1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

1.2.2全称量词命题 学习目标 1.理解命题的否定的含义，会写出给定 命题的否定，并会判断其真假 2.掌握全称量词命题与存在量词命题的 否定，能够正确使用存在量词对全称量词命 题进行否定，能够正确使用全称量词对存在 量词命题进行否定，并会判断其真假： 要点精析 川要点1命题的否定 一般地，对命题p加以否定，就得到一 个新的命题，记作“p”，读作“非p”或 “p的否定”. 注：一个命题与它的否定真假相反 思考如果一个命题是真命题，它的 否定是真命题还是假命题？ 例1写出下列命题的否定，并判断所 得命题的真假， (1)V2是无理数 (2)3和4都是15的因数， (3)若m+n=0,则实数m,n全为零. (4)至少有一个质数是偶数， (5)能被3整除的数，也能被4整除. (6)三角形的两边之和大于第三边. 第一章集合与常用逻辑用语。 百存在量词命题的否定 反思感悟 在判断命题或者命题的否定真假的时 候，可以利用命题与其否定之间的真假关 系进行判断；一个命题与它的否定真假相反. 变式训练① (多选题)下列命题的否定为真命题的 有() A.若x2-x-12=0,则x=4 B.若x2>5,则x>V5 C.在△ABC中，若AB<BC,则有∠ACB< ∠BAC D.x2-x+1=0有实数解 要点2全称量词命题与存在量词命题 的否定 1.存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“了x∈M,p(x)” 的否定是全称量词命题“Hx∈M,p(x)”. 思考如果一个存在量词命题是真命 题，它的否定是真命题还是假命题？ 学(17 高中数学必修第一册人教B版 2.全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“Hx∈M,q(x)” 的否定是存在量词命题“子x∈M,q(x)”. 思考如果一个全称量词命题是真命 题，它的否定是真命题还是假命题？ 例2(1)命题：月n∈N,n2>3n+5, 则该命题的否定为() A.YnEN,n2>3n+5 B.VneN,n2≤3n+5 C.3neN,n2≤3n+5 D.n∈N,n2<3n+5 (2)命题“Hx>0,名0”的香定是 A.3<0,≤0 B.3x>0,0≤x≤1 C.0,≤0 D.Hx<0,0≤x≤1 B变式训练2 全称命题“Hx∈R,x2+2x+3≥0”的否 定是() A.Vx∈R,x2+2x+3<0 B./x主R,x2+2x+3≥0 (18)学 C.3x∈R,x2+2x+3≤0 D.月x∈R,x2+2x+3<0 数学文化 例1老师带甲、乙、丙、丁四名学生 去参加数学竞赛，考试结束后老师向四名学 生了解考试情况，四名学生回答如下.甲说： “我们四人都没考好”乙说：“我们四人中 有人考得好.”丙说：“乙和丁至少有一人 没考好”丁说：“我没考好”结果，四名 学生有两人说对了，则四名学生中说对的两 人是() A.甲、丙 B.乙、丁 C.丙、丁 D.乙、丙 例2（多选题）对Hx∈R,[x]表 示不超过x的最大整数.18世纪，y=[x]被 “数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函 数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列 命题为真命题的有() A.3x∈R,x=[x] B.]x∈R,x=[x]-1 C.3x∈R,x=[x]+l D.Hx,y∈R,[x]+[y]≤[x+y]变式训练3解：若p是真命题，则a≤x对于x∈[1,2] 恒成立，.a≤(x2)m=1.故a的取值范围为(-o,1]. 数学文化 例1解：结合五个命题，可以列表如下： 甲 乙 丙 丁 休息 不 不 不 锻炼 不 不 不 读书 练字 不 不 由表格看出，丙在休息，乙在锻炼，由(3)可知， 甲在练字，最后推出丁在读书. 例2A【解析】“红豆生南国”是陈述句，所述事件 在唐代是事实，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问 句，不是命题；“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； “此物最相思”是感叹句，不是命题.故选A, 1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 要点精析 例1解：(1)命题的否定：V2不是无理数.是假 命题. (2)命题的否定：3和4不都是15的因数.是真 命题. (3)命题的否定：若m2+n2=0,则实数m,n不全为 零.是假命题 (4)命题的否定：任意的质数都不是偶数.是假 命题. (5)命题的否定：存在能被3整除的数，不能被4 整除.是真命题 (6)命题的否定：存在一个三角形，它的两边之和 不大于第三边.是假命题 变式训练1ABD【解析】xX2-x-12=0,(x-4)(x+3)= 0,解得x=-3或x=4,.若x2-x-12=0,则x=4为假命 题，其否命题为真，故A符合题意；x5,解得<-V√5 或x>V5,2>5,则x>V5为假命题，其否命题为 真，故B符合题意；三角形中，大边对大角，在 △ABC中，若AB<BC,则有∠ACB<∠BAC为真命题， 其否命题为假，故C不符合题意；4=1-4=-3<0，则 x2-x+1=0无解，x2-x+1=0有实数根为假命题，其否命题 为真，故D符合题意.故选ABD. 例2(1)B(2)B【解析】(1)HneN,n2≤3+5， 故选B. (2)对于高0，解得0或1， 参考答案。 命题“x0,若>0”的香定是“3x0,0≤ x≤1”.故选B. 变式训练2D【解析】由全称量词命题的否定知，命 题“/x∈R,x2+2x+3≥0”的否定是“]x∈R,x2+2x+3< 0”.故选D. 数学文化 例1D【解析】甲、乙两人说的话矛盾，必有一对一错， 如果丁正确，则丙也是对的，丁是错误的，可得丙正确， 此时，乙正确.故选D. 例2AD【解析】当x∈Z时，x=[x]; 当xZ时，设k<<k+1(k∈Z),则[x]=k,则[x] <x<[x]+1. 综上，[x]≤<[x]+1,A正确，B,C选项均错误. 由上可知，[x]≤x<[x]+1,设x=[x]+{x,则0≤ (x<1. 若0≤{x+by<l,则[x+y]=[x]+[y]; 若1≤{+y<2,则[x+y]=[x]+[y]+1. 综上，Hx,yeR,[x]+[y]≤[x+y],D选项正确. 故选AD. 1.2.3充分条件、必要条件 要点精析 例1解：(1)记A={xlx>2,B={xlx<-2或x>2,则 A车B,p是q的充分不必要条件. (2)若x,y为无理数，则x+y可能为有理数，例如 x=-V2,y=V2,而x+y=0为有理数，·Pq. 反之，若x+y为无理数，则x,y可以有一个是有理 数，另一个是无理数，例如x=1,y=V2,·qp,p 是q的既不充分也不必要条件. (3)若x+y≥3，则x≥1或y≥2至少有一个成立. 假设x≥1或y≥2都不成立，则x<1且y<2,x+y<3,与 x+y≥3矛盾，p→q. 反之，若x≥1或y≥2，则x+y≥3不一定成立，例 如，当=-1，y=3时，不满足x+y≥3，∴qp,p是q 的充分不必要条件. (4)由方程ax+3=0在[-1,2]上有实数根，可得 -1≤-3≤2 a a>0, a<0, .-a+3≤0，或-a+3≥3， 2a+3≥0 2a+3≤0， 解得a≥3或a5-是 9:a≥3或a≤号，p→7且，p是g的充 29