1.1.1 集合及其表示方法-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

第一章集合与常用逻辑用语。 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集 合 1.1.1集合及其表示方法 b,c,…表示 学习目标 一般地，我们把不含任何元素的集合称 L.通过实例，了解集合的含义，理解元为空集，记作⑦ 素与集合之间的关系，了解空集、集合相等 注：0⑦ 的含义 思考 你能举出一个集合的例子吗？ 2.掌握集合中元素的特点. 并指出它的元素 3.能用自然语言、图形语言、符号语言 2.元素与集合的关系 刻画集合，能选择列举法或描述法表示不同 关系 语言表达 符号 读法 的集合 属于 a是集合A的元素 a∈A a属于A 4.掌握集合的分类与几种常见数集的表 不属于 a不是集合A的元素 a生A a不属于A 示方法 5.理解区间的概念及其表示方法，会用 思考举出一个集合的例子，你能用 区间表示实数集. 符号表示某一个对象与你所举的集合之间 的关系吗？ 要点精析 3.集合的分类 集合可以根据它含有的元素个数分为两 川要点1集合与元素的相关概念 类：含有有限个元素的集合称为有限集，含 1.集合的概念 有无限个元素的集合称为无限集.空集可以 把一些能够确定的、不同的对象汇集在：看成包含0个元素的集合，所以空集是有 一起，就说由这些对象组成一个集合（有时： 限集 简称为集)，组成集合的每个对象都是这个 思考你能举出一个有限集、一个无 集合的元素 限集的例子吗？ 集合通常用英文大写字母A,B,C,… 表示，集合的元素通常用英文小写字母a,: 学 高中数学必修第一册人教B版 例1下列各组对象能否构成集合？若 能，请指出它们是有限集还是无限集。 变式训练1 ①比较接近1的正数的全体 下列各组对象能否构成集合？若能，请 ②最小的自然数 指出它们是有限集还是无限集， ③在平面直角坐标系中所有属于第三 (1)接近V3的实数. 象限的点. (2)方程x2-2x-3=0的所有解。 ④小于18，既是正奇数又是质数的数： (3)小于1500的正奇数， x2-x+1=0, ⑤在实数范围内方程组 的 x+y=1 解的全体 分析根据集合的定义来判断对象能 否确定一个集合，再根据描述来判断集合 川要点2集合的元素的三个特点 中元素的个数， 集合的元素具有以下特点： (1)确定性：集合的元素必须是确定的， (2)互异性：对于一个给定的集合，集 合中的元素一定是不同的 (3)无序性：集合中的元素可以任意 排列. 思考关于集合的元素的三个特点， 你能举出正反两方面的例子吗？ 例2（多选题）下列说法正确的有 ) A.不等于3的所有奇数可以组成一个 集合 B.高一年级的所有高个子同学可以组 成一个集合 C.{1,3,5}与3,1,5}是不同的 集合 D.由0,1,1,4,0组成的集合有三个 元素 分析根据集合的元素的三个特，点进 行判断 (2)学 第一章集合与常用逻辑用语。 例3 (1)下列所给关系： 变式训练2 ①meR; 设数集A由实数构成且满足：若x∈A ②V3Q; (x≠1且x≠0)， 则∈A.若2∈A,则A ③0eN; 中至少还有几个元素？ ④0e☑； ⑤-V3IeZ. 其中正确的有 (写出所有正 确的序号) (2)集合A中的元素x满足6∈N, 6-x x∈N,则集合A中的元素为 分析 (1)根据元素是否满足集合的 川要点3几种常见的数集及其记法 特点来判断；(2)对分母进行分类讨论. 变式训练3 集合 意义 记法 自然数集 所有非负整数组成的集合 N 集合A中元素x满足3，∈Z,x∈Z x-3 在自然数集N中，去掉元 正整数集 N或N 则集合A中的元素为 素0之后的集合 整数集 所有整数组成的集合 Z 川要点4集合的表示方法 有理数集 所有有理数组成的集合 1.列举法 实数集 所有实数组成的集合 个 把集合中的元素一一列举出来（相邻元 素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以 常见数集之间的关系： 此来表示集合的方法称为列举法 正整数集N或N 自然数集N 注：①列举法表示集合，一般不考虑顺 有理 整数集Z o] 序.②有限集可用列举法表示，有规律的无 集 负整数集 实数Q 限集也可以用列举法表示，可按照规律列 集R 分数集 无理数集 出几个元素作为代表，其他元素用省略号 表示 思考你能用文字语言来说明正整数 思考你能举出一个用列举法表示的 集合、自然数集合、整数集合、有理数集 集合吗？ 合、实数集合之间的关系吗？ 学 高中数学必修第一册人教B版 2.描述法 一般地，如果属于集合A的任意一个元 变式训练4 素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元 已知集合A={x∈Ra2-3x+2=0. 素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集 (1)若A是空集，求由实数a的值组 合A的一个特征性质，此时集合A可以用 成的集合 它的特征性质p(x)表示为{xp(x)小.这种表示 (2)若A中只有一个元素，求由实数a 集合的方法，称为特征性质描述法，简称为 的值组成的集合 描述法 (3)若A中有两个元素，求由实数a的 思考 你能举出一个用描述法表示的 值组成的集合. 集合吗？ 例4用描述法表示下列集合 (1)坐标不在第一、第三象限的点的 集合 (2)所有被3除余1的正整数的集合 (3)使)=x+6 1一有意义的实数x的集合 川要点5区间及其表示 1.区间的概念 分析先弄清楚集合中代表元素是什 设a,b是两个实数，如果a<b: 么，元素所具有的特征是什么，再用适当 集合{xla≤x≤b}可简写为[a,b],并称 的方式表示出特征性质 为闭区间； 集合{xla<x<b}可简写为(a,b),并称为 开区间； 集合{xla≤x<b}可简写为[a,b),集合 {xla<x≤b}可简写为(a,b],并称为半开半闭 区间. 这里的实数a,b分别称为区间的左、 右端点，b-a称为区间的长度 注：一般地，区间的左端点的值小于右 反思感悟 端点的值， 用描述法表示集合时，要明确集合中 思考你能各举出一个开区间、一个 元素的公共属性，即把握住集合的代表元 闭区间、一个左开右闭区间、一个左闭右 素以及元素的特征性质。 开区间的例子吗？ 第一章集合与常用逻辑用语。 2.无穷大的概念 如果用“+∞”表示“正无穷大”，用 ③变式训练⑤ “-0”表示“负无穷大”，则： 将下列集合用区间表示出来。 实数集R可表示为区间(-∞，+∞)； (1){x-1<x<3}. 集合{xx≥d可表示为区间[a,+o): (2){xlx2<4}. 集合{xx>a可表示为区间(a,+∞)； (3){xy=-x. 集合{xlx≤a可表示为区间(-o,a]; (4)yby=-x2. 集合{xx<a可表示为区间(-o,a). 注：无穷大是一个符号，不是一个数， 以-0，+0为区间的一端时，这一端必须用 小括号 思考你能举出用“+∞”表示的一个 左闭右开区间的例子吗？ 例5将下列集合用区间表示出来 (1){x-5≤2x+1≤1. (2){x(x+2)(x-3)<0}. (3)0yy=x2+2}. (4){xy=x2+2. 分析先根据集合的特征性质确定元 数学文化 素的范围，再根据区间的定义表示出来 例中国古代重要的数学著作《孙子算 经》下卷有题：今有物，不知其数.三三数 之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩 二.问：物几何？ 现有如下表示：已知A={xc=3n+2,n∈ N,B={xlx=5n+3,n∈N,C={xc=7n+2,n∈ N,则x∈A,且x∈B,且x∈C,则下列选 项中符合题意的整数x为() A.8 B.127 C.37 D.23 分析将选项中的数字逐一代入集合 A,B,C的表达式，检验是否为集合A, B,C的元素，即可选出正确选项. 学 5N参考答案 学习手册参考答案 第一章集合 >m1.1集 合 11.1集合及其表示方法 要点精析 例1解：对于①，“比较接近1”的判断标准不明确， 故不能构成集合；对于②③④⑤，都能构成集合，其中 ②④⑤是有限集，③是无限集. 变式训练1解：(1)接近V3的实数不具有确定性， 不能构成集合.(2)解方程，得x=3或=-1，能构成 集合，是有限集.(3)一个数是否为小于1500的正 奇数是确定的，能构成集合，是有限集. 例2AD【解析】可根据集合中元素的确定性进行判 断，故A正确；“高个子”的判断标准不明确，故不能 组成集合，故B错误；两个集合的元素完全相同，由集 合中元素的无序性可知两个集合是相同的集合，故C错 误；根据集合中元素的互异性可知，由0,1,1,4,0 组成的集合中只有0,1,4三个元素，故D正确.故选 AD. 变式训练2 1 解：2eA,12-le4 1=1A. 又-1eA,1-(-1)2 2 4中至少还有两个元素，为-1，号 例3(1)①②(2)0,3,4,5【解析】(1)①② 正确，③④⑤错误。 (2):6EN,xEN,6-x应该是6的正约数， 6-x .6-x=1或6-=2或6-=3或6-x=6, x=5或4或3或0， A中元素为0,3,4,5. 参考答案。 与常用逻辑用语 变式训练31，-3,3.1【解桥13乙，则-3≤ -3≤3.解得0≤≤6且xeZ当x0时，033-l 乙，满足题意：当1时，己=号4Z,不满足题意： 当=2时，33乙，满足题意：当3时， 3 此时分母为零，不满足题意；当x4时，3e乙。 满足题意：当5时，弓号Z,不端足随意：当 6时，高1eZ,满足题意 例4解：(1){(x,y)y≤0. (2){xlx=3n+1,n∈N} (3){xlx2+x-6≠0}. (4)-点2neN且1≤6 . 变式训练4解：(1)A是空集，则关于x的方程 a2-3x+2=0无解，此时a≠0.4=9-80，即心 :由实数a的值组皮的统合为aeR心号} (2)A中只有一个元素，则方程a2-3x+2=0有且 只有一个实数根 当=0时，方程为一元一次方程，满足条件. 当a≠0时，方程有两个相等的实数根，此时△=9- &=0,解得号 :u-0或u=8 9 ∴由实数a的值组成的集合为0，号} (3)·.A中有两个元素，则关于x的方程x2-3x+2-0 有两个不相等的实数根， a≠0，△=(-32-8心0，解得a<9且a≠0， 8 由实数a的值组成的集合为reRa<号且a≠0 25 N 高中数学必修第一册人教B版 例5解：(1)-5≤2x+1≤1}={-3≤x≤0，用区间表 示为[-3,0] (2){xI(x+2)(x-3)<0}={xl-2<x<3},用区间表示 为(-2,3). (3)byl=x242={bhy≥2}，用区间表示为[2，+0). (4)xy=x242={xxeR},用区间表示为(-0，+∞). 变式训练5解：(1)：{x-1<<3},.可用区间表示 为(-1,3).(2)解不等式，得-2<x<2,.可用区间 表示为(-2,2.(3)y=-2中，x∈R,.可用区间表 示为(-0，+∞).(4)y=-x2中，y≤0，∴.可用区间表示 为(-∞，0]. 数学文化 例D【解析】8=7x1+1,则8C,选项A错误 127=3×42+1,则127A,选项B错误.37=3×12+1，则 37使A,选项C错误.23=3×7+2，故23∈A;23=5×4+3, 故x∈B;23=7x3+2,故x∈C,选项D正确.故选D. 1.1.2集合的基本关系 要点精析 例1解：(1)A=(1,1),(1,1)满足yx和Y=1, 1 .ACB且ACC. 又B,C中含有元素(2,2)不在A中， .AB,AC. C={(x,y)y=x(x≠0)}，.CCB. 又(0,0)∈B且(0,0)C,.CB, .ACB. (2)A=by≠0}，B={xx≥1}， C={x=(x+1)2+2=by≥2}， .CB￥A. 3)对于集合4，特征性质+号2，e乙 对于集合B,特征性质x=+L= 2,2 21 n,k=2n-1, neZ,∴AB. (4)对于集合A,由于aeN,:'.a2+1表示从0开始 的自然数的平方与1的和. 对于集合B,特征性质y=b2+2b+2=(b+1)2+1, 由于b∈N,.b2+2b+2表示从1开始的自然数的平方与 1的和，.集合A中比集合B中多一个元素1，BA. 变式训练1C【解析】M==”若，neZ,N k=2eZ,+2表示整数，2+1表示奇数，故 NCM,故选C 26 例2解：元素个数为0的子集为⑦： 元素个数为1的子集为{a,b,{c； 元素个数为2的子集为{a,b},{a,c},{b,c; 元素个数为3的子集为{a,b,c以. 上述集合中除{a,b,c}外的集合为真子集。 变式训练2解：集合M的子集有0，{1，{2}， {5},{1,2},1,5},2,5},{1,2,5}. 例3(1)3231(2)7【解析】(1)方法一：由 于集合M的子集中的元素将从a4,,a,a4,a中取 得，可以按子集中有0个、1个、2个、3个、4个、 5个元素分别写出子集，一共有32个，真子集有32-1= 31(个). 方法二：由于集合M的子集中的元素将从a,a, a,a4,a5中取得，每个元素要么被取，要么不被取，每 个元素都有两种情况，故一共有2种情况，∴.子集有2 个，真子集有25-1=31（个）. (2)由{1,2}军M知，M中除含有1,2外，还必须 含有其他的元素，由MC{1,2,3,4,5}可得，M中 其他元素可以在3,4,5中选择，M相当于在3,4,5} 的每个真子集中再加入元素1,2，而{3,4,5}的真子集 有2-1=7（个），.符合条件的集合M共有7个 变式训练3解：①若B=0,满足BCA,方程x2+2(a+ 1)x+㎡-1=0无实数根， .△=[2(a+1)]2-4(-1)<0,解得a<-1. ②若B≠☑，由BCA,得B=O)或-4)或-4,0. 当方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等实数根， 则△=[2(a+1)]2-4(a2-1)=0,即a=-1, 此时B={O,满足题意. 当方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两实数根为0，-4， 则有x(x+4)=0,即x244x=0, 2a+1)=4,解得a=l. d-1=0, 综上所述，实数a的取值范围为(-∞，-1]U{. 例4BD【解析】空集不能是空集的真子集，故A选项 不正确；集合的真包含关系满足传递性，故B选项正 确；空集只有它本身一个子集，故C选项不正确；集合 B之外的元素一定不在集合B中，又不在集合A中， 集合A只能是B,或是真包含于B,∴ACB,故D选项 正确.故选BD. 变式训练4[2，+∞)【解析】由题知，A二B,则 -m≤-2，解得m≥2，m取值范围为[2，+0)： m≥1， 例5B【解析】.AcB,则有：若a-2=0,解得a=2, 此时A=0,-2,B=1,0,2},不符合题意；若2-2=0， 解得a=1,此时A={0,-1,B=1,-1,0,符合题意。