>0时，函数f(x)在(-1,1)上单 调递增； 当a<0时，函数f(x)在(-1,1)上单调递减. 证明如下：①当a心0时，Hx,2∈(-1,1)，且x<2, 则)02， 43