1.2.3 充分条件、必要条件-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

1.2.3充分条 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充 分条件、必要条件、充要条件的意义，理解 判定定理与充分条件的关系，性质定理与必 要条件的关系，数学定义与充要条件的 关系 2.掌握充分条件、必要条件的判断方法 和证明方法；会根据充分条件、必要条件求 参数的取值范围. 要点精析 川要点1充分条件、必要条件 当p→g时，我们称p是g的充分条件， g是p的必要条件， 集合知识理解： 一般地，如果A={xp(x)},B={xlq(x)}, 若A二B,则p(x)→q(x),p(x)是q(x)的充 分条件，q(x)是p(x)的必要条件. 思考若p→q,q→r,P是r的什么 条件？ 川要点2充要条件 一般地，如果p→g且q为p,则称p是 g的充分不必要条件； 如果p今g且q→p,则称p是q的必要 不充分条件； 如果p→q且q→p,则称p是q的充分 必要条件（简称为充要条件），记作p台q. 也读作“p与g等价”“p当且仅当g” 第一章集合与常用逻辑用语。 件、必要条件 思考若p→q,但q为p,9→r,并且 →9，P是r的什么条件？ 例1指出下列各题中p是g的什么条 件（在“充分不必要条件”“必要不充分条 件”“充要条件”“既不充分也不必要条 件”中选一个作答). (1)设x∈R,p:x>2,q:x2>4. (2)p:x,y为无理数，q:x+y为无 理数. (3)已知x,y为实数，p:x+y≥3，q: x≥1或y≥2. :ae,子9：方程3 0在[-1,2]上有实数根 (5)p:两个三角形的面积相等，q:两 个三角形全等 反思感悟 充分条件、必要条件的判断方法： （1)分清命题的条件和结论，利用定义进 行判断；(2)利用集合的包含关系进行判 断；(3)利用特殊性与一般性进行判断. 学(19 N 高中数学必修第一册人教B版 变式训练1 (多选题)下列命题为真命题的有 () A.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0” 的既不充分也不必要条件 B.“ac<0”是“二次方程ax2+bx+c=0有 一正根一负根”的充要条件 C.“m=2”是“M={xlmx2+(m+2)x+2=0 为单元素集”的充分不必要条件 D.“a>1”是“1<1”的充分不必要 a 条件 例2(1)（多选题）下列选项中， 是x<2的必要不充分条件的有（) A.x∈[-2,2] B.x∈[-2，+0) C.x∈(-2,1) D.x∈(-2,2) (2)关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0 (a≠0)有一个正根和一个负根的一个充分 不必要条件是() A.a<0 B.a心0 C.a<-1 D.a心1 B变式训练② (多选题)下面关于二次函数y=(x-2)2-1 说法正确的是() A.Hx∈R,y=(x-2)2-1≥1 B.Ha>-1,3xo∈R,y=(x-2)2-1<a C.Ha<-1,3xo∈R,y=(x-1)2-1=a D.3x1≠2，(x1-2)2-1=(x2-2)2-1 (20)学 例3已知ab≠0，求证：a+b=1是a+ b3+ab-a2-b2=0的充要条件. 反思感悟 利用定义证明充要条件要证明两方面， 即充分性与必要性，注意分清命题的条件 和结论 B变式训练③ 已知a,b,c是△ABC的三条边，证 明：△ABC为等边三角形的充要条件是a+ b2+c2=ab+ac+bc. 第一章集合与常用逻辑用语。 数学文化 例1王安石在《游褒禅山记》中写 道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于 险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至 也”请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非 常之观”的（ A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 例2王昌龄是盛唐著名的边塞诗人， 被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至 今：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关。 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还.”由此 推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回 家乡”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 学（21变式训练3解：若p是真命题，则a≤x对于x∈[1,2] 恒成立，.a≤(x2)m=1.故a的取值范围为(-o,1]. 数学文化 例1解：结合五个命题，可以列表如下： 甲 乙 丙 丁 休息 不 不 不 锻炼 不 不 不 读书 练字 不 不 由表格看出，丙在休息，乙在锻炼，由(3)可知， 甲在练字，最后推出丁在读书. 例2A【解析】“红豆生南国”是陈述句，所述事件 在唐代是事实，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问 句，不是命题；“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； “此物最相思”是感叹句，不是命题.故选A, 1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 要点精析 例1解：(1)命题的否定：V2不是无理数.是假 命题. (2)命题的否定：3和4不都是15的因数.是真 命题. (3)命题的否定：若m2+n2=0,则实数m,n不全为 零.是假命题 (4)命题的否定：任意的质数都不是偶数.是假 命题. (5)命题的否定：存在能被3整除的数，不能被4 整除.是真命题 (6)命题的否定：存在一个三角形，它的两边之和 不大于第三边.是假命题 变式训练1ABD【解析】xX2-x-12=0,(x-4)(x+3)= 0,解得x=-3或x=4,.若x2-x-12=0,则x=4为假命 题，其否命题为真，故A符合题意；x5,解得<-V√5 或x>V5,2>5,则x>V5为假命题，其否命题为 真，故B符合题意；三角形中，大边对大角，在 △ABC中，若AB<BC,则有∠ACB<∠BAC为真命题， 其否命题为假，故C不符合题意；4=1-4=-3<0，则 x2-x+1=0无解，x2-x+1=0有实数根为假命题，其否命题 为真，故D符合题意.故选ABD. 例2(1)B(2)B【解析】(1)HneN,n2≤3+5， 故选B. (2)对于高0，解得0或1， 参考答案。 命题“x0,若>0”的香定是“3x0,0≤ x≤1”.故选B. 变式训练2D【解析】由全称量词命题的否定知，命 题“/x∈R,x2+2x+3≥0”的否定是“]x∈R,x2+2x+3< 0”.故选D. 数学文化 例1D【解析】甲、乙两人说的话矛盾，必有一对一错， 如果丁正确，则丙也是对的，丁是错误的，可得丙正确， 此时，乙正确.故选D. 例2AD【解析】当x∈Z时，x=[x]; 当xZ时，设k<<k+1(k∈Z),则[x]=k,则[x] <x<[x]+1. 综上，[x]≤<[x]+1,A正确，B,C选项均错误. 由上可知，[x]≤x<[x]+1,设x=[x]+{x,则0≤ (x<1. 若0≤{x+by<l,则[x+y]=[x]+[y]; 若1≤{+y<2,则[x+y]=[x]+[y]+1. 综上，Hx,yeR,[x]+[y]≤[x+y],D选项正确. 故选AD. 1.2.3充分条件、必要条件 要点精析 例1解：(1)记A={xlx>2,B={xlx<-2或x>2,则 A车B,p是q的充分不必要条件. (2)若x,y为无理数，则x+y可能为有理数，例如 x=-V2,y=V2,而x+y=0为有理数，·Pq. 反之，若x+y为无理数，则x,y可以有一个是有理 数，另一个是无理数，例如x=1,y=V2,·qp,p 是q的既不充分也不必要条件. (3)若x+y≥3，则x≥1或y≥2至少有一个成立. 假设x≥1或y≥2都不成立，则x<1且y<2,x+y<3,与 x+y≥3矛盾，p→q. 反之，若x≥1或y≥2，则x+y≥3不一定成立，例 如，当=-1，y=3时，不满足x+y≥3，∴qp,p是q 的充分不必要条件. (4)由方程ax+3=0在[-1,2]上有实数根，可得 -1≤-3≤2 a a>0, a<0, .-a+3≤0，或-a+3≥3， 2a+3≥0 2a+3≤0， 解得a≥3或a5-是 9:a≥3或a≤号，p→7且，p是g的充 29 N 高中数学必修第一册人教B版 分不必要条件 (5)两个三角形面积相等，它们不一定全等，而 全等的两个三角形，它们的面积一定相等，p≠g且q →P,p是q的必要不充分条件. 变式训练1BCD【解析】若a≠0，b=0,则ab=0;若 ab≠0，则a,b都不为0，则“a≠0”是“ab≠0”的必 要不充分条件，故A为假命题.若二次方程ax2+bx+c=0 有一正根一负根，则两根之积为负，即C<0,从而ac< 0,故“ac<0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一正根一负 根”的必要条件；若ac<0,则△=b-4ac>0,。<0,即 方程有两根且两根之积为负，.∴.二次方程a2+bx+c=0有 一正根一负根，故“ac<0”是“二次方程a2+bx+c=0有 一正根一负根”的充分条件.综上“ac<0”是“二次方 程ax2+bx+c=0有一正根一负根”的充要条件，故B为真 命题.M={xmx2+(m+2)x+2=0为单元素集，若m=0, 则M={1}符合题意；若m≠0，则△=(m+2)2-8m=0,则 m=2,则M=-1)符合题意.综上M={xlmx2+(m+2)x+2=0 为单元素集，则m=0或2，因此“m=2”是“M={xlmx2+ (m+2)x+2=0)为单元素集”的充分不必要条件，故C是 真命题.a>1,.1-1=1-<0,但是若1<1，则>1 或a<0,则“a>I”是“<I”的充分不必要条件，故D a 是真命题.故选BCD. 例2(1)AB(2)C【解析】(1)不等式xl<2等价 于-2<x<2,.要找的必要不充分条件的范围应该包含-2< x<2.故选AB. (2)关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有 一个正根和一个负根的等价条件是】<0，即a∈(-∞， 0),.要找的充分不必要条件范围应该真包含在(-∞， 0)内.故选C. 变式训练2BD【解析】y=(x-2)2-1的图象开口向上， 对称轴x=2,最小值为-1.对于A,Hx∈R,y=(x-2)2- 1≥-1，∴A错误；对于B,Ha>1,30eR,y=(2)2- 1<a,故B正确；对于C,Ha<-1,3xoeR,y=(x2)2- 1=a,错误；对于D,对称轴为=2,3x1≠x2,(x-2)2- 1=(x2)2-1,正确.故选BD. 例3证明：充分性： (30 d+b+ab-2-b2=(a+b3)-(d2-ab+b2) =(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2) =(a+b-1)(a2-ab+b2) -(a-D)[(a- ah≠0，a-号2≠0 又a+b=1,.d+b3+ab-㎡-b2=0. 必要性： .a+b3+ab-2-b2=0, ∴.(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0, ∴.(a+b-1)(d-ab+b2)=0, 1). h≠0.0-20， .a+b-1=0,即a+b=1. 变式训练3证明：充分性： 若2+b2+c2=ab+ac+bc, 则2(a2+b2+c2)=2(ab+ac+bc), .a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0. a-b=0, 即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2-0,.a-c=0,∴.a=b=c, b-c=0. .△ABC为等边三角形. 必要性： 若△ABC为等边三角形，则a=b=c, .∴a2+b2+c2-ab-ac-bc=3a2-3a2=0, ..a2+b2+c2-ab+ac+bc, 结论成立 数学文化 例1D【解析】“有志”不能推出到达“奇伟、瑰怪， 非常之观”，但是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”能推 出“有志”，.“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之 观”的必要不充分条件.故选D. 例2A【解析】由题意知，“返回家乡”则可推得 “攻破楼兰”，即必要条件成立，反之“攻破楼兰”不一 定“返回家乡”，即充分条件不成立，故“攻破楼兰” 是“返回家乡”的必要不充分条件.故选A.