2.2.1 不等式及其性质-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

得-23y=-8,④ 由②-④，得y=9.将y=9代人②，得x=10.将x=10, y9代入①，得=7..方程组的解集为{(10,9,7》. 例3解：由①+②+③，得2(x+y+z)=12,即x+4=6.④ ④-①，得=3.④-②，得x=1.④-③，得y=2. .原方程组的解集为{(1,2,3)小 变式训练312【解析】由①+②+③，得2(x+y+z)=18, 即x+y+z=9,④ ④-①，得=4.④-②得x=2.④-③得y=3.x+2y+ z=12. 例4解：设音音亏k为备数，h≠0，则=3， 3 y=4k,z=5k. 将它们代人②中，得3k-4k+10k=18,解得k=2. ∴=6，y=8,z=10, .原方程组的解集为{(6,8,10)} 变式训练4解：设《毛诗》x本，《春秋》y本，《周 易》：本，由题意得+：94·可设3=4=5=（4为 3x=4y=5z, 常数，且≠0，将其代入x+94中，得号+学+专 94,解得k=120,因此x=40,y=30,z=24,即《毛诗》 40本，《春秋》30本，《周易》24本. 例5解：方法一：由②，得=2y+5,③ 将③代入①，得(2y+5)242y(2y+5)+y2-4 整理，得3y2+10y+7=0. 7 解得=-3，-1. 把一子代入③，得分 1 把y2=-1代人③，得=3. 1 3’ f2=3, .原方程组的解是 _7y2=-1. =-3· .方程组的解集为 g3,3.-w 方法二：由①，得(x+y)2=4, 即x+y=2或x+y=-2. 原方程组转化为中=2， 或/+-2， x-2y=5 lx-2y=5, 1 解得3， F3 y=-1, 7 y-31 方程组的解架为子，3，-)】 参考答案。 变式训练5解：kx2+y2-2kx+2y-3k=k(x2-2x-3)+y2+2-0, 由题得k(x2-2x-3)+y2+2y=0对任意的实数k,等式 恒成立， -2-30..3,1,l yr+2-0, y=-0,y=-2,y=0,y=-2 所有实数对(x,y)的集合为{(3,0)，(3，-2)， (-1,0),(-1,-2)}· 例6解：由①，得(x-4y)(x+y)=0, .x-4y=0或x+y=0, 由②，得(x+2y)2-1, .x+2y=1或x+2y=-1. 原方程可化为以下四个方程组： x-4y=0,x-4y=0,1x+y=0,x+y=0, x+2y=1,x+2y=-1,lx+2y=1,x+2y=-1, xI= 2 3 解这四个方程组，得原方程组的四个解是 y16 x3=-1,x4=1, 3=1, y4=-1 6 方程组的解集为{（号6），（号6： (-1,1),(1,-1) (x+1P+y21,① 变式训练6 解： 将②代人①，有 y=x2,② (x+1)2+x=1,整理有x4+x2+2=0 x(x+x+2)=0,x=0或x34x+2=0. 令t=x3+x+2=(x+1)(x2-x+2), 令52--号0何成立 若x++2-0,x=-1. 将0或=-1代人②中，有0 ”或/1， y=0 ly=1. 数学文化 例B【解析】设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有 x-y=4.5, 故选B >m2.2不等式 2.2.1不等式及其性质 要点精析 例1解：若提价后商品的售价为x元， 33 N 高中数学必修第一册人教B版 则销售量减少10(x-10)件， 因此，每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元， 则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式 (x-8)[100-10(x-10)]≥300. 变式训练1C【解析】收人x应满足x≤20O0,故A 错误；x,y应满足x<y,故B错误；变量x至少是a, 即x可取到的最小值为a,故x≥a,故C正确；变量y 不超过a,即y可取到的最大值为a,故y与a的关系可 表示为y≤a,故D错误.故选C 例2解：设租用大卡车x辆、农用车y辆.根据题意， 两种车应满足如下的不等关系： (1)两种车辆的总载质量应该不低于100t; (2)运输成本之和不超过10000元； (3)大卡车不能超过10辆； (4)农用车不能超过20辆： (5)x∈N,y∈N. 可以用下面的不等式组来表示以上不等关系： 8x+2.5y≥100. 960x+360y≤10000 0≤x≤10，x∈N 0≤y≤20，y∈N, 16x+5y≥200， 即24+9y≤250. 0≤x≤10，xeN, 0≤y≤20，y∈N. 例3解：（1).(x+3)(-5)-(+2)(x-4) =(x2-2x-15)-(x2-2x-8) =-7<0. .∴.(x+3)(x-5)<(x+2)(x-4) (2)(a+b3)-(a2+ab2) =-3+b3-d2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b), .a>0,b>0且a≠b,.(a-b)0,a+b>0, ..(a+b3)-(ab+ab2)>0.Ea+bab+ab2. 变式训练2B【解析】M-=(x2++1)-2(+1)=(e-1+(0- 1)2+1>0,.N.故选B. 例4(1)②④【解析】c2≥0，.只有c≠0时才成 立，①不正确； a<b<0→a>ab,a<b<0=ab>b2,.②正确； 若0>a>b,则2<2，如-1>-2， 但(-1)2<(-2)2，.③不正确： 34 a<b<0,.-a>-b>0, .(-a)>(-b)2,即>b3 又0，沾0，bb ab ab' 名>治④正确 故正确命题的序号是②④. (2)证明：①.a+2b+3c=0,a心b>c,c<0,a心0. abe,a-c0-o0,062 又c<0,e> c a-c b-c ②.a>b,∴a-b>0. 又a>c,∴.a(a-b)>c(a-b), 即a2-ab>ac-bc,整理，得a2+bc>ac+ab, 即ad+bc>a(b+c). c<dk0→cd01 变式训练3D【解析】方法一： c<d<0 -1-10 4<0-1<1<0=dcp a>b>0 方法二：取a=2,b=1,c=-2,d=-1. 代人验证，ABC均错，只有D正确 例5解：1<a<4,2<b<8, .2<2a<8,6<3b<24,.8<2a+3b<32. .2<b<8,.-8<-b<-2. 又1<a<4,∴.1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2. 故8<2a+3b<32,-7<a-b<2. 变式训练4A【解析】由-1<a<1,-1<<1,得-1<1， -2<a-B2.又a<3,∴-2<@B<0.故选A 数学文化 例罗【解析】<易 .第一次使用“调日法”可得近似分数为13+63 36+20 176_22≈3.1429， 567 号号 “第二次使用“调日法”可得近似分数为1山3+2 36+7 器 2.2.2不等式的解集 要点精析 例1解：(1)解不等式2x+3>1,得>-1，2.2不 2.2.1不等 学习目标 1.能在实际问题中找到不等关系，并能 列出不等式和不等式组，抽象成数学问题. 2.灵活运用作差法比较两个数或式的 大小 3.掌握不等式的5个性质和5个推论， 会用不等式的性质证明不等式或解决求范 围问题， 4.掌握用配方法、作差法、综合法、反 证法、分析法证明不等式. 5.通过对不等式性质的直观解释和逻辑 证明，逐步提升代数推理能力，发展直观想 象和逻辑推理素养。 要点精析 川要点1用不等式（组）表示不等关系： 例1某商店如果将进货单价为8元的 商品按每件10元销售，每天可销售100件， 现在采用提高售价、减少进货量的办法增加 利润.已知这种商品的售价每提高1元，销 售量就可能相应减少10件.若把提价后的商 品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的 利润不低于300元？ 分析根据“利润=销售量×单件利 润”，把利润用x表示出来，“不低于”即 “大于或等于”，可列出不等式 第二章等式与不等式。 等式 式及其性质 B变式训练① 下列说法正确的是() A.某人月收入x不高于2000元可表示 为x<2000 B.小明的身高xcm,小华的身高ycm, 则小明比小华矮表示为>y C.某变量x至少是a,可表示为x≥a D.某变量y不超过a,可表示为y≥a 学(33 N 高中数学必修第一册人教B版 例2某蔬菜收购点租用车辆，将100t 新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和 农用车分别为10辆和20辆.若每辆大卡车 载质量8t,运费960元，每辆农用车载质量 2.5t,运费360元，运输成本之和不能超过 10000元.据此，安排两种车型，应满足哪 些不等关系？请用不等式组表示 川要点2实数大小比较 例3比较下列各组中两个代数式的大小. (1)(x+3)(x-5)与(x+2)(x-4): (2)已知a,b均为正数，且a≠b,比 较a+b3与a2b+ab2的大小. 分析我们知道，a-b>0-a心b,a-b<0 →<b.因此，若要比较两式的大小，只需 作差再与0作比较即可 (34)学 反思感悟 作差法比较大小的步骤： (1)作差； (2)变形，其目的是确定差式符号， 可变形为积或商的形式，或变形为几个非 负数（非负式子）之和； (3)判断差的符号，必要时需要分类 讨论； (4)得出结论 B变式训练② 若M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N 的大小关系为() A.M=N B.M>N C.M<N D.不能确定 要点3利用不等式的性质判断或证明 不等式 例4(1)对于实数a,b,c,给出下 列命题： ①若a心b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a>ab>b2; ③若a心b,则>b2 ④若<b<0,则4>b b a 其中正确命题的序号是 (2)若心b>c且a+2b+3c0.求证： ①>6 ②a2+bc>a(b+c). 分析(1)直接利用不等式的基本性 质判断.（2)首先由性质4得到-bc>-ac, 再由性质5证明. 变式训练3 若a>b>0,c<d<0,则一定有() A.ab B.a<b c分>8 D.a<b 川要点4利用不等式的性质求取值范围！ 例5已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b 与a-b的取值范围. 分析欲求-b的取值范围，应先求-b 的取值范围，再利用不等式的性质求解. 第二章等式与不等式。 B变式训练④ 若-1<a<B<1,则下列各式中恒成立的是 () A.-2<a-B<0 B.-2<a-B<-1 C.-1<a-B<0 D.-1<a-B<1 数学文化 例我国南北朝数学家何承天发明的 “调日法”是程序化寻求精确分数来表示数 值的算法，其理论依据是：设实数x的不足 近似值和过剩近似值分别为b和4,4，b, c,d∈N,则b+d是x的更为精确的近似值。 a+c 已知3<知8，试以上述m的不足近似值 36 <<20' 和过剩近似值为依据，那么使用两次 36 “调日法”后可得π的近似分数为 分析根据题中所给定义及数据，第 一次使用“调日法”可得近似分数，与π 比较，进行第二次运算，即可得答案。 学(35