专题07 期中真题百练通关常考111题 25类考点专练（期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题07 期中真题百练通关（25类常考题型） 选填常考题 题型1 直线的斜率与倾斜角 题型9 圆的公共弦 题型2 直线方程 题型10 根据椭圆，双曲线，抛物线定义求方程 题型3 直线平行与垂直关系 题型11 椭圆，双曲线，抛物线中，和、差距离最值问题 题型4 两点间的距离，点到直线的距离 题型12 椭圆，双曲线中的焦点三角形问题 题型5 圆的方程 题型13 抛物线的焦点，准线 题型6 直线与圆的位置关系 题型14 椭圆，双曲线离心率 题型7 圆的切线 题型15 双曲线渐近线 题型8 圆与圆的位置关系 解答题常考题 题型1 求直线方程 题型6 圆中的最值范围问题 题型2 圆的方程 题型7 圆锥曲线中弦长（面积）问题 题型3 圆内接三角形面积 题型8 圆锥曲线中的垂直关系转化 题型4 圆的切线 题型9 圆锥曲线中定点、定值、定直线问题 题型5 圆的弦长 题型10 圆锥曲线中向量问题 选填常考题 题型一 直线的斜率与倾斜角（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）经过，两点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线经过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏·期中）如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 题型二 直线方程（共5小题） 6．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 7．（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为 ． 10．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 题型三 直线平行与垂直关系（共5小题） 11．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，若矩形的边所在的直线方程分别为，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 12．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线，且，则的最小值为（    ） A．15 B． C．12 D． 14．（多选）（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线，直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过点 B．若，则或 C．若，则 D．当时，始终不过第一象限 15．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线：，：，若，则的值为 ． 题型四 两点间的距离，点到直线的距离（共5小题） 16．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知两平行直线与之间的距离是，若，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·江苏常州·期中）平行直线与之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 18．（24-25高二上·江苏扬州·期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 20．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知两点到直线的距离相等，则的值为 . 题型五 圆的方程（共5小题） 21．（23-24高二上·江苏无锡·期中）以为直径的两个端点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·江苏南通·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，已知圆拱跨度，拱高，桥面每隔有一个支柱，则支柱的长为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·江苏南通·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 24．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 25．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知点，，，则的外接圆的标准方程为 ．    题型六 直线与圆的位置关系（共5小题） 26．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 27．（24-25高二下·江苏南京·期中）若圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，则实数的取值范围是（    ） A． B．C．D． 28．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 题型七 圆的切线（共5小题） 31．（24-25高二上·江苏南京·期中）过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 34．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 35．（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过圆上的点的的切线方程为 . 题型八 圆与圆的位置关系（共5小题） 36．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 37．（24-25高二上·江苏常州·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 38．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 39．（24-25高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆内切，则实数的值为 . 40．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是 . 题型九 圆的公共弦（共2小题） 41．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为 . 42．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 ． 题型十 根据椭圆，双曲线，抛物线定义求方程（共3小题） 43．（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 44．（22-23高二上·江苏淮安·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 45．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型十一 椭圆，双曲线，抛物线中，和、差距离最值问题（共5小题） 46．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b   47．（24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 49．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 50．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 题型十二 椭圆，双曲线中的焦点三角形问题（共4小题） 51．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 52．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 53．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 54．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点．设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为 ． 题型十三 抛物线的焦点，准线（共5小题） 55．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 56．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 57．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 58．（24-25高二上·江苏常州·期中）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 . 59．（23-24高二上·江苏徐州·期中）写出一个同时满足下列条件①②的抛物线的方程 ． ①以原点为顶点；②以椭圆的一个焦点为焦点． 题型十四 椭圆，双曲线离心率（共5小题） 60．（24-25高二上·江苏泰州·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 61．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 62．（24-25高二上·江苏徐州·期中）在直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，上顶点为，点在上，若，，则的离心率（   ） A． B． C． D． 63．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 题型十五 双曲线渐近线（共5小题） 65．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆方程为，双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则实数的值为（   ） A．4 B．1 C． D． 66．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 67．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 68．（24-25高二上·江苏连云港·期中）请写出一个焦点在轴，并与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程： . 69．（24-25高二上·江苏南京·期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为 ． 解答题常考题 题型一 求直线方程（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点，，. (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程. 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为直角的一个顶点，为直角顶点，点在轴上 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程. 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点，且与直线垂直 (2)经过两直线与的交点，且与直线平行 5．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. (1)过点且与直线平行； (2)过点且到原点的距离等于2； (3)直线关于直线对称的直线. 题型二圆的方程（共3小题） 6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知的三顶点是． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程． 7．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点为，，． (1)求边的垂直平分线的一般式方程； (2)求的外接圆的方程． 8．（23-24高二上·江苏淮安·期中）在中，的内心． (1)求内切圆方程； (2)求外接圆方程． 题型三 圆内接三角形面积（共4小题） 9．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，若的面积最大，求此时的方程. 11．（23-24高二上·江苏常州·期中）有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A、B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA､OB，其中小路的宽度忽略不计. (1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度； (2)过再做一条与垂直的笔直小路交草坪圆周于两点，求四点构成的四边形面积的最大值. 12．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，当面积最大时，求直线的方程． 题型四 圆的切线（共4小题） 13．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平面直角坐标系中，圆心C在第一象限，经过直线与的交点，且______（在①②两个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆C经过点，圆心在直线上；②圆心，半径为； (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 14．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆的圆心在第一象限，半径为，且经过直线与直线的交点. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 15．（24-25高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 16．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆经过点，，. (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 题型五 圆的弦长（共3小题） 17．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 18．（23-24高二上·江苏南通·期中）在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线平行；②过点； 问题：已知直线过点，且______. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与圆相交于点，，求弦的长. 19．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆，点. (1)过点圆作切线，切点为，求线段的长度； (2)过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度； (3)点为圆上一点，求线段长度的最大值. 题型六 圆中的最值范围问题（共5小题） 20．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 21．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆，点，. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)点是圆上的动点，求的最值. 22．（24-25高二上·江苏盐城·期中）如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由. (3)是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值. 23．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值． 24．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知表示圆的方程. (1)求实数的取值范围； (2)当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程； (3)为圆上任意一点，已知点，在（2）的条件下，求的最小值. 题型七 圆锥曲线中弦长（面积）问题（共5小题） 25．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)不过原点的直线与椭圆交于两点，当的面积为 时，求直线的方程． 26．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知，是椭圆上两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交椭圆C交于P，Q两点，且，求直线l的方程． 27．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与相交于不同的两点，若的面积不小于，求直线斜率的取值范围. 28．（24-25高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 29．（24-25高二上·江苏泰州·期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 题型八 圆锥曲线中的垂直关系转化（共5小题） 30．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知椭圆经过点和点 (1)求椭圆的方程与焦距． (2)直线与椭圆N的交点为两点，若，求证：直线过定点． 31．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 32．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，直线l交双曲线于A，B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若动直线l经过双曲线的右焦点，点，求证：以为直径的圆经过点M． 33．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的焦点是圆与x轴的一个交点． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 34．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，已知抛物线C：（）的焦点F，且经过点，． (1)求A点的坐标； (2)直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值． 题型九 圆锥曲线中定点、定值、定直线问题（共5小题） 35．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的焦距为2，直线与交于两点,是上异于的一点设直线，的斜率分别为，，满足. (1)求的方程； (2)点在上，满足，直线，相交于点，求证：的面积为定值. 36．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上． 37．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 38．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知曲线，点. (1)当时，若直线过点且与曲线的右支交于M，N两点，记曲线的左、右顶点分别为，直线的斜率分别为，证明：为定值. (2)当时，不经过坐标原点且斜率为1的直线与曲线交于P，Q两点，直线PB与曲线的另一个交点为，直线QB与曲线的另一个交点为，其中G，H均不为曲线的顶点，证明：直线GH过定点. 39．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 题型十 圆锥曲线中向量问题(共3小题） 40．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 41．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为4. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，点，求. 42．（22-23高二上·江苏连云港·期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 1．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏徐州·期中）圆心为，且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点是双曲线：的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，的面积为20，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C． D． 6．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的焦距为，则C的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．（23-24高二上·江苏盐城·期中）与圆以及圆都外切的动圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．不含端点的一条射线 D．圆 10．（23-24高二上·江苏苏州·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 12．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，，，为抛物线上的任意三点(异于点)，，则下列说法正确的有（    ） A．设，到直线的距离分别为，，则 B． C．若，则 D．若直线，，的斜率分别为，，，则 13．（23-24高二上·江苏连云港·期中）写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程： . 14．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知双曲线（，），分别为双曲线的左、右顶点及右焦点，点为双曲线右支上异于的动点，过作直线的垂线交与点，设点的横坐标为，则当最大时，双曲线的离心率为 . 15．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点，，. (1)若直线过顶点，且顶点A，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线.求的欧拉线方程. 16．（24-25高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点，． (1)若直线过点，与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (2)圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 17．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆，点. (1)过的直线截所得的弦长为，求的方程； (2)经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程. 18．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. (1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 19．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中真题百练通关（25类常考题型） 选填常考题 题型1 直线的斜率与倾斜角 题型9 圆的公共弦 题型2 直线方程 题型10 根据椭圆，双曲线，抛物线定义求方程 题型3 直线平行与垂直关系 题型11 椭圆，双曲线，抛物线中，和、差距离最值问题 题型4 两点间的距离，点到直线的距离 题型12 椭圆，双曲线中的焦点三角形问题 题型5 圆的方程 题型13 抛物线的焦点，准线 题型6 直线与圆的位置关系 题型14 椭圆，双曲线离心率 题型7 圆的切线 题型15 双曲线渐近线 题型8 圆与圆的位置关系 解答题常考题 题型1 求直线方程 题型6 圆中的最值范围问题 题型2 圆的方程 题型7 圆锥曲线中弦长（面积）问题 题型3 圆内接三角形面积 题型8 圆锥曲线中的垂直关系转化 题型4 圆的切线 题型9 圆锥曲线中定点、定值、定直线问题 题型5 圆的弦长 题型10 圆锥曲线中向量问题 选填常考题 题型一 直线的斜率与倾斜角（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可 【详解】由题意斜率， 解得：， 故选：D 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）经过，两点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出斜率，从而可求倾斜角. 【详解】，故倾斜角， 故选：A 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出斜率即可求解. 【详解】由，可知直线斜率为， 所以， 所以， 故选：A 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线经过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线在轴上的截距的取值范围利用两点间斜率公式计算可得结果. 【详解】如下图所示： 易知点与点之间的斜率为， 当在轴上的截距的取值范围为时，直线的斜率的取值范围； 点点与点之间的斜率为， 当在轴上的截距的取值范围为时，直线的斜率的取值范围； 综上可知直线的斜率的取值范围为. 故选：C 5．（24-25高二上·江苏·期中）如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象，由斜率的定义求解. 【详解】解：由图象知：， 故选：A 题型二 直线方程（共5小题） 6．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角正切值关系，要求角平分线所在直线斜率，则先求半角的正切值，从而即可得角平分线的直线方程. 【详解】根据题意，直线与轴、轴分别交于两点， 令，可得，则的坐标为， 令，可得，则的坐标为， 如图： 设，为锐角）， 则，即， 则有，解可得或（舍）， 则的平分线所在直线的斜率， 其方程为，变形可得， 故选：B. 7．（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线过原点时直线方程为，满足题意，当直线不过坐标原点时，设直线的截距式，代入点坐标可得解. 【详解】当直线过原点时，直线方程为，即，在两坐标轴上的截距均为，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线方程为， 代入点，得， 解得， 则直线方程为，即， 综上所述直线方程为或， 故选：C. 8．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设所求直线的横截距为，分和讨论，设出直线方程，将点代入，求出即可得出答案. 【详解】设所求直线的横截距为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：C. 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】直线即，所以直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，其斜率为， 则直线的斜截式方程为，即直线的方程是. 故答案为： 10．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】设出截距式方程，代入已知点坐标求解． 【详解】由题意设直线方程为，且， 又直线过点，则，， 所以直线方程为，即． 故答案为：． 题型三 直线平行与垂直关系（共5小题） 11．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，若矩形的边所在的直线方程分别为，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意可知两直线平行，列式求解，并代入检验. 【详解】由题意可知：直线与平行， 则，解得或， 若，两直线分别为、，两直线平行，符合题意； 若，两直线分别为、，两直线平行，符合题意； 综上所述：的值为或. 故选：C. 12．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【详解】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 13．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线，且，则的最小值为（    ） A．15 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】由直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，故， 由于， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D 14．（多选）（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线，直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过点 B．若，则或 C．若，则 D．当时，始终不过第一象限 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，直接求出直线的定点，即可判断A，再结合直线平行、垂直的性质判断B、C，将直线方程化为斜截式，即可判断D. 【详解】对于A：直线，即， 令，解得，所以直线过定点，故A正确； 对于B：若，则，解得或， 当时，，，则， 当时，，，即， 则与重合，故舍去，所以，故B错误； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，斜率， 所以该直线过第二、三、四象限，不过第一象限，故D正确． 故选：ACD． 15．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线：，：，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】当两条直线垂直时，若直线与直线垂直，则满足.我们可以根据这个定理来求解的值. 【详解】对于直线和，根据两直线垂直的定理，则可得方程. 对进行求解. . 故答案为： 题型四 两点间的距离，点到直线的距离（共5小题） 16．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知两平行直线与之间的距离是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两直线平行得到，结合条件，利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】因为直线与平行，则，得到， 所以两平行线为与， 由题有，得到，又，所以，此时两直线不重合，符合题意， 得到， 故选：D. 17．（24-25高二上·江苏常州·期中）平行直线与之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由，得， 又，所以两平行线间的距离. 故选：C. 18．（24-25高二上·江苏扬州·期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据两直线平行求出，再利用两平行线间距离公式求解即可. 【详解】依题意可得，解得， 则直线方程为， 而方程，即， 所以两条平行线间的距离为. 故选：B. 19．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先分析直线所过的定点，当与定点的连线与直线垂直时距离有最大值，由此求解出结果. 【详解】因为， 令，解得，所以直线过定点， 当与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，且最大距离即为； 补充证明：与直线垂直时点到直线的距离最大， 当时，此时即为点到直线的距离； 当与不垂直时，过作，如图所示，此时在中，， 综上可知，当与直线垂直时点到直线的距离最大. 故选：B. 20．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知两点到直线的距离相等，则的值为 . 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可. 【详解】由题意可得，，即， 解得或. 故答案为：或. 题型五 圆的方程（共5小题） 21．（23-24高二上·江苏无锡·期中）以为直径的两个端点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解. 【详解】因为，则，且中点为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程为，展开得， 故选：A. 22．（24-25高二上·江苏南通·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，已知圆拱跨度，拱高，桥面每隔有一个支柱，则支柱的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，写出圆的方程，根据的坐标即可求出的长． 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图， 设该圆拱梁所在圆的圆心为，则圆心在轴上，由题知圆拱跨度的一半，设该圆半径为， 则在中，，解得：． 故圆的方程为， 又桥面每隔有一个支柱，故， 将代入圆方程得：，因为， 解得：． 所以支柱的长为， 故选：C． 23．（24-25高二上·江苏南通·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出点的轨迹方程再结合两点间距离及三角换元得出最小值. 【详解】圆，设圆心，圆的半径为， 因为过点与圆相切的两条直线的夹角为，则， 所以，又因为，所以， 则， 设点，可得， 化简可得， 设， 则点到原点距离， 当时，点到原点距离最小值为， 故选：B. 24．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】根据的取值，计算的取值范围，即可判断选项. 【详解】圆，代入点， 则，则点在圆外， 所以的最大值为，最小值为，， 所以的取值范围是，所以的取值是3,5,7. 故选：ABC 25．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知点，，，则的外接圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】对于本题，我们先求出线段的垂直平分线方程，然后联立求出圆心坐标，再根据圆心到顶点的距离求出半径，最后写出外接圆的标准方程. 【详解】对于和，中点坐标为. 再求线段的斜率. 那么垂直平分线的斜率为（因为两条垂直直线的斜率乘积为）. 利用点斜式，可得线段垂直平分线方程为，即.   线段的中点坐标为. 线段在轴上，其垂直平分线为.   联立，把代入， 得，解得. 所以圆心坐标为.   根据两点间距离公式，圆心到的距离就是半径. .   根据圆的标准方程，可得.   则的外接圆的标准方程为. 故答案为： 题型六 直线与圆的位置关系（共5小题） 26．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆方程可知圆心坐标，半径为2， 圆心到直线的距离为：， 所以弦长为， 故选：D 27．（24-25高二下·江苏南京·期中）若圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，则实数的取值范围是（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】把点到直线距离为3的个数得出圆心到直线距离范围计算求参. 【详解】由圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3， 可知圆心到直线的距离，即， 所以，解得， 故选:D. 28．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 29．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定动直线过圆内一定点，求出圆心的坐标和半径，由时，弦最短求解． 【详解】根据题意，圆可化为，其圆心为，半径， 动直线，即，恒过点. 设，又由，则点在圆的内部， 动直线与圆（圆心为）交于点， 当为的中点，即与垂直时，弦最短， 此时，弦的长度为， 此时的面积， 故选：D. 30．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【详解】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C 题型七 圆的切线（共5小题） 31．（24-25高二上·江苏南京·期中）过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线性质可知切线l斜率，进而可求切线方程. 【详解】因为圆的圆心为， 且，可知点在圆上， 则，可得切线l斜率， 所以直线l的方程为，即. 故选：B． 32．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断与圆的位置关系，然后可判断出切线条数. 【详解】因为圆心为，半径， 所以到的距离为， 所以在圆外， 过圆外一点作圆的切线有条， 故选：B. 33．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心与半径,利用两点间的距离公式求得从而切线长为,计算求解即可. 【详解】圆:,即圆心半径 切线长为 故选:B. 34．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】当时最小，最小，求出最小值即得的值. 【详解】由题得，当时，最小时，最小. 由题得， 所以. 故选：B. 35．（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过圆上的点的的切线方程为 . 【答案】 【分析】由过切点的半径与切线垂直得切线斜率，从而求得切线方程. 【详解】圆心为，切点为，则，所以切线斜率为， 得：切线方程为，化简得：. 故答案为： 题型八 圆与圆的位置关系（共5小题） 36．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据题意可得圆心和半径，进而可得，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆：和圆：， 可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 因为，即， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：C. 37．（24-25高二上·江苏常州·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据两圆圆心距与两圆的半径差、半径和的大小关系即可判断. 【详解】圆的圆心为,半径， 圆的圆心为,半径， 因为，， 所以， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：C 38．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 【答案】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【详解】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故答案为：. 39．（24-25高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆内切，则实数的值为 . 【答案】 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据内切得到方程，求出答案. 【详解】，故圆心为，半径为3， 的圆心为，半径为1， 因为两圆内切，故，即，解得. 故答案为： 40．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是 . 【答案】 【分析】由两圆有三条公切线可得两圆外切，利用半径之和为圆心距可求实数的值. 【详解】因为两圆有三条公切线，故圆与圆相外切， 又圆的圆心为，半径为， 由，得到，则， 且圆的圆心为，半径为， 由题有，得到，解得， 故答案为： 题型九 圆的公共弦（共2小题） 41．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为 . 【答案】 【分析】求出公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即圆与圆相交，其公共弦所在直线的方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 42．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】设，根据题意确定出四点共圆并求解出圆的方程，然后根据两圆相交弦所在直线方程的求法求解出结果. 【详解】设，如下图， 因为为圆的切线， 所以，所以， 所以四点共圆，且为圆的直径，记的中点为， 因为，所以， 所以经过四点的圆的方程为， 显然与的相交弦为， 所以所在直线的方程为， 即为， 故答案为： 题型十 根据椭圆，双曲线，抛物线定义求方程（共3小题） 43．（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程转化为，利用椭圆定义法求标准方程. 【详解】已知动点满足方程， 设，且， 则有， 故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程， 则，， 故所求轨迹方程为, 故选：B. 44．（22-23高二上·江苏淮安·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为 焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程. 【详解】由题意得：到与的距离之和为，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，， 所以，，所以椭圆方程为. 故选：C 45．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可. 【详解】如图所示： ∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点， ∴，， ∵是圆上一动点，∴，∴， ∴，，， ∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得， ∴点的轨迹方程为. 故选：C 题型十一 椭圆，双曲线，抛物线中，和、差距离最值问题（共5小题） 46．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】设该椭圆的右焦点为， 因为点P在C上，所以， 所以， 当三点共线时，有最大值，即， 所以的最大值为， 故选：C    47．（24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知点在以为直径的圆上（不含），根据抛物线的定义可得，结合圆下性质可得，再根据几何性质即可得结果. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上（不含），此时圆心为，半径. 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线小题，常常利用定义转化，并结合图形解决问题. 48．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：. 49．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得． 【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 50．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，，，.    如图，设双曲线左焦点为， 因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上. 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 所以，. 由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值. 又，所以， 所以，有最小值， 即有最小值. 故答案为：. 题型十二 椭圆，双曲线中的焦点三角形问题（共4小题） 51．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 52．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义式，三角形的周长，以及三角形的周长与三角形的内切圆半径的关系，正余弦定理，即可依次得出答案. 【详解】由题意知，，，则，. 对于A选项，因为，解得，又， 则，，故A错误； 对于B选项，的周长为，故B正确； 对于C选项，设的内切圆的半径， 则， 又，， 解得，故C正确； 对于D选项，在中， 由， 解得， 又， 即， 整理得：， 即， 即， 又， 解得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理知： ，即，解得，故D正确. 故选：BCD. 53．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】求出椭圆方程，利用动点的位置变化，研究的取值范围判断A；根据椭圆的几何性质及余弦定理求解判断B；分类讨论，借助方程组求动点坐标判断C；利用三角形不等式求解判断D. 【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，得， 将代入，则，解得，不妨令，， 由，则，即，将其代入，可得， 化简得，由，解得，则椭圆， 对于A，当点为椭圆的上（或下）顶点时，最大，如图： 由椭圆，则，，在中，， 由对称性得，因此的取值范围为，A正确； 对于B，如图： 设，，则，， 在中，由余弦定理得，即，整理得， 因此，B错误； 对于C，设，，则，， 当时，为等腰三角形，此时的坐标为或， 当时，为等腰三角形，此时，设， 则，消去得， 由，则方程有解，C错误； 对于D，显然，当且仅当点为椭圆长轴端点时取等号， 因此，D正确. 故选：AD 54．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点．设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解即可. 【详解】由，，则，， 设，，则，， 由双曲线定义得，， ，解得， 所以，， 在直角三角形中，， 则，即，又， ，解得. 故答案为：3. ， 题型十三 抛物线的焦点，准线（共5小题） 55．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程. 【详解】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D 56．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线方程化为标准形式，即可得其准线为，结合圆的方程可得，即可得结果. 【详解】因为抛物线方程为，即，可知其准线为， 又因为圆，即，可知圆心为，半径， 由题意可得：，解得. 故选：C. 57．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线方程与准线之间的关系分析求解. 【详解】由题意可知：，解得. 故选：C. 58．（24-25高二上·江苏常州·期中）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 【答案】 【分析】根据双曲线可得抛物线的焦点为，即可得方程. 【详解】由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 可知双曲线的右焦点为，即抛物线的焦点为， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 59．（23-24高二上·江苏徐州·期中）写出一个同时满足下列条件①②的抛物线的方程 ． ①以原点为顶点；②以椭圆的一个焦点为焦点． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意，由条件可得椭圆的焦点在轴上，设出抛物线的标准方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的上焦点为，下焦点为， 不妨以椭圆的上焦点为焦点， 设抛物线的方程为， 则，即，所以. 故答案为：（答案不唯一 题型十四 椭圆，双曲线离心率（共5小题） 60．（24-25高二上·江苏泰州·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形性质和椭圆定义求出，根据正切函数定义列式整理可得. 【详解】在中，，所以， 又，所以， 所以，即，整理得. 故选：A    61．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求出，再由焦点坐标求出，求出离心率即可. 【详解】设椭圆的两个焦点为，，点， 则，， ，所以椭圆的离心率为. 故选：C. 62．（24-25高二上·江苏徐州·期中）在直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，上顶点为，点在上，若，，则的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，设，根据得到，代入椭圆方程，求出，求出离心率. 【详解】，，故为的中点， 所以，设， 由得，，故，解得， 又在椭圆上，故， 化简得，故离心率. 故选：B 63．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线斜率与双曲线渐近线斜率关系结合离心率的齐次式即可求解. 【详解】双曲线的一条渐近线为， 因为直线与双曲线有公共点，故有，即， 所以，所以.所以， 所以的离心率的范围为. 故选：D. 64．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求渐近线方程，得到的值，利用即可得到结果. 【详解】∵双曲线的一条渐近线经过点， ∴此渐近线方程为，即， ∴离心率. 故选：B. 题型十五 双曲线渐近线（共5小题） 65．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆方程为，双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则实数的值为（   ） A．4 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意可知，故双曲线的一条渐近线方程为， 由于的圆心为，半径为，且经过原点， 故到的距离为，解得， 故选：D 66．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，设该双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得， 即双曲线的方程为，化为标准式方程为. 故选：A. 67．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据双曲线焦点位置分类讨论，设出双曲线的方程，根据题意建立关于的等式，解之即可得到答案． 【详解】当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 综上，该双曲线的标准方程为或． 故选：B． 68．（24-25高二上·江苏连云港·期中）请写出一个焦点在轴，并与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】设所求双曲线的方程为，再根据焦点在y轴上，可得，即可得解. 【详解】设所求双曲线的方程为， 因为所求双曲线的焦点在y轴上，所以， 则可取， 所以所求双曲线的方程为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一） 69．（24-25高二上·江苏南京·期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据有公共渐近线，设出双曲线方程，代入，求出，求出双曲线方程. 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得，故方程为． 故答案为： 解答题常考题 题型一 求直线方程（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点，，. (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出直线斜率，由垂直可得高线斜率，由点斜式直线方程可得； （2）按截距是否为分类讨论.当截距不为时，设出截距式方程代入点的坐标待定系数可得. 【详解】（1）如图，过作，垂足为， 由题意知， 则，又， 故直线CD的方程为：，即， 即AB边上的高所在直线的方程为：；    （2）由题意，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为， ①当时，由直线过，则直线方程为， ②当时，设直线方程为：， 代入点，得，解得， 则直线方程为，即， 综上所述，直线方程为：或 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为直角的一个顶点，为直角顶点，点在轴上 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据即可求解，利用垂直，根据斜率关系即可求解， （2）根据中点坐标求解，即可根据两点斜率公式求解斜率，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】（1）由可得， 令且，解得， 故直线恒过定点， 设，则,故则，解得， 故 （2）由于，，故的中点坐标， 则, 故直线方程为，即 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出点的坐标，直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解. （2）由（1）求出直线的斜率，进而求出直线方程. 【详解】（1）由，边的中点，得点，又点， 则直线的斜率，直线的方程为，即， 所以所在直线的方程为. （2）由（1）知，直线的斜率， 所以高所在直线的方程为，即. 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点，且与直线垂直 (2)经过两直线与的交点，且与直线平行 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线垂直设所求直线，将点代入求参数，即得方程； （2）求直线交点，根据直线平行设所求直线，代入点求参数，即得方程. 【详解】（1）由题意，可设直线方程为， 代入点，有，则， 所求直线方程为； （2）联立，解得， 设所求直线方程为，则，即， 所求直线方程为. 5．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. (1)过点且与直线平行； (2)过点且到原点的距离等于2； (3)直线关于直线对称的直线. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得； （2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可； （3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得. 【详解】（1）联立方程，解得，． 设与直线平行的直线为， 由题意得：，， 故满足要求的直线方程为：． （2）①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2； ②当所求直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 原点到该直线的距离为， 解得， 直线方程为，                       综上所述，符合题意的直线方程为或． （3）在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则 ，解得，，      又，则直线的方程即所求直线方程，为， 化简得，. 故所求的直线方程为：． 题型二圆的方程（共3小题） 6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知的三顶点是． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及点斜式直线方程，即可求解； （2）将三点坐标代入圆的一般方程，利用待定系数法，即可求解. 【详解】（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即； （2）设外接圆的方程为， 即，解得，，， 所以外接圆的方程为，即. 7．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点为，，． (1)求边的垂直平分线的一般式方程； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式方程可得结果； （2）设的外接圆的方程为，将该三角形的三个顶点坐标代入所求圆的方程，可得出关于的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的外接圆的方程. 【详解】（1）设中点为，所以，即， 由题意得，所以边上高的斜率为2， 又因为的垂直平分线过点， 所以的垂直平分线的方程为：，即． （2）设的外接圆的方程为． 将A，B，C三点坐标代入上式得，解得， 所以圆M的方程为，即． 8．（23-24高二上·江苏淮安·期中）在中，的内心． (1)求内切圆方程； (2)求外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离可求解半径，即可得圆的方程， （2）根据相切可计算长度，根据长度关系可得,进而根据垂直以及对称求解点坐标，根据直角三角形的性质，可得外接圆圆心的位置，即可求解圆心和半径. 【详解】（1）由可得直线方程为：， 即， 所以到的距离为， 因此内切圆的半径为，圆心为， 所以内切圆方程为 （2）设直线与内切圆相切于点，内切圆半径为，连接, 由于, 而且,所以， 所以, 由于平分，所以,因此， 所以为以为直角的直角三角形, 由则, 方程为 又轴，所以直线，关于对称，因此， 因此直线方程为, 联立，的方程，解得， 故, 因此的中点坐标为，且为外接圆圆心， 外接圆的半径为, 故外接圆方程为 题型三 圆内接三角形面积（共4小题） 9．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用直线和圆相切的性质列方程求解即可； （2）利用直线和圆的弦长公式和三角形的面积列方程求解即可. 【详解】（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切， 所以， 解得， 所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故， 解得或. 所以直线m的方程为或 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，若的面积最大，求此时的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点、的坐标代入圆的方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出参数值，综合可得出直线的方程； （3）分析可知，当时，的面积最大，求出圆心到直线的距离，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，由此可得出直线的方程. 【详解】（1）由题意可得，解得，故圆的方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）因为， 当且仅当时，等号成立， 此时，是等腰直角三角形，且， 则圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意，    所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，整理得，解得或， 因此，直线的方程为或， 即直线的方程为或. 11．（23-24高二上·江苏常州·期中）有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A、B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA､OB，其中小路的宽度忽略不计. (1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度； (2)过再做一条与垂直的笔直小路交草坪圆周于两点，求四点构成的四边形面积的最大值. 【答案】(1)（百米） (2)6 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合圆的几何性质求得小路的最短长度. （2）先求得四边形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则， 小路的长度为，因为为定值，故只需要最小即可. 作，垂足为，记， 则， 又，故， 此时点为中点. 故小路的最短长度为（百米）. （2）设到的距离为，设到的距离为， 由垂径定理可得， 所以， 当且仅当时，四边形面积的最大值6. 12．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，当面积最大时，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出圆的标准方程，利用直线与圆相切即可求得圆的方程; （2）根据几何法求弦长，表示出面积，借助基本不等式计算即可. 【详解】（1）结合题意：因为圆心C在y轴的负半轴上,且半径为4, 所以可设圆的标准方程为：，，此时圆心为 因为直线：与圆相切,所以圆心到直线的距离， 即：，解得：（舍去），或， 所以圆C的方程为：. （2）由上问可得：的圆心C为， 所以圆心到直线：的距离为：， 结合圆的弦长公式：， 直线与圆C相交于A，B两点，所以， 所以， 当且仅当时，即时，面积取到最大值8. 即，解得：， 所以直线的方程：或 题型四 圆的切线（共4小题） 13．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平面直角坐标系中，圆心C在第一象限，经过直线与的交点，且______（在①②两个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆C经过点，圆心在直线上；②圆心，半径为； (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1)条件选择见解析， (2)或 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程. （2）利用圆心到切线的距离等于半径来求得切线的斜率，进而求得切线方程. 【详解】（1）由解得，所以圆过点. 若选①，圆C经过点，圆心在直线上， 设圆心为，， 则， 解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 若选②，圆心，半径为， 则，解得（负根舍去）， 所以圆心为，圆的方程为. （2）由题意，当直线的斜率不存在时，不合题意； 当直线的斜率存在时，设切线的方程为， 圆心到切线的距离为，解得， 所以切线方程为，或， 即或.    14．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆的圆心在第一象限，半径为，且经过直线与直线的交点. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意设圆的方程，求出两条直线的交点坐标，将交点坐标代入圆的方程即可； （2）分切线的斜率是否存在两种情况讨论，根据圆心到切线的距离等于半径即可. 【详解】（1）由圆的圆心在第一象限，半径为， 可设圆的方程为，其中， 联立，解得两直线的交点为， 由得，又因为， 所以，圆心为， 所以圆的方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线为， 此时，圆心到直线的距离，舍去； ②当切线的斜率存在时，设直线方程为，即， 此时，圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为或. 15．（24-25高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）2；（2）或. 【分析】（1）利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长； （2）法1，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，再根据圆心到直线距离等于半径列式运算求解；法2，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，联立方程组根据判别式等于0求解. 【详解】（1）设从向圆引切线的一个切点为，则， 又因为， 所以，即切线的长为2. （2）解法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以方程组仅有一组解， 由方程组消去得， 所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 16．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆经过点，，. (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法设出圆的一般式方程，代入已知点建立方程组，可得答案； （2）利用分类讨论思想，结合圆的切线性质建立方程，可得答案. 【小题1】设所求圆的方程为， 因为点，，在所求的圆上，所以 解得 故所求圆的方程是 . 【小题2】当直线垂直于轴时，直线：与圆相切，满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为 即， 所以圆心到直线的距离等于圆的半径， 从而，解得， 因此，所求切线方程是或 题型五 圆的弦长（共3小题） 17．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【答案】(1)或； (2)最大，此时. 【分析】（1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程； （2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案. 【详解】（1）若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； （2）由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 18．（23-24高二上·江苏南通·期中）在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线平行；②过点； 问题：已知直线过点，且______. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与圆相交于点，，求弦的长. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）若选①，由题可得直线斜率，结合直线过点可得答案；若选②，由两点式可确定直线方程； （2）由（1）可得直线到圆圆心距离d，则弦长度l满足，即可得答案. 【详解】（1）若选①，因为直线的斜率为，直线与直线平行， 所以直线的斜率为依题意，直线的方程为，即； 若选②，因为直线过点及，所以直线的方程为，即； （2）若选①，的圆心到直线的距离为： 又圆的半径为，所以； 若选②，圆的圆心到直线的距离为： ，又圆的半径为，所以. 19．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆，点. (1)过点圆作切线，切点为，求线段的长度； (2)过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度； (3)点为圆上一点，求线段长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出圆心和半径，得到； （2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由弦长公式求出答案； （3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案． 【详解】（1）圆心，半径为，即， 又， 故； （2），故直线， 记圆心到直线的距离为， ，故； （3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，故 题型六 圆中的最值范围问题（共5小题） 20．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)的面积的取值范围为 【分析】（1）设圆的方程为，利用点在圆上，圆心在直线上，列出方程组求解即可； （2）设出直线方程，表示出的面积，根据参数范围即可求出的面积的取值范围． 【详解】（1）设圆的方程为， 因为点在圆上，圆心在直线上， 所以，解得，，， 所以圆的方程为，即． （2）设所求直线方程为，且,即，    由圆心到直线的距离为，所以 由垂径定理有， 由于，且直线与圆交于两点，因此，又，即， 所以， 由于，则，因此， 所以的取值范围为． 21．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆，点，. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)点是圆上的动点，求的最值. 【答案】(1)或 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）分为该直线的斜率不存在和斜率存在时依次求出直线方程即可； （2）利用三角换元求解. 【详解】（1）当过点且与圆相切的直线斜率不存在时，该直线方程为， 当过点且与圆相切的直线斜率存在时， 设其斜率为，则该直线方程为， 因为该直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 即，解得，即； （2）设点，为参数，且， 则 ， 因为，所以， 所以的最大值为，最小值为. 22．（24-25高二上·江苏盐城·期中）如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由. (3)是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值. 【答案】(1)； (2)存在，； (3)22. 【分析】（1）应用点斜式写出直线方程，再应用点线距离和弦长公式求相交弦长； （2）假设存在，当弦被点平分时，点是的中点，根据已知及点斜式写出符合要求的直线方程即可； （3）记点到的距离分别为，有，根据弦长公式有，应用基本不等式求目标式的最大值. 【详解】（1）当时，直线为，故， 由圆的圆心为原点且半径为，则圆心到距离为， 所以. （2）假设存在，当弦被点平分时，点是的中点， 连接，则，故，又，即， 所以直线为，则. （3）记点到的距离分别为，有， 又， ， 当且仅当时等号成立， 综上，的最大值为. 23．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，设出圆的方程，代入点的坐标建立方程组，可得答案. （2）由题意可得直线过顶点，根据弦长公式，可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为， 整理可得标准方程为. （2）由圆的方程，则圆心，半径， 由，即，则直线过定点， 由圆心到定点的距离， 则定点在圆内，易知当时，最短， . 24．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知表示圆的方程. (1)求实数的取值范围； (2)当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程； (3)为圆上任意一点，已知点，在（2）的条件下，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案； （2）圆C的面积最大时，即半径最大，根据二次函数的性质求得的值，再分切线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解； （3）设，，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，根据圆的性质求出的最小值，即可得解． 【详解】（1）圆的方程， 可化为， ∵该方程表示圆，∴，解得， ∴实数m的取值范围为． （2）圆的半径， ∴当时，圆C的半径最大，即圆C的面积取得最大值， 此时圆的方程为，圆心，半径， 当切线斜率不存在时，其方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设其方程为，即， ∵圆心到切线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程，即， 综上，切线的方程为或. （3）设，又，，， 则， 设，则表示圆上的点与点的距离的平方， ∵，则点在圆外， 所以， 则 ∴的最小值为． 题型七 圆锥曲线中弦长（面积）问题（共5小题） 25．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)不过原点的直线与椭圆交于两点，当的面积为 时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线和双曲线的焦点，结合椭圆的几何性质即可求解， （2）联立直线于椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式，即可由面积求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为 双曲线的焦点为 依题意可得，，则， 所以椭圆的方程为； （2）根据题意，设， 联立直线与椭圆方程，可得， 消去并整理可得，， 则，， 由弦长公式可得，， 又点到直线的距离为， 依题意，令， 当且仅当，即或，此时均满足， 的面积取得最大值为,此时直线l的方程为或 即或 26．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知，是椭圆上两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交椭圆C交于P，Q两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，用韦达定理和弦长公式来求解即可. 【详解】（1）已知，是椭圆上两点, 可得，解得：， 所以椭圆C的标准方程为； （2）设过点的直线l的斜率不存在时，直线方程为， 与椭圆相交的交点坐标分别为， 此时交点弦长，不符合题意， 所以设过点的直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 则 ， 整理得：，即， 所以直线l的方程为或. 27．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与相交于不同的两点，若的面积不小于，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据渐近线垂直可得，代入点即可得，即可得方程； （2）设直线的方程为，联立方程利用韦达定理可得面积，根据判别式结合面积关系运算求解即可. 【详解】（1）因为两条渐近线互相垂直，则，即， 又过点，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程消去y可得. 因为直线与双曲线相交于不同的两点， 则，解得， 设，则， 可得， 且原点到直线的距离， 则， 若的面积不小于，即， 整理可得，解得，可得， 综上所述：直线的斜率的取值范围为. 28．（24-25高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）设直线的方程为，，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，然后由可求得值得直线方程． 【详解】（1）因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支， 设实轴长为，焦距为，虚轴长为， ，， 所以的轨迹方程为； （2）设直线的方程为，，， 由化简得， 则，， ，， ， ，，或. ，， ，， 所以的方程为． 29．（24-25高二上·江苏泰州·期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可确定,进而可得抛物线准线方程及焦点坐标； （2）求出过焦点且倾斜角为的直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用抛物线的弦长公式即可求得. 【详解】（1）由题意抛物线可知，则抛物线准线方程为，焦点; （2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为， 联立可得， 设，则, 故. 题型八 圆锥曲线中的垂直关系转化（共5小题） 30．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知椭圆经过点和点 (1)求椭圆的方程与焦距． (2)直线与椭圆N的交点为两点，若，求证：直线过定点． 【答案】(1)，焦距为4 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件求得，，，从而求得椭圆的方程与焦距； （2）设点，，联立直线与椭圆N的方程得，根据韦达定理求得与，由，，化简代入韦达定理式，解得t的值，从而求出定点即可得证. 【详解】（1）由题意可得，解得，，， 故椭圆方程为，焦距为. （2）设点， 联立得． 所以， 因为 所以即： 化简得： ， 方程左边通分后对分子提取公因式可得： ， 进而化简得， 因为，所以得： 所以直线过定点. 31．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据短轴的两个端点坐标，可求的值，再结合离心率公式和，可求的值，从而确定椭圆的标准方程. （2）根据题意，可设直线的方程，与椭圆方程联立，表示出点坐标，再表示出直线、的方程，求出点、坐标，利用可证. 【详解】（1）由题意可得，，，解得， 所以椭圆的方程为：. （2）如图： 设直线的方程为：， 则过原点的直线且与直线平行的直线为， 因为是直线与的交点，所以， 因为直线的方程与椭圆方程联立： ，整理可得：， 可得，， 即，因为， 直线的方程为：， 联立，解得：，由题意可得， 所以，， 所以，即，所以. 32．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，直线l交双曲线于A，B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若动直线l经过双曲线的右焦点，点，求证：以为直径的圆经过点M． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）由已知求出后即可昨双曲线方程； （2）先讨论直线斜率不存在时满足题意，在斜率存在时，设其方程为，设，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，代入，运算后得，即可完成证明． 【详解】（1）由已知，解得， 所以双曲线方程为； （2）由（1）得，， 若直线的斜率不存在，则方程为，，，此时，是中点，由于，因此以为直径的圆经过点M． 若直线的斜率存在，设其方程为，设， 由得， ，在时，该方程有两解， 所以，， ， ， 所以，所以以为直径的圆经过点M． 综上，以为直径的圆经过点M． 33．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的焦点是圆与x轴的一个交点． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据圆的方程求出与轴交点，该交点为抛物线焦点，再根据抛物线焦点坐标公式求出的值，从而得到抛物线方程. （2）设出直线的方程（因为直线过点，可设为点斜式），与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，再通过向量垂直的条件来证明. 【详解】（1）圆与轴的交点，令，则，解得. 因为抛物线的焦点，且焦点是圆与轴的一个交点， 所以，解得. 所以抛物线的方程为. （2）设直线的方程为（存在，当时直线与抛物线也有两个交点）. 将代入，得，即. 设，，由韦达定理得，. 因为，，，. 则. 所以，即.    34．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，已知抛物线C：（）的焦点F，且经过点，． (1)求A点的坐标； (2)直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m即可得的坐标. （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定所过定点，再由易知在以为直径的圆上，即可证结论. 【详解】（1）由抛物线定义知：，则，故， 又在抛物线上，则，可得，故. （2）设，，由（1）知：， 所以，，又，故， 所以， 因为的斜率不为零，故设直线， 联立，整理得，且， 所以，，则，， 综上，， 当时，过定点； 当时，过定点，即共线，不合题意； 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， 而中点为，即为定值，得证. 题型九 圆锥曲线中定点、定值、定直线问题（共5小题） 35．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的焦距为2，直线与交于两点,是上异于的一点设直线，的斜率分别为，，满足. (1)求的方程； (2)点在上，满足，直线，相交于点，求证：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，，，结合点在椭圆上及斜率公式即可求解； （2）设方程为，结合弦长公式，及即可求证. 【详解】（1） 设，∴， ∴ ， ∴，，又，而，∴， ∴C的方程为. （2）设方程为 ∴， ∴ ∴， 因为 所以为三角形的中位线， 所以, 所以， 又与两平行间的距离为： ∴ 为定值. 36．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据对称性，定在椭圆上，然后分别讨论，在椭圆上的情况，从而可求出椭圆方程， （2）设，，：，将问题转化为证明的角平分线为定直线，只要证，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数的关系，代入上式化简即可得结论. 【详解】（1）根据对称性，定在椭圆上， 若也在椭圆上，则，方程组无解， 所以为椭圆上第三个点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）由（1）得：，，设，，：． 要证明内切圆的圆心在定直线上，由对称性和内心的定义，即证明的角平分线为定直线， 即证，即，即证， 只要证， 由，得， ，得， 所以 所以成立， 即得证， 即内切圆的圆心在定直线上． 37．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设有，即可得抛物线方程； （2）讨论斜率存在性，并设联立抛物线，利用求参数，即可得直线方程； （3）令为，，联立抛物线并应用韦达定理化简，即可证. 【详解】（1）由题设知， 则； （2）由题意，直线的斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，但不相切， 令，联立抛物线得， 所以，则或， 所以直线为或. （3）由题意，斜率一定存在，令为，， 联立抛物线得，显然，所以，， 而，， 所以， 所以为定值． 38．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知曲线，点. (1)当时，若直线过点且与曲线的右支交于M，N两点，记曲线的左、右顶点分别为，直线的斜率分别为，证明：为定值. (2)当时，不经过坐标原点且斜率为1的直线与曲线交于P，Q两点，直线PB与曲线的另一个交点为，直线QB与曲线的另一个交点为，其中G，H均不为曲线的顶点，证明：直线GH过定点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线过定点设出直线，联立，分别求出斜率，最后得到斜率的比值即可. （2）设直线的方程为，，，表示直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元求出，即可求出点坐标，同理得到点坐标，根据的斜率为得到，即可求出直线过定点坐标. 【详解】（1）根据题意曲线的方程为.易知，. 设，，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，消去x可得， ，且 又因为直线与的右支交于M，N两点，所以 所以 ， 即为定值. （2）根据题意，曲线方程， 由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 则，直线的方程为， 将其代入得，，显然， 则，所以， 将代入直线的方程，解得， 所以，同理得， 所以，得， 即， 整理得，所以， 因此直线的方程为，令，即，则， 所以直线过定点.    【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 39．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，且定值为 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【详解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．   题型十 圆锥曲线中向量问题(共3小题） 40．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得方程； （2）设直线，，根据向量可得，结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）由题意可知：的圆心为，半径为4，且，    则， 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，则， 所以的方程为. （2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，    设直线，，则， 联立方程，消去x可得， 则， 又因为， 若，则，即， 可得，解得， 所以的方程为，即. 41．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为4. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率的定义、椭圆的性质结合题意求出即可； （2）联立直曲方程，解出坐标，再由向量的数量积求出即可； 【详解】（1）由题意， 所以方程为：. （2）联立， 解得或， 所以， 所以. 42．（22-23高二上·江苏连云港·期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由点在双曲线上得到，再由，的斜率之积为得到，从而得到，由此可求得双曲线的离心率； （2）先由条件求得双线曲方程，再联立直线与双曲线得到，又由得到，从而求得值，由此可得直线的方程. 【详解】（1）因为是双曲线E上一点， 可得，即为， 由题意可得，， 可得，即有. （2）由题意可得，，则双曲线的方程为， 易知直线斜率存在，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，可得， 设，则，，① 又，可得，② 由①②可得， ， 代入①可得，解得， 则直线l的方程为. 1．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据图像观察可得直线斜率的取值范围. 【详解】因为直线经过点，且不经过第三象限 所以， 又， 所以. 故选：D. 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得直线斜率，即可得所求直线斜率，即可得答案. 【详解】，因与所求直线垂直， 则所求直线斜率为，又过点，则直线方程为：. 故选：B 3．（23-24高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆相交建立不等式求解. 【详解】由圆的方程可知，，， 所以根据两圆相交可得，即或， 故选：C 4．（23-24高二上·江苏徐州·期中）圆心为，且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆与直线相切可求得r的值，进而可求得圆的方程. 【详解】由题意知，， 所以所求圆的方程为. 故选：B. 5．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点是双曲线：的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，的面积为20，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，代入计算，即可得到，再代入双曲线方程即可得到结果. 【详解】   因为双曲线：，则有，不妨设，， 由的面积为20，可得，其中，则， 将代入双曲线方程，可得. 故选：D 6．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线以及实轴的概念求解. 【详解】双曲线C 的一条渐近线方程为， 焦点到直线的距离为， 又因为实轴长为，所以， 所以C的方程为， 故选：D. 7．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的焦距为，则C的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的性质根据焦距求得，从而可得渐近线方程． 【详解】因为双曲线的焦距为，所以， 则，解得，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 8．（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】先根据椭圆的标准方程，判断出和是椭圆的两个焦点及，，的值，再根据椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值可得结论. 【详解】因为椭圆的标准方程为：，所以该椭圆的交点在轴上，且，， 所以，所以焦点坐标为：和. 因为表示点到两点和的距离之和； 根据椭圆的定义，所以. 故选：A. 9．（23-24高二上·江苏盐城·期中）与圆以及圆都外切的动圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．不含端点的一条射线 D．圆 【答案】C 【分析】利用圆的位置关系计算即可. 【详解】易知圆的圆心，半径， 圆的圆心为，半径为， 易知，所以上述两圆相内切，切点为， 故若有动圆与上述两圆均外切，则切点必为，则三点共线， 不妨设该动圆圆心为，半径为， 则有，且或， 当时，上式化为恒成立， 当时，上式化为，恒不成立， 综上为动圆圆心的轨迹. 故选：C 10．（23-24高二上·江苏苏州·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方程得到直线恒过定点，根据曲线的方程曲线表示半圆，然后结合图形求的范围即可. 【详解】直线恒过定点， 曲线的方程可整理为，， 所以曲线表示以为圆心，半径为1的半圆，图象如下所示： ，为两种临界情况，由题意得，则， 令圆心到直线的距离，解得，则， 所以当时，直线与曲线有两个不同的交点. 故选：A. 11．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】AC 【分析】根据题意画出示意图，进而求解结论． 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为；    如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为，    如图：根据直线的对称性可得：； 故选：AC． 12．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，，，为抛物线上的任意三点(异于点)，，则下列说法正确的有（    ） A．设，到直线的距离分别为，，则 B． C．若，则 D．若直线，，的斜率分别为，，，则 【答案】BCD 【分析】根据抛物线得定义可判断；根据三角形重心公式以及抛物线定义可判断；根据重心相关性质即可判断；根据题意求得直线,,的斜率，代入等式计算可判断. 【详解】对于，抛物线方程为，所以抛物线得准线为， 所以，到直线的距离之和， 因为三点不一定共线，所以， 即，故错误； 对于，因为为抛物线上任意三点，且， 所以为的重心，，所以， 所以，故正确； 对于，延长交于点， 因为为的重心，所以，且是的中点， 因为，在中，有，所以，故正确； 对于，因为， 两式相减,得：, 所以,, 同理可得,,, 所以，故正确. 故选：. 13．（23-24高二上·江苏连云港·期中）写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】 由题设，设圆心为，则半径，讨论所求圆与圆外切、内切，分别求出对应m即可得结果. 【详解】设圆心为，则半径， 假设与圆外切，则， 所以，故，则， 若，则，则圆心为，半径为，故； 若，则，不满足前提； 假设与圆内切，又与的距离为， 此时，圆内切于所求圆，则， 所以，故，则， 若，则，则圆心为，半径为，故； 若，则，不满足前提； 综上，或.    故答案为：（答案不唯一） 14．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知双曲线（，），分别为双曲线的左、右顶点及右焦点，点为双曲线右支上异于的动点，过作直线的垂线交与点，设点的横坐标为，则当最大时，双曲线的离心率为 . 【答案】2 【分析】分别求得A，B和F的坐标，设直线的方程为 ，与双曲线的方程联立，求得P的坐标，求得过F垂直于的直线方程，求得直线BP的方程，求出点纵坐标，可得t关于a,b的式子，再由换元法和二次函数的最值求法，可得所求最大值，进而可得离心率. 【详解】由已知， 直线的斜率明显存在且不为，设直线的方程为， 联立，消去得， 则，得，， 又过与直线的垂线的直线方程为， 直线的方程为， 联立得， 则， 令，， 则 当，即时，取最大值 此时离心率. 故答案为：. 15．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点，，. (1)若直线过顶点，且顶点A，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线.求的欧拉线方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意可设直线，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）根据外心在的中垂线为可设，及到顶点距离相等列方程可得，结合重心求直线方程. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，显然不合题意，可设直线，即， 由题意可得：， 整理得，解得或， 所以直线的方程或. （2）因为的中垂线为，可设的外心， 又因为，可得， 则，解得，即， 由题意可知：的重心，则欧拉线的斜率为， 故的欧拉线的方程为，即. 16．（24-25高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点，． (1)若直线过点，与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (2)圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，点有2个，理由见解析 【分析】（1）利用分类讨论的思想，根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解； （2）假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满足，根据两圆的位置关系即可得出结果． 【详解】（1）圆可化为，圆心为，， 若的斜率不存在时，，此时符合要求． 当的斜率存在时，设的斜率为，则令， 因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离， ， 直线的方程为， 所以直线的方程为或． （2）假设圆上存在点，设， 则，， 即，即，其圆心坐标为，半径为， 因为圆圆心为，，则圆心距为， 则， 与相交，则点有两个． 17．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆，点. (1)过的直线截所得的弦长为，求的方程； (2)经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程. 【答案】(1)或者. (2) 【分析】（1）由弦长得到圆心到直线的距离为1，即可求解； （2）求得圆，再结合四点在以为直径的圆上，即可求解. 【详解】（1） 易知知直线斜率存在，设的方程为：， 因为截圆所得的弦长为，所以到的距离为， 所以，解得或者， 所以的方程为或者. （2）因为圆经过点和，所以设，又圆与圆外切于点， 所以，，与点共线，则，得， 则圆半径为，圆方程为，           又，与圆相切，所以四点在以为直径的圆上， 圆的方程为，即，   直线为圆与圆的公共点所在的直线，则由， 两式相减得直线的方程为. 18．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. (1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点 【分析】（1）设的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式即可求解； （2）设，直线和直线的斜率分别为，结合韦达定理得到由其为定值即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，直线的方程可设为， 代入整理得， 设，则， 所以，， 因为线段中点的横坐标为2，所以①， 因为线段的长为6，所以②， 由①②解得， 所以抛物线的方程为. （2） 设，直线和直线的斜率分别为， 则 若为定值，由的任意性知，即，此时为原点， 所以存在定点，使得直线和直线的斜率之积为定值. 19．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离公式求出即可； （2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到的距离，利用三角形的面积公式建立等式求出，即可求出直线的方程． 【详解】（1）∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，即， ∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为， ∴，即， 又，则，解得， 所以双曲线的方程为． （2）由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设， 由得， 由题意得，解得， 因为， 所以， 又点O到直线的距离， 所以的面积， 则，即，解得或， 又因为，所以， 所以直线的方程为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $