专题04 双曲线（期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题04 双曲线 题型1 双曲线定义理解 题型9 双曲线离心率最值，范围（重点）（难点） 题型2 利用双曲线定义求方程（常考点） 题型3 双曲线中和、差最值问题（重点） 题型4判断方程是否表示双曲线（常考点） 题型5 求双曲线的方程（常考点） 题型6 双曲线焦点三角形问题（重点） 题型7 双曲线渐近线问题（难点） 题型8双曲线离心率（定值）（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 双曲线定义理解（共3小题） 1．与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【分析】由题意可以得到，结合双曲线的定义即可得解. 【详解】由题意设圆：的圆心、半径分别为， 设圆：的圆心、半径分别为， 不妨设满足题意的动圆圆心、半径分别为， 则由题意有， 故满足题意的动圆圆心轨迹是以为焦点，长轴长为的双曲线的一支（左支）. 故选：C. 2．与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】先判断两圆外离，根据圆M与圆及圆都外切，可得，再根据双曲线的定义可得答案. 【详解】设所求圆的半径为，圆心为， 圆的圆心，半径， 圆化为标准方程得，则圆心，半径， 因为，所以两圆相离， 因为圆M与圆及圆都外切 所以，两式相减得， 所以圆心在双曲线的一支上. 故选：D. 3．在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的定义一一判断即可. 【详解】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误； 设，由，所以， 整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误； 由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误； 由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确. 故选：D 题型二 利用双曲线定义求方程（共3小题） 4．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 5．在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义待定系数法求解即可，由于是双曲线的一支，注意横坐标的范围. 【详解】由题，点M的轨迹是为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 故可设C的方程为， 由题：，解得：, 故C的方程为. 故答案为：． 6．已知圆，圆，动圆与、都外切.求圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】设圆的半径为，根据圆与圆的位置关系得出，，可得出，则点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右支，求出、、的值，即可得出其轨迹方程. 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆、圆都外切， 则，， 所以，， 所以，点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右支， 设双曲线的标准方程为，则， 可得，，则， 所以，， 所以，圆心的轨迹方程为. 题型三 双曲线中和、差最值问题 （共4小题） 7．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 8．已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（    ） A． B．2 C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可求解. 【详解】直线与联立得两交点的坐标为、，这两点间的距离为， 所以函数的图像绕原点顺时针旋转得到双曲线方程为，由双曲线定义得. 故选：A． 9．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【详解】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9.    故答案为：. 10．若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的方程可得右焦点，根据双曲线定义可知，即可得解. 【详解】 如图所示， 由双曲线方程， 可知双曲线的右焦点为， 则由双曲线定义可知，即， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又， 即， 故答案为：. 题型四 根据方程表示双曲线求参数 （共4小题） 11．设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 12．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质，根据题意建立不等式进行求解即可． 【详解】因为方程表示双曲线 ，所以即 故选：A． 13．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线标准方程的特征列出关于的不等式，解不等式可得结果. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 故选：C. 14．已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案. 【详解】又题意可知，，解得， 故的取值范围是． 故答案为： 题型五 求双曲线的方程（共5小题） 15．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 16．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 17．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，设双曲线方程，代入点求出参数即可. 【详解】可化为，其焦点为和， 所以双曲线焦点为和，即， 故设双曲线方程为， 因其过点，代入可得，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为. 故答案为:. 18．已知双曲线过点两点，求双曲线标准方程. 【答案】 【分析】先设双曲线方程为，将点代入双曲线方程求出m，n即可得解. 【详解】设双曲线方程为， 则由题得， 所以双曲线标准方程为. 19．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数即可． （2）结合已知双曲线，设出所求双曲线方程，代入点的坐标，计算参数，即可求出答案． 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为 题型六 双曲线焦点三角形问题（共5小题） 20．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程，得到，结合条件，利用双曲线的定义，得，再由余弦定理，即可求解. 【详解】由题易知，又，又，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 故选：C. 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长，而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故选：C 22．设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】根据双曲线定义可得，进而得，即可利用面积公式求解. 【详解】由可得，故， 又，故,即， 故的面积为， 故选:D 23．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是 . 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得， 由，，解得或， 当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求， 因此，，为直角三角形， 所以的面积是. 故答案为：6 24．已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理求出三角形周长. 【详解】双曲线的实半轴长，焦点，， 由点在双曲线上，得，由，得， ， 因此，所以的周长是. 故答案为： 题型七 双曲线渐近线问题（共4小题） 25．已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 26．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据焦点坐标和渐近线方程列出方程组，求出即可得解. 【详解】由题意设双曲线的方程为，则， 解得，故所求实轴长为. 故选：B . 27．已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线定义可得，从而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线定义可知，所以，即， 所以双曲线C：，则渐近线方程为. 故选：B． 28．若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由3型双曲线定义可知双曲线的方程为，且，求得，即可求出渐近线方程. 【详解】由新概念可知，的3型双曲线的方程为，且， 所以，即，则， 所以的3型双曲线的渐近线为. 故选：D. 题型八 双曲线离心率（定值）（共4小题） 29．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，可设，，，结合已知夹角及向量夹角的坐标表示列方程得，进而求离心率. 【详解】由题设，渐近线为，联立圆得，可得， 不妨令，，则，又， 所以，可得， 所以，则，故离心率.    故选：C 30．已知直线与焦点在轴上的双曲线的其中一条渐近线垂直，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直得到双曲线的一条渐近线斜率为，故，从而求出离心率. 【详解】直线的斜率为， 由两直线垂直可得双曲线的其中一条渐近线斜率， 即焦点在轴上的双曲线中， 故的离心率． 故选：D． 31．已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论. 【详解】因为直线为双曲线的一条渐近线， 所以， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以点到直线的距离， 因为与圆交于两点（为坐标原点），所以， 因为的面积为，所以， 所以，又， 所以或， 若，则点到直线的距离， 所以，所以，所以， 所以， 此时双曲线的离心率， 若，则点到直线的距离， 所以，所以， 所以，与矛盾，舍去， 所以双曲线的离心率， 故选：C    32．已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为 ． 【答案】 【分析】作出图形，计算出的大小，可得出，利用余弦定理求出，然后利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可解得该双曲线离心率的值. 【详解】如下图所示： 设，由题意可得，， 则，且，所以，， 因为，则， 由余弦定理可得， 所以，，由双曲线的定义可得， 即，故该双曲线的离心率为. 故答案为： 题型九 双曲线离心率最值，范围 （共4小题） 33．已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，设，可得点，再代入双曲线方程并整理求得，进而求出离心率范围. 【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得， 设，则，即点， 因此，整理得，由，得，则， 于是，解得，即，则的离心率， 所以的离心率的取值范围为. 故选：A 34．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用建立不等式即可求得双曲线的离心率范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得， 即，于是，而， 所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为： 35．为双曲线的左、右焦点，过的直线与的两支分别交于，若为等腰直角三角形，则的离心率可能为 ．（写出一个值即可） 【答案】或或 【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，再利用勾股定理或余弦到了可求得关系，从而可求得双曲线的离心率． 【详解】不妨令，，，    由双曲线的定义得：，， 所以，， 由可得：，即； 在等腰中， ①若， 则，解得， 在中，， 又， 则，整理得， 则的离心率为； ②若， 则，解得， 在中，， 又， 则，整理得， 则的离心率为； ③若， 则，解得， 在中，，， 由余弦定理可得， 则，整理得， 则的离心率为； 综上，的离心率为或或. 故答案为：或或. 36．已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限，由题意可得，分，两种情况，结合余弦定理可得的关系式求得的离心率的取值范围. 【详解】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限， 因为关于原点对称的两点均在上，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，所以， 又，所以， 因为是钝角三角形，所以或为钝角， 若是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 当是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 所以的离心率的取值范围为. $专题04 双曲线 题型1 双曲线定义理解 题型9 双曲线离心率最值，范围（重点）（难点） 题型2 利用双曲线定义求方程（常考点） 题型3 双曲线中和、差最值问题（重点） 题型4判断方程是否表示双曲线（常考点） 题型5 求双曲线的方程（常考点） 题型6 双曲线焦点三角形问题（重点） 题型7 双曲线渐近线问题（难点） 题型8双曲线离心率（定值）（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 双曲线定义理解（共3小题） 1．与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 2．与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支 3．在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 题型二 利用双曲线定义求方程（共3小题） 4．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 6．已知圆，圆，动圆与、都外切.求圆心的轨迹方程. 题型三 双曲线中和、差最值问题 （共4小题） 7．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 8．已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（    ） A． B．2 C． D．不确定 9．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 10．若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 题型四 根据方程表示双曲线求参数 （共4小题） 11．设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 13．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 14．已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 题型五 求双曲线的方程（共5小题） 15．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 16．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 17．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 18．已知双曲线过点两点，求双曲线标准方程. 19．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 题型六 双曲线焦点三角形问题（共5小题） 20．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 22．设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 23．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是 . 24．已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 题型七 双曲线渐近线问题（共4小题） 25．已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 26．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 27．已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 28．若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 题型八 双曲线离心率（定值）（共4小题） 29．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 30．已知直线与焦点在轴上的双曲线的其中一条渐近线垂直，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 31．已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．   32．已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为 ． 题型九 双曲线离心率最值，范围 （共4小题） 33．已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） 34．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 35．为双曲线的左、右焦点，过的直线与的两支分别交于，若为等腰直角三角形，则的离心率可能为 ．（写出一个值即可） 36．已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． $