专题08 期中真题百练通关压轴76 题22 类考点专练（期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题05 期中真题百练通关（76题大压轴题） 选填小压轴 题型1 直线与线段相交关系求斜率取值范围 题型7 椭圆离心率 题型2 直线中的对称问题 题型8 双曲线离心率 题型3 圆中距离最值问题 题型9 抛物线性质 题型4 直线与圆的位置关系 题型10 直线与圆锥曲线位置关系 题型5 圆与圆的位置关系 题型11 圆锥曲线中参数最值范围问题 题型6 椭圆中焦点三角形 解答题压轴 题型1 圆的综合性质 题型7 双曲线中的参数范围、最值问题 题型2 椭圆中面积问题 题型8 双曲线中的定点、定值、定直线问题 题型3 椭圆中的参数范围、最值问题 题型9 抛物线中面积问题 题型4 椭圆中的定点、定值、定直线问题 题型10抛物线中的参数范围、最值问题 题型5 椭圆中的向量问题 题型11抛物线中的定点、定值、定直线问题 题型6 双曲线中的面积问题 选填小压轴 题型一 直线与线段相交关系求斜率取值范围（共2小题） 1．（多选）（24-25高二上·江苏南京·期中）直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 【答案】ABD 【分析】分别计算出直线过点,时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】已知，，根据直线斜率公式，可得. 已知，，根据直线斜率公式，可得. 根据题意，直线与线段有交点，则. 故选：ABD. 2．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合，观察倾斜角的变化情况确定斜率的变化情况. 【详解】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 题型二 直线中的对称问题（共3小题） 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对称可知直线，且中点在上，设点坐标，可得方程组，解方程组即可. 【详解】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得， 即， 故选：B. 4．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据目标式的几何意义，将问题转化为动点到定点和的距离之和的最小值问题，然后求出点A关于的对称点为，结合图形可解. 【详解】因为， 所以，目标式表示动点到定点和的距离之和. 点在直线上， 设点A关于的对称点为， 则，解得， 由对称性可知，， 当三点共线时等号成立， 所以，的最小值为. 故选：C 5．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案. 【详解】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型三 圆中距离最值问题（共3小题） 6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为 ，若点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，根据条件得到，化简即可求解；根据题设得到，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】设，因为，且， 则，整理得到，即， 所以点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为. 因为，又，，所以， 故答案为：，. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用，从而有，即可求解. 7．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面向量共线向量定理的推论可得，再建立平面直角坐标系，求出点到边的距离的最大值，利用倍分法求出面积最大值. 【详解】在中，D是AB的中点，E在边AC上，， ，令， 则，又点共线，于是，解得， 则，的面积， 由，得，以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 点，设，则， 整理得，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除圆与轴的交点外）， 则点到边的距离的最大值为， 所以的面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用平面向量求得，再借助阿氏圆求出最大距离是解题的关键. 8．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知点A，B为圆上两动点，且，点P为直线上动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用向量运算转化，结合直线和圆的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】设的中点为，则，且， ，所以点在以为圆心，半径为的圆上. ， 要求的最小值，则需求的最小值， 到直线的距离为， 所以的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 题型四 直线与圆的位置关系（共5小题） 9．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点，以为圆心，FO（O为坐标原点）为半径作圆F.直线与圆交于M，N两点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，若为正三角形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆的方程为，则，由为正三角形可知点到直线的距离与半径的比是3：2，建立与等量关系，再利用基本不等式求得最小值. 【详解】设圆的方程为，其中 则, 设原点到直线的距离为， ∵为正三角形，∴，且 ， 则 设， 即，， 由，得， 所以，当且仅当时等号成立； 所以的最小值为.    故选：D. 10．（24-25高二上·江苏扬州·期中）若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知得圆的圆心及半径，由条件，根据图形结合直线与圆相切性质得，可知点在以为圆心，为半径的圆上，结合题意将点的存在问题转化为直线与圆有公共点来解决，再由圆心到直线的距离与半径关系得出不等式，求解即可. 【详解】圆，圆心，半径， 如图，连接，由，结合切线的性质可得， ，，又， 则平面四边形既是矩形，又是菱形，即为正方形. 所以，即点在以为圆心，为半径的圆上. 所在圆的方程为， 由题意若直线上存在点，满足， 则直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离 ， 即，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：． 11．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线与圆交于A，B两点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而得到圆心到直线的距离小于等于，得到的范围，即可得到结果. 【详解】直线可化为，直线过点， 因为，所以点在圆内，且. 如图，过点作于点，则， 设，则， 在中，，故，，， 所以的面积为，面积最大值为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，给定两点，点P在x轴的正半轴上，当最大时，点P横坐标为 . 【答案】3 【分析】分析得到为弦所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，最大，设出圆心坐标为，当圆和轴相切时，取得最大值，设出圆的方程，将点代入圆的方程，求出，得到答案. 【详解】过点三点的圆的圆心在线段的中垂线上， 其中，的中点坐标为， 故的中垂线方程为，即， 其中为弦所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，最大， 设圆心坐标为， 又点在轴正半轴上移动，当圆和轴相切时，取得最大值， 设切点为，圆的半径为， 所以圆的方程为， 将点代入圆的方程，得， 解得或-5（舍去）， 所以P横坐标为3.    故答案为：3 【点睛】关键点点睛：当过点三点的圆与轴相切时，取得最大值，且圆心在线段的中垂线上，设出圆心和半径，表达出圆的方程，待定系数法进行求解. 13．（24-25高二上·江苏无锡·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，则与有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，得到不等式，求出的最小值为；变形得到式子几何意义为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】设，故，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标， 且直线与有公共点， 其中是圆心为，半径为的圆， 故，解得， 故的最小值为； ， 可以看作上的点到直线的距离 与它到点的距离比值的2倍， 圆心到的距离为， 故直线与相交，且圆心在直线上方， 过点作⊥直线于点， 则，故， 当过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时， 此时取得最大值， 故取到最大值， 设直线为， 联立与得 ， 由得， 结合图形可知， 将代入中得， 解得， 将代入中得，故切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：变形得到，转化为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，进一步转化为，数形结合得到最值 题型五 圆与圆的位置关系（共4小题） 14．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，的最大值为. 故选：B. 15．（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为1 C．切线长的最小值为1 D．直线恒过定点 【答案】BCD 【分析】对于A，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；对于B，由圆的性质，切线长，当最小时，有最小值，即可求解；对于C，四边形的面积为，即可求解；对于D，由题可知在以为直径的圆上，利用两圆方程求得直线的方程，即可求解. 【详解】对于A，因为圆，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为， 而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误； 对于C，由圆的性质，切线长， 当最小时，有最小值，此时，即， 则，故C正确； 对于B，四边形的面积为：， 因为，故四边形的面积为1，故B正确； 对于D，设，因为为过点作圆的切线， 所以，则在以为直径的圆上，又， ，即， 又圆，即， 上述两式相减，得直线的方程为，即， 由，得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BCD. 16．（24-25高二上·江苏无锡·期中）“晚旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月（如图阴影部分）．已知圆，，其中．为圆与圆的交点，若弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧，则组成“晚旁”的两段弧长之比为 ．（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1．）    【答案】 【分析】根据两圆的一般方程可得两圆圆心及其半径，再根据公共弦所在直线方程以及弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧可得，易知为圆的直径，再由弧长公式计算即可得出结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径； 圆圆心为，半径； 两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程为， 由弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧可知， 因此圆心到直线的距离为， 即，又，解得或（舍），即； 此时在弦方程上，所以为圆的直径； 易知，； 所以截得的圆的弧长为，截得的圆的弧长为； 此时组成“晚旁”的两段弧长之比为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧计算得出，得出两圆圆心坐标及其半径，由弧长公式即可得出组成“晚旁”的两段弧长之比. 17．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则 ；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是 ． 【答案】 /4.8 【分析】由条件确定圆O，圆N的圆心坐标和半径，由此发现，根据等面积法求，联立两圆方程，求出A的坐标，设直线的方程，由结合弦长公式求直线的斜率. 【详解】 根据题意，圆：，圆心，半径为3， 圆，圆心，半径为4， 则，，，易知， 根据等面积法可得； 联立两个圆方程，得， 在第二象限，可得，易知直线的斜率存在， 设直线的方程是，即， 因为， 所以， 解得：. 故答案为：；. 题型六 椭圆中焦点三角形（共5小题） 18．（24-25高二上·江苏淮安·期中）若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于两点，设的内切圆的半径为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称性确定的周长，再由弦长公式，点到线的距离公式求得面积，即可求出内切圆半径即可求解. 【详解】 由椭圆方程，可得， 即，所以为等边三角形， ， 由题意可知：，即直线l为的角平分线，倾斜角为， 则点关于直线l对称，而 的周长为，所以的周长为， 因为直线l的方程为，椭圆方程为， 设， 联立方程，消去x得， 则，可得， 则， 点直线l的距离为， 所以的面积为， 所以，解得：， 所以， 故选：C 5．（多选）（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知椭圆，A，B为左右两个顶点，，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（    ）． A． B．的范围是 C．若直线l过点与椭圆交于M，N，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据斜率公式即可化简求解A； 根据椭圆定义，结合二次函数的性质即可求解B； 根据点到直线的距离公式即可求解C； 根据向量的模长公式，结合余弦定理即可求解D. 【详解】对于A，设，则， 故A正确， 对于B，由于又，即， 所以， 故当时，取最大值9，当或时，取最小值6，故B错误， 对于C，设方程为，所以，其中为到直线的距离，故C正确， 对于D，由余弦定理可得, 因此， 又， ，故， 故选：ACD 19．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义式，三角形的周长，以及三角形的周长与三角形的内切圆半径的关系，正余弦定理，即可依次得出答案. 【详解】由题意知，，，则，. 对于A选项，因为，解得，又， 则，，故A错误； 对于B选项，的周长为，故B正确； 对于C选项，设的内切圆的半径， 则， 又，， 解得，故C正确； 对于D选项，在中， 由， 解得， 又， 即， 整理得：， 即， 即， 又， 解得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理知： ，即，解得，故D正确. 故选：BCD. 20．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】求出椭圆方程，利用动点的位置变化，研究的取值范围判断A；根据椭圆的几何性质及余弦定理求解判断B；分类讨论，借助方程组求动点坐标判断C；利用三角形不等式求解判断D. 【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，得， 将代入，则，解得，不妨令，， 由，则，即，将其代入，可得， 化简得，由，解得，则椭圆， 对于A，当点为椭圆的上（或下）顶点时，最大，如图： 由椭圆，则，，在中，， 由对称性得，因此的取值范围为，A正确； 对于B，如图： 设，，则，， 在中，由余弦定理得，即，整理得， 因此，B错误； 对于C，设，，则，， 当时，为等腰三角形，此时的坐标为或， 当时，为等腰三角形，此时，设， 则，消去得， 由，则方程有解，C错误； 对于D，显然，当且仅当点为椭圆长轴端点时取等号， 因此，D正确. 故选：AD 21．（多选）（22-23高二上·江苏常州·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（    ） A．当时， B．的取值范围为 C．的面积的最大值为 D．椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形 【答案】BCD 【分析】利用余弦定理和椭圆定义可求得，进而得到的面积，即可判断A；设点，利用平面向量的数量积求得，结合的范围，即可判断B；当点为椭圆的短轴顶点时，面积的最大，求出最大面积即可判断C；验证讨论的三个内角是否为直角的情况，即可判断D． 【详解】在椭圆中，，且， 对于A，在中，由余弦定理可得， 即①， 又，即② 由②－①解得8， ∴的面积为，故A错误； 对于B，设点，则， ， ， ∵，，∴， ∴的取值范围为，故B正确； 对于C，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，当点位于椭圆的上、下顶点时，，，则，所以不可能为直角； 当时，，此时点位于第二或第三象限，有2个直角三角形； 当时，，此时点位于第一或第四象限，有2个直角三角形． 所以椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确． 故选：BCD． 题型七 椭圆离心率（共4小题） 22．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，代入椭圆方程，相减后得到，结合及直线斜率为，求出离心率的范围即可. 【详解】设， 则，则，故， 因为线段的中点为 所以， 故， 又，则，即， 因为，即， 故椭圆的离心率， 故椭圆离心率范围为. 故选：D. 23．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于第一象限的点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出，作轴，利用三角形相似求出点坐标，代入椭圆方程，即可得的关系，即可求得椭圆离心率. 【详解】由题意知点是椭圆上位于第一象限的点，且与轴平行， 故轴，将代入得， 则，即，即， 作轴，垂足为E，设，    则，故∽， 由可得， 故，则； ，则, 将Q点坐标代入得， 结合得， 故选：D 24．（23-24高二上·江苏淮安·期中）如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，直线且在第一象限交椭圆于点，设与的交点为，若，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程求出点的坐标，再由向量共线的坐标表示可得点的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值. 【详解】设椭圆的右顶点，上顶点， 则，且直线为， 由可得，所以直线为， 联立，解得，即， 因为，所以， 将代入椭圆方程化简得， 即，所以或（舍去）， 所以，即，所以离心率. 故选：B. 25．（23-24高二上·江苏无锡·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】写出直线方程并与椭圆方程联立，利用弦长公式可得，整理即可得，代入离心率公式即可得. 【详解】易知左焦点，直线的斜率为， 所以直线方程为，设 联立直线与椭圆方程，消去可得； 可得， 由可得， 即，所以， 故离心率. 故答案为： 题型八 双曲线离心率（共5小题） 26．（24-25高二上·江苏南通·期中）在直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，，是双曲线的两个焦点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据焦半径公式分别求出，，再由题意化简计算可得. 【详解】不妨设双曲线方程为，设，则， 由焦半径公式可知，，其中为双曲线的离心率. 易知，则由，有， 可得，即， 则， 故双曲线C的离心率. 故选：B 27．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，根据渐近线和中位线可知，即可得离心率. 【详解】由题意可知：， 设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 则点到直线的距离， 可得， 又因为分别为的中点，则， 即，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 28．（24-25高二上·江苏徐州·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，点P是其右支上一点．若，，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量法得：，然后结合双曲线定义：和余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则， 即， 所以，解得， 所以，故， 由，解得， 所以，故C项正确. 故选：C. 29．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知抛物线，点为抛物线的焦点，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上，中，，当取最小值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知，根据抛物线定义以及正弦定理可知当直线与抛物线相切时，满足题意；再由直线与抛物线的位置关系可得或，由椭圆定义求得，计算可得离心率. 【详解】由抛物线可知， 作垂直于抛物线的准线，垂足为，连接，如下图所示：    在中，由利用正弦定理可得； 由以及抛物线定义可得， 当取最小值时可知最大，易知直线与抛物线相切时，满足题意， 设直线的方程为， 联立，整理可得， 易知，解得， 由对称性可得或； 又点恰好在以为焦点的椭圆上，由椭圆定义可得， 可得，又， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 30．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】先根据正弦定理结合双曲线定义求得，然后根据相切对应的垂直关系结合勾股定理得到关于的方程，则离心率可求. 【详解】在中，由正弦定理得，且， 由，得， 由，得为的中点，则， 又以为圆心的圆与的延长线相切于点，则， ，由， 得，则，所以双曲线的离心率. 故答案为： 31．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，过的右焦点且斜率为1的直线交于两点，且原点到直线的距离等于的虚轴长，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意设出双曲线方程以及右焦点，利用右焦点与斜率表示出直线方程，结合点到直线距离公式建立方程，可得答案. 【详解】由题意设双曲线的方程为，，右焦点坐标为， 则直线的方程为，原点到直线的距离为，可得， 离心率， 故答案为：. 题型九 抛物线性质（共 4小题） 32．（多选）（24-25高二上·江苏徐州·期中）抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（    ） A．与圆相切 B．当时， C．的最小值为 D．满足的点有且仅有2个 【答案】AD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，根据先算出的坐标，再借助切线的性质计算即可得；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，最小，计算即可得；D选项，直接设点坐标进行求解即可得. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 圆的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和圆相切，A选项正确； B选项，当时，，此时，故或， 当时，，则； 当时，，； 故或，B选项错误； C选项，， 当且仅当三点共线时，等号成立，故 的最小值为，C选项错误； D选项， 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：AD. 33．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为 ，此抛物线的顶点坐标为 . 【答案】 【分析】由已知变形得，由抛物线定义可求，进而可得焦点为，进而求得抛物线的对称轴与准线交点可求抛物线的顶点坐标. 【详解】由，可得， 所以，所以， 方程表示到点的距离与直线的距离之比为常数， 若方程表示的曲线是抛物线，则，解得， 为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线， 过与直线垂直的直线方程为， 由，解得，所以抛物线的准线与对称轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点是焦点与的中点， 所以抛物线的顶点坐标为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：关键是把方程变形为，利用抛物线的定义可求，考查抛物线的定义的应用，难度较大. 34．（24-25高二上·江苏常州·期中）过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 【答案】 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 题型十 直线与圆锥曲线位置关系（共5小题） 35．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知F、为椭圆C：的左、右焦点，直线l：（）与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（   ） A．四边形周长为8 B．的最小值为 C．直线BE的斜率为2k D． 【答案】ABD 【分析】由椭圆的定义判断A，结合基本不等式求得最小值判断B，设，得出坐标，求出斜率判断C，由直线与椭圆相交求得点坐标后根据斜率即可判断D． 【详解】由已知，，A正确； ， 则， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 设，则，，， 则，C错； 直线方程为， 由，消去得， 显然是此方程的一个解，则， ， 因此， ，，所以与垂直，D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题，常常设交点坐标为，设直线方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得，如果直线方程是以直线与椭圆相交的一个点为基础得出的方程，那么该点的坐标（横坐标或纵坐标）就是相应一元二次方程的一个解，从而利用韦达定理易求得另一解． 36．（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的焦距为4，，为左右焦点，A，B，D为双曲线上不同的三点，其中A，B两点关于原点对称，直线DA与DB斜率的乘积为1，则下列说法正确的是（    ） A．若过点F2的直线l与C的右半支交于两点，则直线l的倾斜角的取值范围为 B．若P为双曲线C上一点，且，则 C．若N为双曲线C上任意一点，则 D．若M为双曲线右支上一点，延长MF2交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为，，则 【答案】ACD 【分析】根据和焦距可求得双曲线的方程；根据直线与双曲线交点情况可确定其斜率与渐近线斜率之间的关系，由斜率和倾斜角的关系可判断A；结合双曲线定义和余弦定理可判断B；利用双曲线方程化简与，可判断C；根据双曲线焦点三角形内心在轴投影为双曲线的顶点，结合可判断D. 【详解】设，，则， ， 又，，，， 双曲线的方程为：； 对于A，由双曲线方程可得渐近线方程为：， 过点的直线与的右半支交于两点，或， 直线的倾斜角的取值范围为，A正确； 对于B，由双曲线定义知：，， ，B错误； 对于C，设，则， ，，，， ， ，，， ，即，C正确； 对于D，设的内切圆与分别相切于点， 则，，， ，又， ，，即， 在直线上，同理可知：的内切圆圆心在直线上； 平分，平分，， ，即，又轴， ，即，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题求解焦点三角形相关问题的关键是，能够熟练应用双曲线的定义对长度关系进行转化，同时能够熟练掌握焦点三角形内心的位置特征. 37．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知，，点P满足．则（    ） A．点P的轨迹为双曲线 B．直线上存在满足题意的点P C．满足的点P共有0个 D．的周长的取值范围是 【答案】BCD 【分析】由，，则再根据双曲线的定义可得点的轨迹方程是双曲线的右支判断A,联立方程组计算判断B,根据点到渐近线的距离判断C，转化的周长为，再结合三点共线判断D. 【详解】因为，， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 所以，故， 所以的轨迹方程为，双曲线的右支，故A错误； 联立，解得（舍去）， 所以直线上存在满足题意的点，故B正确； 双曲线的渐近线方程为， 则点到渐近线的距离， 所以满足的点共有0个，故C正确； 因为即左焦点， 而， 因为，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的周长的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化的周长为，再结合当三点共线时取得最小值. 38．（多选）（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线的焦点为，、、为抛物线上的点，，若抛物线在点、处的切线的斜率分别为、，且两切线交于点、为抛物线的准线与轴的交点，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．直线的倾斜角 C．若，则直线的方程为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】先根据向量夹角设直线再结合抛物线定义得出焦半径公式即可判断A,设点，分两种情况讨论判断B,求导函数得出直线的斜率即可得出直线方程判断C,先写出切线再联立得出，结合焦半径公式计算最小值判断D. 【详解】由题，则向量、的夹角为，故、、三点共线， 设直线的方程为，与的方程联立得， 设、，， 则，， 故，， 由抛物线的定义得，， 故，，所以A错误； 设，， 当时，直线倾斜角大于等于， 当时，， 所以直线的倾斜角，B正确； 记直线的斜率为，令，则， 则，， 又， 所以，所以， 又直线过点，故直线的方程为，C错误； 因为直线的方程为，又， 所以直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 联立直线、的方程得，即， 又，所以， 当时，等号成立，所以的最小值为，D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：解题关键点是应用导数求出切线斜率进而得出切线方程，再分别得出直线方程及焦半径的最小值. 39．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】/2.25 【分析】根据的面积的最大值为可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由已知条件可得、，直线的斜率为， 则直线的方程为， 当的面积最大时，过点的直线与椭圆相切且与直线平行， 故设该直线的方程为， 联立，整理，得， 由，得，解得， 分析可知当的面积最大时，，此时切线方程为， 则点到直线的距离. 又，所以，所以， 所以、， 所以， 则 ， 当且仅当时取等号， 因此，的最小值为. 故答案为：. 题型十一 圆锥曲线中参数最值范围问题（共4小题） 40．（24-25高二上·江苏·期中）已知曲线是椭圆，则该椭圆的离心率为 ；为上任意一点，与点之间的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得椭圆关于和对称，求出椭圆的长轴顶点和短轴顶点，结合题意分析即可求解. 【详解】中，用替换，方程不变， 所以椭圆关于对称， 用替换，方程不变， 所以椭圆关于对称， 由， 解得椭圆的长轴顶点：， 由， 解得椭圆的短轴顶点：， 所以，， 所以， 设，则 ， 当且仅当即或者时等号成立， 故答案为：； 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率的求解方法：求出旋转椭圆的长轴顶点和短轴顶点，即可得，继而根据离心率公式即可求解. 41．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先设点的坐标，再根据三点共线，表示坐标间的关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，，，，双曲线的渐近线方程为， 设，，由向量可知三点共线，即， 则，化简得，即， ，， 所以 （当且仅当时取等）. 故答案为： 42．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出直线的方程，利用双曲线的右支上一点到的距离恒大于，可得直线与其平行的渐近线的距离恒大于等于，进而可得出答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 因为直线过且与的一条渐近线平行， 不妨设直线的方程为，即， 由的右支上一点到的距离恒大于， 可得直线到直线的距离恒大于等于， 直线到直线的距离， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 43．（23-24高二下·江苏盐城·期中）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 . 【答案】/ 【分析】设，利用点到直线距离公式表示出点P到直线距离，根据函数最值即可求解. 【详解】点P在曲线上，设， 则点P到直线l的距离为， 当时，. 故答案为：. 解答压轴 题型一 圆的综合性质（共4小题） 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线恰与圆相切，求直线的方程； (3)圆关于直线对称圆是圆，设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是，定值为 【分析】（1）结合题目条件，得圆心C的坐标和半径，从而得结论； （2）分直线斜率存在与不存在两种情况，设出直线的方程，利用直线与圆的位置关系，建立方程，即可求解； （3）利用关于直线对称的圆的方程得圆Q的方程，再利用题目条件得、，且得到，，再利用直线的点斜式方程得直线和的方程，令得m与n，最后利用圆的方程，计算得结论． 【详解】（1）因为圆经过点和，又易知中点，， 所以的中垂线方程为，即， 又圆心在直线上，由，解得，所以圆心， 又圆的半径，所以圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设直线， 由（1）知圆为， 因为直线与圆相切，则，整理得到，此时直线， 当直线斜率不存在时，直线，满足题意， 综上，直线的方程为或. （3）设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以关于直线的对称点为，而圆关于直线的对称圆是圆， 所以圆的方程为， 因为点关于原点和x轴的对称点分别为、，所以、， 又因为， 当时，点的坐标为，则直线与轴垂直，不满足题意，所以． 当时，点的坐标为，则直线与轴垂直，不满足题意，所以， 因此直线的方程为，直线的方程为， 在方程中，令得，即， 在方程中，令得，即， 又因为、是圆Q上的两个动点，所以，， 因此， 因此为定值． 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于第（3）问，利用点斜式表示出直线直线和，进而求得，再结合圆方程进行求解即可. 2．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程 (1)若过点的直线与圆C相切，求切线的方程； (2)点P在直线上，过P作圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N，问经过P，M，N的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标； (3)过点的动直线l与圆C交于E，F两点，线段EF的中点为G，若构成等腰三角形，求此时点G的坐标. 【答案】(1)或 (2)过定点，定点为 (3) 【分析】（1）易知当切线斜率不存在时符合题意；当切线斜率存在时，设直线方程，利用直线与圆的位置关系求出斜率即可； （2）由题意知过点的圆是以为直径的圆，设，表示得该圆的方程为，解方程组即可； （3）设，表示出，根据可得点的轨迹，分类讨论当，，时，建立对应的方程组，解之即可求解. 【详解】（1）当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设为，即， 又圆与切线相切，所以圆心到切线的距离为， 即，解得， 故切线方程为， 综上，符合题意的切线方程为或； （2）如图，    因为均为圆的切线，所以， 故过点的圆是以为直径的圆，设， 则线段的中点坐标为，， 所以过点的圆的方程为， 整理得， 令，消去，得，解得或， 当时，；当时，， 所以过点的圆过定点. （3）如图，    由题意知圆的圆心为，半径为2，， 设，则， 由，得，即， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆. 又， 若，则，又点在圆上， 所以，解得或； 若，则，又点在圆上， 所以，解得； 若，则，又点在圆上， 所以，解得或. 综上，满足题意的点坐标为. 3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点. (1)求的坐标； (2)过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上. ①若，求的坐标及线段的长； ②设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 【答案】(1) (2)①的坐标为或者，；②证明见解析 【分析】（1）通过为以为斜边的等腰直角三角形，确定为的中点，即可求解； （2）①设，由，列出方程，结合在圆上即可求解；②设直线方程为，，，联立圆方程，结合韦达定理，通过 可求证 【详解】（1） 因为直线与圆相切，切点为，所以 由，所以为以为斜边的等腰直角三角形， 由第一象限的点在轴上的射影为，所以为的中点， 所以点的坐标为. （2）①设，，则， 即， 又， 解得，， 所以的坐标为或者 此时，取为线段的中点，则，由，且为 中点，则，所以. ②证明：因为为线段的中点，所以， 设直线方程为，， 联立方程组，得， ，且，，， 直线方程为，直线方程为，得， 则 ， 所以，又，所以与轴平行. 【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； (3)过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 【答案】(1)和 (2)存在，定点，定值或定点，定值 (3)证明见解析， 【分析】（1）先讨论切线斜率不存在，再由切线斜率存在时，设切线为，然后利用得到即可； （2）由题设，若，存在使为定值，利用，得到参数值； （3）设，，，则，，然后利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系即可. 【详解】（1）当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得，则，整理得， 综上，切线的方程为和 （2）由题设，若，则，整理得， 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 即， 整理得， 要使为定值，则， 得，，或，，， 综上，存在定点，定值，或定点，定值 . （3）设，，，，， 由，则，即， 又，故，同理， 所以直线CD为，又M在CD上，所以， 故点E在直线上. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用切线的性质及向量垂直的坐标表示列方程得，结合在圆上得到同一直线方程形式为关键 题型二 椭圆中面积问题（共4小题） 5．（24-25高三上·江苏连云港·期中）已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的离心率； (2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于M，N两点（点在轴的上方），且，若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用椭圆上的点求出，可求椭圆的离心率； （2）设出直线方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理和的面积求出的值，再利用韦达定理和求出的值. 【详解】（1）由椭圆过知， 将代入方程，得，求得， 则． 所以椭圆的离心率. （2）由（1）知椭圆的标准方程为，, 当直线的倾斜角为0时，B、M、N共线，不合题意． 当直线的倾斜角不为0时，设. 得，有， 的面积为， 由的面积为，知，解得. 由，知． 当时，，得解得或. 同理，当时，或． 综上，或. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 6．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知椭圆的短轴长为，离心率为分别是椭圆的上下顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用短轴长以及离心率计算可得椭圆的标准方程； （2）方法一：利用直线垂直的向量表示，得出并利用韦达定理可得直线方程为，得出结论； 方法二：设并与椭圆联立解得两点坐标，得出直线的方程化简可得结论； （3）方法一：利用弦长公式计算得出面积表达式并由基本不等式计算可得结果； 方法二：求得线段的长度表示出面积再由基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）因为，又 解得： 故椭圆的标准方程为 （2）证明： 方法一： 当轴时，不可能垂直， 故可设直线方程为 由，得， 设，则， 所以， 又因为，所以 即，即：， 所以 代入可得， 整理，解得（舍）或， 所以直线的方程为，令，得， 所以直线过定点， 方法二： 显然均不可能与坐标轴垂直，故可设 由，得 设 所以：， 因为互相垂直，同理得 所以直线的斜率为：， 直线的方程为：， 令得，即直线过定点. （3）方法一： 由（2）知： ， 所以面积 令，所以代入可得： 此时，所以面积的最大值是 方法二： 由（2）知，所以， 因为互相垂直，同理得， 所以面积 令， 此时，解得或， 所以面积的最大值是. 【点睛】关键点点睛：本题在求解面积最大值时关键在于得出面积的表达式，再根据基本不等式计算得出最值. 7．（23-24高三上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知，圆与轴切于点，又过作圆异于轴的两切线，设这两切线交于点. (1)求点的轨迹方程; (2)设为坐标原点，是的轨迹上的不同两点且不关于原点对称，若直线的斜率分别为和，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的几何性质，结合椭圆定义可判断点的轨迹是以为两焦点的椭圆，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据两点斜率公式可得，即可根据根据弦长公式以及点到直线距离公式，即可根据面积公式求解. 【详解】（1）设过异于轴的两切线分别切于两点，两切线交于点， 由切线的性质可知:， 故 ， 故由椭圆定义知，点的轨迹是以为两焦点的椭圆（去除在x轴上的两点）， 可求得动点的轨迹方程为:; （2）当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，消去，得:， 设，则 ， ， 点到直线的距离， ， ， ， 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 8．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆焦距为，离心率为. (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于、两个不同的点，记的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出的最大值. 【详解】（1）解：由题意可得，解得， 所以，椭圆的方程为. （2）解：当直线与轴重合时，、、三点重合，不符合题意， 易知点，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，    由韦达定理可得，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 题型三 椭圆中的参数范围、最值问题（共4小题） 9．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点， ①若，求线段OM的长度； ②求点到直线OM的距离的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由焦距求，代入点的坐标联立方程求解可得； （2）①设直线AB的方程为，将条件转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理将根的关系转化为系数的方程，求解可得；②由韦达定理用分别表示弦中点坐标与，利用面积关系得关于的函数关系，再求函数最值可得. 【详解】（1）由题知，，即，， 由点在椭圆上，代入椭圆方程得， ，解得，则， 故椭圆的标准方程为：. （2）①由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点， 所以可设直线AB的方程为，并设， 由得. 则，，. 因为，则，即， 即 ， 解得，. 由， 所以AB的中点为， 即点，所以；      ②由①可知AB的中点为， 则，且直线OM的斜率为， 所以直线OM的方程为. 设点A到直线的距离为， 因为点是弦AB的中点，所以点到直线的距离也为， 又因为 ， 由知，， 所以， 解得， 由，令， 则，由在单调递增， 得，即当时，. 即点到直线OM的距离的最小值为.    【点睛】方法点睛：解析几何中面积求解问题中，当三角形某条边过定点时，可以把三角形某个定顶点和该定点为边，转化为定底边的两个三角形面积之和，从而简化运算. 10．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)，为椭圆上两个不同的点，且， ①求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； ②过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点坐标为；②. 【分析】（1）根据离心率和关系得到方程，解出即可； （2）①先考虑斜率不存在的情况，再采用设线法，设，再将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，代入向量表达式化简即可； ②根据①中结论得在以为直径的圆上，则得到最值情况. 【详解】（1）由题意知，故，即， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为:. （2）①设，， ， (i)当直线斜率不存在时，设， 联立得， ， 解得(舍)或，此时. (ii)当直线斜率存在时，设， 联立得， . 又， ， 整理得， 将代入整理得， ， 或， 当时，，过点，不成立； 当时，，则过定点， 综上所述，过定点.    ②过定点， ，即在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径， . 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再将向量式化简整理，最后代入韦达定理式即可. 11．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，D为线段AC的中点，直线OD与椭圆E交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方． (1)设直线CQ，AQ分别与直线MN交于点E，F，且满足，求点C的坐标； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为可得，再由椭圆的对称性可得，可证明四边形是平行四边形，所以，则，即，将其代入椭圆的方程即可求出点C的坐标； （2）设点，得到，设直线的方程为，联立方程组求得，同理得到，方法1、求得，令，利用二次函数的图象与性质，求得，结合，即可求解；方法2、求得，利用基本不等式求得，进而求得的最大值. 【详解】（1）因为，所以，又因为， 所以与的相似比为， 又因为分别为与的中线， 所以，所以， 由椭圆的对称性可知，，所以，所以， 所以为的中点，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，设，由椭圆的对称性知，， ，由四边形的性质可得， 所以，所以， 将代入可得，则， 所以点C的坐标为. （2）解：设点，由，可得， 则, 可得， 又由直线的斜率一定存在且不为零，故可设其方程为， 由，解得，则， 因为，可得，同理可得， 方法1： 由题可得， 令，则，可得， 当时，即时，取等号，即 又因为，所以的最大值为. 方法2 ：由题可知， 所以，当且仅当时，等号成立， 又因为，所以的最大值为. 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 12．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆过点和． (1)求C的方程； (2)设直线l：，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将点代入方程求椭圆参数，即可得方程； （2）设直线，联立椭圆消去x，得，应用韦达定理求N点坐标，弦长公式求，点斜式写出直线并求出M点坐标，点线距离公式求到直线距离，最后得到关于参数t的方程，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由题设，故. （2）由题意，直线不与x轴重合，可设直线， 联立椭圆消去x，可得，即， 此时，所以，， 则，故， 故直线，令，则，所以， 而， 到直线距离，又， 所以，令， 则， 当且仅当时取等号，故最小值为.    【点睛】关键点睛：第二问，注意设直线，联立椭圆，应用韦达定理、中点公式求中点坐标，点斜式求中垂线并求坐标为关键 题型四 椭圆中的定点、定值、定直线问题（共4小题） 13．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【分析】（1）根据椭圆的长轴长为，离心率为，由求解； （2）①设，，，由，，且，经过点，得到求解；②设实数存在，则，分直线斜率不存在，斜率，斜率，利用弦长公式求解. 【详解】（1）解：由题意可知，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）①设，，， 由题设可知：，， 又因为，经过点，所以， 所以，均在直线上，即， 由，解得，所以直线过定点. ②设实数存在，因为，所以， 当直线斜率不存在时，此时直线的方程为， 由解得， 所以，故. 当直线斜率时，不满足题意； 当直线斜率时，设直线的方程为，则， 故， 所以， 联立可得，显然， 所以，， 所以. 综上可知，存在满足条件. 【点睛】方法点睛：本题第二问，首先利用弦长公式得到，然后巧用，化简得到，结合韦达定理而得解. 14．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线斜率不为零，设直线的方程为，设点、，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值；②利用韦达定理，化简，可得定值. 【详解】（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. （2） ①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. ②由， 所以， ， 即为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 15．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆的左，右焦点分别为是椭圆上一动点，且的最大值为2. (1)求椭圆的方程； (2)记到椭圆在点处切线的距离为，求的值； (3)若射线与直线交于点，点在射线上，满足. 过点作直线与椭圆相交于点，且点为弦的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）结合椭圆的定义及的最大值为2可得，进而结合离心率即可求解； （2）设，可得，进而结合椭圆在点处切线为，再结合点到直线的距离公式可得到切线的距离为，进而椭圆的第二定义可得，从而求解即可； （3）利用点差法可得，设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理可得，同时得到，分别过作轴的垂线，垂足为，设直线与轴交于点，结合题设可得，进而得到，从而确定定点. 【详解】（1）因为，则， 因为的最大值为2，且的最小值为， 则，即， 又，则，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，， 设，则，即， 则椭圆在点处切线为，即 则到切线的距离为， 椭圆的右准线为， 则到右准线为的距离为， 根据椭圆的第二定义可知，， 即，则， 则， 所以. （3）证明：设，， 因为均在椭圆上， 所以，两式相减得， 整理得，， 而，， 则，设直线的方程为，， 联立，得， 则， ， 因为直线的方程为，则， 联立，得， 分别过作轴的垂线，垂足为，设直线与轴交于点， 由，得，即， 则，即， 即，即， 则直线的方程为， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛:解决圆锥曲线直线过定点问题，常常用以下几种方法： （1）数形结合法:通过建立坐标系，将抽象数学问题转化为直观几何问题； （2）参数法:通过设点过设参数，将复杂的问题转化为简单的问题，从而方便求解； （3）代入法:将已知的公式或定理代入到问题中，从而解决问题； （4）化简法:通过化简方程或不等式，将问题转化为更容易解决的形式. 16．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆方程； (2)点分别为椭圆的上下顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，探究直线的交点是否在一条定直线上，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由椭圆离心率可得，再将代入椭圆的方程可得，即可求出椭圆的方程； （2）设，直线的方程为:，联立直线和椭圆的方程求出两根之积和两根之和，设直线的方程和直线的方程，两式联立求得交点的纵坐标的表达式，将两根之积和两根之和代入可证得交点在一条定直线上. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即， 所以，所以， 又因为椭圆过点， 所以，解得：，所以椭圆方程为. （2）因为，设， 直线的方程为:， 联立方程，得， 得 则 直线的方程为： ， 直线的方程为：， 联立两直线方程消元： 法1：由解得：， 代入化简， ， 解得：，即直线的交点在定直线上. 法2：由韦达定理得代入化简 ，得， 即直线的交点在定直线上. 法3：由，得 代入化简，得， 即直线的交点在定直线上. 法4： 代点进椭圆方程得化简得 进而得到，代入化简 转化为韦达定理代入 ，得， 即直线的交点在定直线上. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线 题型五 椭圆中的向量问题（共2小题） 17．（24-25高二上·江苏无锡·期中）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比． (1)求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程． (2)已知椭圆，椭圆与椭圆的相似比为． ①若直线与椭圆相切，且与椭圆交于两点，求的取值范围； ②过点作斜率不为的直线与椭圆交于两点（在的上方），直线与椭圆交于两点（在的上方）．是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）利用相似性质，可知两椭圆离心率相等，即可求解； （2）①利用直线与椭圆联立方程组来求解弦长，通过讨论斜率是否存在来补全取值范围；②根据斜率是否存在分类讨论，通过联立直线与椭圆方程说明的中点也是的中点，然后将转化为的数量关系，借助弦长公式完成计算. 【详解】（1）由题意可知，“特征三角形”是等腰三角形，且腰长为，底边长为， 那么相似比就是两个“特征三角形”的长半轴长之比或者是焦距之比， 从而特征三角形相似的两椭圆的离心率是相等的. 由椭圆的离心率为， 可知过点，且与椭圆相似的椭圆方程的离心率也为， 可设所求椭圆为，代点得：， 再由，所以， 联立上两式解得：， 所以所求椭圆方程为：. （2）①由椭圆与椭圆的相似比为，可知两椭圆的长半轴之比也为，短半轴之比也为， 再由椭圆，所以椭圆， 当直线的斜率不存在时，又与椭圆相切，则切线方程为， 取直线，可得与椭圆的交点坐标为 此时有， 再当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， 则与椭圆联立消得：， 整理得：， 由直线与椭圆相切，可得：，整理得， 再由直线的方程为，与椭圆联立消得：， 整理得， 由， 再把代入得：， 可设交点，则有， 所以 再把代入得： ， 由于，所以，即， 综上可得：； ②假设直线存在； 当的斜率不存在时，， 由解得，由解得， 所以， 所以， 所以， 显然； 当的斜率存在时，，设， 联立，可得， 所以， 联立，可得， 所以， 所以，即中点的横坐标相同， 又因为四点共线，所以的中点即为的中点， 因为，所以， 所以， 因为 ， ， 所以， 所以，解得，符合条件， 所以存在直线满足条件. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的第二小问的关键点有两个，一方面是说明中点相同，借助这一条件可对向量关系式进行转化；另一方面是弦长计算，计算量较大，通过联立以及弦长公式表示出. 18．（23-24高三上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为． (1)求椭圆的离心率； (2)设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线． 【答案】(1) (2)证明详见解析 【分析】（1）根据求得椭圆的离心率. （2）求得点坐标，利用向量法证得三点共线. 【详解】（1）依题意，， 所以离心率. （2）直线的斜率为， 由（1）得， 设关于的对称点为， 线段的中点为， 所以， 整理得， 解得， 则 在椭圆上，所以， ， 则 ， 所以，所以三点共线. 【点睛】求解三点共线的问题，可以转化为来进行求解，也可以转化为来进行求解.求解点关于直线对称点的问题，关键点在于中点和斜率，根据这两个关键点可求得对称点的坐标 题型六 双曲线中的面积问题（共3小题） 19．（23-24高二上·江苏常州·期中）在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求M点的坐标，使得的面积最小. 【答案】(1)， (2)存在或， (3)的坐标是或. 【分析】根据渐近线方程得,点在双曲线上，列出方程组求解即可; （2）假设,由直线方程得坐标,由向量的数量积运算可得,用坐标表示这个结论可得与关系,再由点在双曲线可得结论; （3）直接计算的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标. 【详解】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为. （2）设,如图: 根据题意知，直线斜率存在，则，则 则直线:,令得, 因为点关于轴的对称点为,所以, 则,令得, 因为,平方可得, 因为, 则, 因为即，所以, 则,即, 所以存在或满足条件; （3）如图 因为 ， 又，则,代入上式得: , 当时，时，， 则， 当且仅当，即时取等. 当时，，则， 当且仅当,即时等号成立, 故应在时取得取最小值， 此时,即 所以的坐标是或时,的面积最小. 20．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线C的左右焦点分别为，，直线l过且与双曲线C相交于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长； (3)若的面积是12，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2) (3)或或. 【分析】（1）由题意可得，，解出，即可求出双曲线C的方程； （2）设直线l的方程为，联立直线l与曲线C的方程，根据根与系数的关系得到，代入弦长公式化简即可得出答案. （3）先设直线和得到韦达定理，表示出三角形的面积公式，代入韦达定理求出参数的值即可. 【详解】（1）双曲线有相同的渐近线为， 双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线， 所以，又因为双曲线C与椭圆有相同的焦点， 所以，所以，又因为， 所以，所以双曲线C的方程为：. （2）,直线l过且斜率为1，设直线l的方程为：， 设， 联立，消去得， 由根与系数关系可得， 所以. （3）若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛盾， 所以直线的斜率不为0，设，， 联立，消去得，应满足， 由根与系数关系可得， ， ,则， 则，解得：或，则或， 直线AB的方程为或， 则直线AB的方程为：或或.    21．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点A是曲线C左支上一点，线段与C的另一交点为B．若的面积为8，求直线AB的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义确定出的值，由此可求，则的方程可求； （2）设出直线的方程，通过联立思想结合韦达定理求得，再结合三角形面积公式可求结果. 【详解】（1）因为， 所以的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，所以， 所以的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为， 因为渐近线的斜率为， 所以，， 联立可得， 所以， 所以， 又因为到直线的距离， 所以， 化简可得，即，解得，经检验符合条件， 综上可知，直线的斜率为 题型七 双曲线中的参数范围、最值问题（共3小题） 22．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与相交于不同的两点，若的面积不小于，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据渐近线垂直可得，代入点即可得，即可得方程； （2）设直线的方程为，联立方程利用韦达定理可得面积，根据判别式结合面积关系运算求解即可. 【详解】（1）因为两条渐近线互相垂直，则，即， 又过点，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程消去y可得. 因为直线与双曲线相交于不同的两点， 则，解得， 设，则， 可得， 且原点到直线的距离， 则， 若的面积不小于，即， 整理可得，解得，可得， 综上所述：直线的斜率的取值范围为. 23．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知圆和定点为圆上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线PC交于点，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若是曲线上的一点，过的直线与直线分别交于S，T两点，且为线段ST的中点． ①求证：直线l与曲线有且只有一个公共点； ②求的最小值（为坐标原点）． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，即可得到，结合双曲线的定义计算可得； （2）（i）设，不妨令，，即可得到，从而表示出直线的方程，再联立直线与双曲线方程，消元、由，即可证明；（ii）由 （i ）求出，，再计算可得为定值，即可结合基本不等式求解. 【详解】（1）为PA的垂直平分线上一点，则， 则， 点的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，且， 故点的轨迹方程为； （2）（i）设，直线是双曲线的渐近线，如图所示： 则：①．②， ①+②得，，①-②得，， 则，得， 由题可知，则， 得，即， 直线ST的方程为，即， 又点在曲线上，则，得， 将方程联立，得， 得， 由，可知方程有且仅有一个解， 故直线与曲线有且仅有一个交点； （ii）由（i）联立，可得， 同理可得，，则，同理， 所以， 故， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 24．（22-23高三上·江苏南京·期中）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）联立直线的方程和双曲线的方程，化简写出根与系数关系，根据求得点的坐标，将点坐标代入双曲线的方程，对进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以， 因为双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为， 双曲线的一条渐近线为，右焦点， 右焦点到渐近线的距离为， 所以， ②代入①得：，所以求双曲线的方程为. （2）设，，， 联立方程，得：， ， ， 因为，所以， 因为点在双曲线上，所以， 即， 所以， 即， 当时，等式左边=3，右边=0，因为左边右边，所以不满足题意； 当时，，所以不满足题意； 当时，， 所以， 综上所述：的取值范围为. 题型八 双曲线中的定点、定值、定直线问题（共4小题） 25．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，定值为 【分析】（1）根据双曲线的定义求出，即可求出双曲线的方程； （2）利用点斜式方程得直线的方程为，与双曲线方程联立求出点C，D坐标，最后利用向量的坐标运算求出即可； （3）法一：设直线方程，与双曲线方程联立，韦达定理，代入两点斜率公式化简求解即可； 法二：按照直线的斜率不存在和存在分类讨论，斜率存在时，与双曲线方程联立，韦达定理，代入两点斜率公式化简求解即可. 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由解得， 即轨迹的方程为：； （2）因为直线经过点，倾斜角为， 所以直线的方程为，联立， 解得或，故得点和点， 则， 由得，解得； （3）如图， 法一：由题意得直线不可能与轴重合， 设为：， 联立得到， 而， 由韦达定理得， ， 故是为定值，且该定值为； 法二：①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 可得，此时， ②当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，得到， 而， 由韦达定理得， 所以 ， 故是为定值，且该定值为， 综上所述，为定值. 26．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为， （i）若为双曲线的右顶点，求三角形的面积 （ii）若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）或或或 【分析】（1）利用题中条件建立等式求解即可； （2）（i）根据题中条件直接求解即可；（ii）先建立等式，可知，然后和建立方程组，求出，的值，然后求点即可. 【详解】（1）双曲线实轴长为，故， 双曲线的一条渐近线方程为， 则，故双曲线的方程为. （2）（i）在三角形中，Q到渐近线的距离， 根据双曲线的对称性，， 所以 （ii）设，则，设Q到直线距离为， 同理，所以① 又因为②，由①②解得或， 当时，得或， 又，则或， 解得或，同理有或， 所以点或或或. 27．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． (1)求点M的轨迹方程； (2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点，根据题意，由化简求解； （2）设直线的方程为，，，，与双曲线方程联立，表示直线的方程为，令，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设点，由题意得： ， 化简得： 所以点M的轨迹方程是； （2）由题意；直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，， 联立，消去整理得， 则，，解得， ， 直线的方程为， 令，得， ， ， 所以直线过定点 28．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点及渐近线方程求解即可. （2）设直线的方程为，联立其与双曲线方程可得，，设设直线方程、直线方程，并联立两者求其交点Q的横坐标，结合即可证明. 【详解】（1）由题意知，，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）证明：如图所示， 由题意知，，， 由题知过点T的直线的斜率必不为0，设直线的方程为，， ， 联立， ， 则，， 又因为过点T的直线与双曲线的右支交于、，在第一象限内， 所以，，，， 所以，即，解得， 设直线方程为， 直线方程为， 联立， 即， 又， 所以， 所以点Q在直线上 题型九 抛物线中面积问题（共1小题） 29．（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为． (1)求的值． (2)已知点，、为抛物线上位于第二象限的两点，且在下方，已知直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系以及点的坐标可求得直线的方程，与抛物线联立由向量数量积为0计算可得； （2）设出直线的方程为，与抛物线联立并根据直线与直线的倾斜角互补可求得，再利用点到直线距离公式计算可得三角形面积. 【详解】（1）由可得，由可得； 所以直线的方程为； 设， 联立，整理可得， 可得， 又可得，即； 所以， 解得； （2）如下图所示： 由（1）可知抛物线方程为， 由直线的斜率为可设直线的方程为，， 联立，整理可得； 所以； 由可知直线的斜率为，直线的斜率为； 又因为直线与直线的斜倾斜角互补，所以， 整理可得； 即，也即，解得； 方程即为，解得； 可得，可得； 点到直线的距离为， 所以三角形的面积为． 题型十 抛物线中的参数范围、最值问题（共2小题） 30．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）关于轴的对称点与三点在同一直线上，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可求，进而求得抛物线的方程； （2）求得直线的方程，设，利用点到直线的距离公式可求到直线距离的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点 因为直线与直线斜率之和为0， 所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上，    设直线的方程为， 与抛物线联立可得，消去得， 由是方程的两根， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）因为在抛物线上，所以，所以， 所以，又，所以，又且直线， 所以的方程为， 设，所以点到直线距离； 当时，到直线距离取最小值，最小值为. 31．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点，直线l：，动点P到点F间的距离等于它到直线l的距离． (1)试判断动点P的轨迹C的形状，并写出C的方程； (2)求动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值． 【答案】(1)抛物线， (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求得正确答案. （2）结合抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）因为动点P与点F间的距离等于它到直线l的距离， 所以点P的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线． 又因为点，直线l：，则抛物线开口向右，且焦点F到准线l的距离为4， 所以轨迹C的方程为． （2）动点P到y轴的距离等于到焦点的距离“减”， 所以动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值为： 到直线，即的距离“减”， 即. 题型十一抛物线中的定点、定值、定直线问题（共4小题） 32．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线经过点，焦点为，过作两条直线与抛物线交于四点，其中在第一象限，且在的左侧． (1)求的方程； (2)若直线与轴交于点，求直线与轴的交点坐标； (3)设直线与的斜率分别为，若，试问：直线是否过定点，若过请求出定点坐标；若不过，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线过定点，且定点为 【分析】（1）将点代入即可求解， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据点斜式求解直线方程，令，求解直线与轴交点，，,即可代入化简求解， （3）根据两点斜率公式可得，即可根据点斜式求解直线方程，进而代入化简即可得直线方程为，进而可求解定点. 【详解】（1）将代入可得，解得， 故 （2）设直线， 联立与可得， 设,， 故，同理可得， 故直线，令可得， 同理可得与轴的交点横坐标, 由于， 故，同理可得， 由于，故，所以， 故直线与轴的交点坐标为 （3）由题意可得， 由于， 故故，进而， 直线，即， 由于， 故直线， 故直线恒过点    【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 33．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点. (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）令，联立抛物线并应用韦达定理求得、，写出线段的中点坐标，即可得轨迹方程； （2）令，，同（1）求得，，根据点在抛物线上、点差法求得， 写出直线并求坐标，应用两点式并假设推出矛盾，即可证结论. 【详解】（1）由题意，令，联立抛物线得， 若，则，， 所以， 而线段的中点坐标为， 所以中点的轨迹方程. （2）令，，同（1）可得，， 由且，则，即， 可设，令，则，即， 所以，， 若，即， 所以 所以， ， ，显然与矛盾， 综上，不成立，故，即，，在同一条直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问，应用点差法求得，进而求得，再应用两点式并假设推出矛盾为关键. 34．（24-25高二上·江苏·期中）若动点到点的距离比它到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过轨迹上一点作直线交轴正半轴于点，且.若直线，直线与轨迹有且仅有一个公共点，证明直线AE过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据抛物线的定义求得正确答案. （2）先求得点坐标，然后根据直线平行求得点坐标，再根据直线的方程求得定点坐标. 【详解】（1）依题意可知，动点到点的距离等于它到直线的距离， 所以的轨迹是抛物线，且，所以轨迹的方程为. （2）设，则，由于在轴的正半轴， 所以，则，， 设，的方程为， 由，消去得， ，由， ，解得，则， 所以直线的方程为， 整理得，所以直线过定点. 【点睛】思路点睛：通过抛物线定义求轨迹：首先利用动点的轨迹符合抛物线的定义，结合焦点和准线，求解轨迹的方程,这是确保解题正确的基础. 利用直线相交条件确定定点：通过设定直线与轨迹有且仅有一个公共点的条件，结合消去法，确定直线过定点并求定点坐标. 35．（24-25高二上·江苏连云港·期中）设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点，由已知，可得，，代入抛物线的方程，解得，即可得到抛物线的方程； （2）设点的坐标为，当时，得到直线的方程，联立抛物线的方程，消去，可得点的纵坐标，进而得直线的斜率为0，讨论当和时，可得直线的斜率均为0，即直线的斜率为定值. 【详解】（1）设点，由已知，所以， 又点到轴的距离为，即，即， 由点在抛物线上， 所以，解得或（舍去）， 故抛物线的方程为； （2）设点的坐标为，    则直线的方程为，① 抛物线的准线方程为，② 联立①②，可解得点的纵坐标为， 由（1）知焦点， 当，即时，直线的方程为， 联立消去，可得， 即，可得点的纵坐标为， 与点的纵坐标相等，于是直线的斜率为0， 当时，点的纵坐标为， 直线的方程为，与准线的交点的纵坐标为， 此时直线的斜率为0， 当时，同理可得直线的斜率为0， 综上，直线的斜率为定值0 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求出点的轨迹方程为，由题意，说明直线与圆有公共点，借助于直线与圆的位置关系判断方法，得到不等式，求解即得. 【详解】设点，因， 由可得：， 化简得，即， 依题意，直线与圆有公共点， 故圆心到直线的距离， 即，化简得，解得：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查动点的轨迹方程的求法与应用，属于较难题.解题的关键有二：其一，要会利用所给等式通过设点，求出其轨迹方程；其二，正确理解轨迹方程表示的几何意义，学会等价转化解题. 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，结合垂直关系可知平面，结合长度关系可知点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质分析求解. 【详解】在矩形，，，， 由可得， 由可得， 则，即， 可知折起后，必有，，， ，平面， 故平面， 因为是确定的直线，故对任意点，，，都在同一个确定的平面内， 因为，可知点在以点为圆心，半径为的圆上（如图）， 由图知，当且仅当与该圆相切时，取到最大值， 则也取到最大值， 此时，， 则的最大值为. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于证明平面后，要考虑动点的轨迹，同时将理解为点与圆上的点的连线，结合图形，得出当且仅当与该圆相切时，取到最大值的结论. 3．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知以为邻边作平行四边形为矩形，由平面向量可证明，再由可得其取值范围. 【详解】以为邻边作平行四边形， 由可得四边形为矩形，如下图所示： ， 可得， 解得，即， 即点轨迹是以为圆心，半径为的圆， 易知，， 所以线段的长的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本意关键在于利用平面向量证明求得，再结合圆上点到定点距离最值问题求得结果. 4．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可得，取的中点，连接，由面积可得，利用余弦定理结合双曲线离心率分析求解. 【详解】由题意可知：，可得， 取的中点，连接，可知， 因为，可得， 则， 可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】设，然后根据坐标表示出，结合基本不等式求解出最小值并确定出点坐标，则可求. 【详解】设，则，所以， 当时，； 当时，， 当且仅当即时取等号，所以； 由上可知，取最小值时，， 所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的运用，解答问题的关键在于根据抛物线的方程合理设出点坐标并利用坐标关系去化简，从而达到分析最值的目的. 6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】做出合理的辅助线，利用椭圆定义求出方程，后设点，用圆中的勾股定理转化为函数最值问题求解即可. 【详解】   连接，中点为， ， ，即椭圆方程为 设，则，，连接, 由题意知，，且 ，由二次函数性质得，当时 取得最大值，此时 故选：B 7．（多选）（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知点，直线l：，曲线C上的点满足到F的距离与到l的距离之积为16，则下列说法正确的有（   ） A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C经过坐标原点 C．设曲线C上动点到直线的距离为d，则的最小值为 D．当点在曲线C上时，的最小值为 【答案】BCD 【分析】先写出曲线C的方程，根据特殊点可判断A的真假，令求曲线C与轴的交点，可判断AD的真假， 【详解】设曲线C上的点，则曲线的方程为：. 对A：令可得，所以点在曲线上，但点不在曲线上，故曲线不关于轴对称，所以A错误； 对B：令得或，故曲线过原点，所以B正确； 对C：若，则，所以曲线上的点的横坐标都不大于， 所以，又， 所以（当且仅当时取 “”），所以C正确； 对D：若，则， 所以曲线上最左边的点为，所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：在列出曲线的方程后，确定的取值范围是判断D选项的关键.判断出后，结合的几何意义：表示曲线上的点到的距离，可求该式的最小值. 8．（多选）（23-24高三上·江苏南通·期中）已知点P满足，点，，，则（   ） A．当最小时， B．当最大时， C．当面积最大时， D．当最大时，面积为 【答案】ABD 【分析】根据可求得点P轨迹方程为.当直线PC与圆D相切时，取最值，判断A，B； 当P距离x轴最远时，面积最大，判断C； P，B，C三点共线，P在CB的延长线与圆D的交点处时，最大，判断D. 【详解】设，由于，，且， 所以，两边平方，整理得， 即点P的轨迹为圆，圆心，半径为. 当直线PC与圆D相切时，取最值， 如图，当P位于处时取最小值， 当P位于处时取最大值，， A，B正确； 由于，P为圆上的点，所以当P距离x轴最远时，面积最大， 即或时，面积最大， 不论还是，的值相等， 都等于，故C错误； 因为，所以， 此时P，B，C三点共线，P在CB的延长线与圆D的交点处， 直线BC方程为，即， 与圆D联立，得，解得（舍去）或， 则，则， 所以，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛，本题考查了圆的轨迹方程和圆上的点产生的最值问题，本题解题方法的核心是数形结合，从图中找到最值问题对应点，便可求得对应结果. 9．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期中）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线与直线有3个公共点 B．曲线与圆有4个公共点 C．曲线所围成的图形的面积为： D．若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 【答案】ABD 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，联立，可得，再代入，得，由判别式及韦达定理，可得此方程有4个不同的根，即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，当点或，满足题意，即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以，即， 解得或， 所以或或， 所以曲线与直线有3个公共点，故正确； 对于B，由，可得， 则有，平方得， 代入，得， 即， 因为，， 所以关于的方程有两个不同的正根， 从而得有四个不同的解， 所以曲线与圆有4个公共点，故正确； 对于C，， 如图所示： 曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 因为所在圆的圆心为，半径为2，, 在中，，， 所以， 所以扇形的面积, ， 所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故错误； 对于D，当与或重合时， 则，故正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 10．（多选）（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知曲线，则（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的周长为 C．曲线所围成图形的面积为 D．曲线与直线有3个公共点 【答案】ACD 【分析】若点在曲线上，可得也在曲线上，即可判断A，再由曲线关于x轴，y轴对称，当时，曲线E的方程为，表示以点为圆心，为半径的半圆，画出图象，根据图像与圆的几何性质，再逐项判断即可； 【详解】曲线上任意点有：，该点关于的对称点为，又， 即由线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上， 所以曲线关于直线对称，故A正确； 因点在曲线上，点，也都在曲线 E上， 则曲线E关于轴，轴对称， 当时，曲线的方程为， 表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点)， 因此，曲线是四个顶点为，，，的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如下图所示，   所以曲线围成的图形面积是，故C正确; 曲线的周长为，故B错误； 因为直线过点，，且经过第一、二、四象限， 又， 当时，曲线的方程为，曲线过点，， 又圆心直线的距离， 结合图象可得，此时曲线与直线有个公共点； 当时，曲线的方程为，表示圆心为，半径为的半圆（不包含端点）， 又到直线的距离，所以直线与圆相切， 设过点且与直线垂直的直线方程为， 则，解得，即为， 由，解得， 所以直线与有且只有一个交点， 当时，曲线的方程为， 表示圆心为，半径为的半圆（包含端点），显然与直线没有公共点； 当时，曲线的方程为，表示圆心为，半径为的半圆（不包含端点）， 又点到直线的距离， 则曲线：与直线没有公共点； 综上可得：曲线与直线有个公共点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用曲线方程的对称性，分析得曲线的图形，从而数形结合即可得解. 11．（多选）（24-25高二下·江苏南京·期中）已知双曲线的左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点（从左到右）．下列说法正确的是（    ） A．若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为． B．若，且为线段的中点，则的离心率为 C．若，且为线段的中点，则的离心率为 D．若的离心率为2，则存在无数条直线，使 【答案】AC 【分析】对于A，由题意可得，从而可求出离心率，对于B，由题意不妨设直线的方程为，与渐近线方程联立可求出点，从而可求出点的坐标，代入另一条渐近线方程化简可求出离心率，对于C，由选项B可知点的坐标，从而可求出点的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率，对于D，分别设的横坐标为，由离心率可得双曲线方程，设直线为，分别与双曲线方程和渐近线方程联立，结合根与系数的关系进行分析判断. 【详解】对于A，由题意得，则，所以离心率，故A正确； 对于B，因为，所以直线的斜率与其中一条渐近线的斜率乘积为， 由对称性不妨设的斜率为正，则直线的方程为， 由，得，即， 因为为线段的中点，所以， 因为点在渐近线上，所以，化简得， 所以，所以离心率，所以B错误； 对于C，由选项B可知，因为为线段的中点，所以， 因为点在双曲线上，所以， 化简得，所以，得， 所以离心率为，所以C正确； 对于D，分别设的横坐标为， 因为的离心率为2，所以，所以， 所以双曲线的方程为， 由题意可知直线的斜率存在，则设直线为， 由，得， 所以， 由，得，所以， 所以，所以有相同的中点， 所以，即对所有的直线都有，所以D错误. 故选：AC． 12．（多选）（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．内切圆的半径为 C．△的外接圆方程为 D．△与△内切圆半径之和的最大值为 【答案】ABD 【分析】由已知条件直接求得得离心率判断A，得椭圆标准方程，解方程组求出交点坐标得直角的边长后可求得其内切圆半径判断B，同样由三点坐标求出外接圆方程判断C（可用点的坐标代入判断），利用面积的两种不同计算方法可求得内切圆半径与点坐标的关系，结合韦达定理可求出两内切圆半径和的最大值，判断D． 【详解】A选项，由题意，是等腰直角三角形，因此，， 离心率为，A正确； B选项，由上知，，直线的方程为，椭圆方程为， 由，解得或，∴， ，，而， 则，即为直角三角形， ∴△内切圆的半径为，B正确； C选项，由题意设△的外接圆圆心坐标为，则，解得， 即圆心坐标为，半径为， 圆方程为，C错； D选项，设，的内切圆在三边上的切点分别为，如图，    一方面，， 另一方面，记的内切圆半径为，， 所以，，事实上，不论点在轴上方还是下方，都有与同号，所以，从而， 则的内切圆半径为，内切圆半径为， △与△内切圆半径之和为， 设直线方程为， 由得， ， ， 所以当，即时，取得最大值，D正确， 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：设是椭圆上的点，是椭圆焦点，与不共线，的内切圆圆心为，半径为，椭圆离心率为， 则，，， 13．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为椭圆上异于的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为20 C．的外接圆圆心到x轴的距离的最小值为 D．直线的斜率之差可能为1 【答案】AC 【分析】得用已知椭圆求得，再结合每个选项的条件逐项计算可判断结论. 【详解】由椭圆C：的方程可知，，解得， 所以，即，故A正确； 因为，所以， 当且仅当时取等号，故B错误； 由的外接圆的圆心在的垂直平分线上，可得圆心在轴上， 由， 所以为锐角，且在短轴的端点处时，最大， 由外接圆的半径为可知，越大，半径越小， 此时外心到x轴的距离最小，设外心为，取在上顶点时， 所以，解得，故C正确； 设，由，得，所以， 不妨取，则，， ， 当且仅当时取等号， 所以直线的斜率之差不可能为1，故D不正确. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：根据点在椭圆上，可求得为定值，进而可利用基本不等式判断直线的斜率之差是否可能为1. 14．（多选）（24-25高二上·江苏徐州·期中）造型为“”的曲线称为双纽线，在平面直角坐标系xOy中，与定点距离之积等于的动点的轨迹为双纽线．记时的双纽线为曲线，点是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为4 B．点的横坐标的取值范围是 C．面积的最大值为2 D．若点的坐标为，则 【答案】ACD 【分析】对A：借助基本不等式计算即可得；对B：整理可得，即有，即可得，解出即可得；对C：借助换元法可得的最大值，即可得面积最大值；对D：借助反证法，假设后代入原式计算即可得. 【详解】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得：， 当时，曲线的方程为， 对于A：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：整理可得：，则， 可得，解得，故B错误； 对于C：，令，则， 所以， 所以当时，，所以面积的最大值为，故C正确； 对于D：若， 则 ， 其与矛盾， 故不成立，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于使用反证法，假设，代入原方程中得到与题设矛盾的. 15．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点. (1)若，求实数的值； (2)设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由构成方程组得，再结合点，在圆上可求得，则可求； （2）设直线的方程为，联立直线方程与圆的方程可得，B同理可得，再由，，三点共线，得到 ，能得到与的关系式，然后可求，得到与的关系式，则的值可求. 【详解】（1）设，， 由得，即，故. 因为点，在圆上，所以，解得：， 所以，又，所以. （2）依题意，，，直线的方程为， 联立方程组，整理得：， 所以，，故. 同理可得. 因为，，三点共线，所以，即， 整理可得：， 显然，故. 设，则，解得， 即，所以，所以. 16．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆C的方程； (2)若、在圆上，直线，的斜率之积为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据直线与圆相切及圆过点与列方程，可得圆心坐标，进而可得半径与方程. （2）当直线斜率存在时，设，联立直线与圆，结合韦达定理，表示，化简可得，或，据此确定过定点；当斜率不存在时，，表示，解方程可得，可确定仍过上述定点. 【详解】（1） 设， 直线：即， 由圆与直线相切于， 则，即，可得 又圆过点，所以，即， 解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为； （2）当直线斜率存在时，设，，， 联立直线与圆，得， 则，即， ，，，， 又，， 所以， 即， 则， 解得或，都满足 所以方程为或， 即或， 当直线方程为时，恒过点，不成立， 当直线方程为时，恒过； 当直线斜率不存在时，设直线，则，， 则，， 所以， 解得：（舍）或， 即方程为，仍过， 综上所述，直线恒过定点. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 17．（24-25高二上·江苏南通·期中）双曲线的左右焦点分别是与，且焦距为4． (1)若是上一点，，求； (2)设直线经过交的右支于两点． ①求的取值范围； ②点在上，且，过作斜率为的直线与过作斜率为的直线交于点，若，且．求证：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据双曲线定义分点在双曲线左支，右支两种情况讨论求解即可； （2）①分直线的斜率不存在、存在讨论求解即可； ②结合题意设直线的方程为，，联立直线与双曲线方程结合韦达定理求出点的轨迹方程，由直线的方程为，设，联立直线与双曲线可得的坐标，联立点的轨迹方程与直线的方程求出点的坐标，进而结合中点坐标公式验证即可. 【详解】（1）由题意，，则，又，所以，即， 则双曲线， 当点在双曲线左支上时，，符合题意， 则； 当点在双曲线右支上时，，不符合题意. 综上所述，. （2）①由（1）知，双曲线，，双曲线渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，，则； 当直线的斜率为：时， 此时直线与双曲线右支只有1个交点，不符合题意； 当直线的斜率为：或时， 设直线的方程为，设， 联立，得， 则，， 所以， 由于或，则，即. 综上所述，的取值范围为. ②证明：由题意，结合①，设直线的方程为，， 联立，得， 则，， 又，， 所以， 设，则， 两式相减得，， 又， 所以， 即， 两式相加得，， 又， 所以 即， 因此，点的轨迹方程为，，其中为直线的斜率，， 由，则直线的方程为，设， 由①知，， 所以， 联立，解得， 则，， 所以点为中点，即. 【点睛】关键点点睛：本题第2问关键在于联立直线与双曲线方程结合韦达定理求出点的轨迹方程，进而求出坐标，结合中点坐标公式验证即可. 18．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l方程为，过作直线的垂线，垂足分别为，点R为线段的中点，求证：四边形为梯形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组即可； （2）直线与椭圆方程联立，将问题转化为证明，即证即可. 【详解】（1）由题意可知：，，解方程组得：，所以椭圆的标准方程为：. （2）设，则， 直线与椭圆方程联立得： ， 所以， ， 所以，，而与不平行，所以四边形为梯形.    【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，关键有两点： 1.将问题转化为； 2.与的表达式不易观察出结论，需要进一步转化为，在计算的过程中需要利用韦达定理，有一定的计算量. 19．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过两点. (1)求的方程； (2)过点的两直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，且，的中点为，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知点建立方程组，可得答案； （2）法1：设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，结合中点坐标，可得答案； 法2：设出坐标轴上点的坐标，整理直线方程，联立椭圆方程，求得两点，写出直线方程，可得答案. 【详解】（1）设椭圆的方程为，过，， 则，解得， 所以椭圆的方程为： . （2）法1：设线 设直线的方程为，，， 联立，得， 由， 由韦达定理得，， 因为，则直线， 令，解得，即，同理可得， 则，即， 整理得， ， 即，所以， 解得或， 当时，，过定点，舍， 当时，，过定点， 所以直线过定点 法2：设点 设，， 因为，则直线，， 联立，得， 联立，得， 则 ， 所以， ， 即， 所以直线过定点. 20．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆的另外一个交点为，当的面积最大时，求直线的方程； (3)若点、是直线上不同的两点，则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当直线时，直线的方向向量称为直线的法向量．设、为实数，直线的一个法向量为，为直线上任一点，点为坐标平面内的定点，我们把称为点在直线上的投影数量．当与椭圆相切时，点、在直线上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，且定值为 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）求出直线的方程，设点，其中，利用点到直线的距离公式，辅助角公式可求得点到直线距离的最大值及其对应的的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程； （3）设直线与椭圆相切于点，则，先证明椭圆在点处的切线方程为，可得出直线的一个法向量，再利用投影的概念可求得点、在直线上的投影数量的乘积，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）易知点，直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 若的面积最大，则点到直线的距离取最大值， 设点，其中， 则点到直线的距离为， 因为，则， 故当时，即当时，取最大值，此时点， 所以，直线的斜率为，则直线的方程为， 故当的面积最大时，直线的方程为. （3）若直线的方程为，则该直线的斜率为，该直线的一个方向向量为， 该直线的一个法向量为， 设直线与椭圆相切于点，则， 首先证明椭圆在点处的切线方程为， 联立可得，解得， 所以，椭圆在点处的切线方程为，即， 所以，直线的一个法向量为， ，， 所以，点在直线上的投影为， 点在直线上的投影为， 所以，点、在直线上的投影数量的乘积为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（76题大压轴题） 选填小压轴 题型1 直线与线段相交关系求斜率取值范围 题型7 椭圆离心率 题型2 直线中的对称问题 题型8 双曲线离心率 题型3 圆中距离最值问题 题型9 抛物线性质 题型4 直线与圆的位置关系 题型10 直线与圆锥曲线位置关系 题型5 圆与圆的位置关系 题型11 圆锥曲线中参数最值范围问题 题型6 椭圆中焦点三角形 解答题压轴 题型1 圆的综合性质 题型6 双曲线中的面积问题 题型2 椭圆中面积问题 题型7 双曲线中的参数范围、最值问题 题型3 椭圆中的参数范围、最值问题 题型8 双曲线中的定点、定值、定直线问题 题型4 椭圆中的定点、定值、定直线问题 题型9 抛物线中面积问题 题型5 椭圆中的向量问题 题型10抛物线中的参数范围、最值问题 题型11抛物线中的定点、定值、定直线问题 选填小压轴 题型一 直线与线段相交关系求斜率取值范围（共2小题） 1．（多选）（24-25高二上·江苏南京·期中）直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 2．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 题型二 直线中的对称问题（共3小题） 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 题型三 圆中距离最值问题（共3小题） 6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为 ，若点，则的最小值为 ． 7．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为 8．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知点A，B为圆上两动点，且，点P为直线上动点，则的最小值为 ． 题型四 直线与圆的位置关系（共5小题） 9．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点，以为圆心，FO（O为坐标原点）为半径作圆F.直线与圆交于M，N两点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，若为正三角形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏扬州·期中）若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，且，则实数的取值范围为 . 11．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线与圆交于A，B两点，则面积的最大值为 ． 12．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，给定两点，点P在x轴的正半轴上，当最大时，点P横坐标为 . 13．（24-25高二上·江苏无锡·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 题型五 圆与圆的位置关系（共4小题） 14．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为1 C．切线长的最小值为1 D．直线恒过定点 16．（24-25高二上·江苏无锡·期中）“晚旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月（如图阴影部分）．已知圆，，其中．为圆与圆的交点，若弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧，则组成“晚旁”的两段弧长之比为 ．（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1．）    17．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则 ；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是 ． 题型六 椭圆中焦点三角形（共5小题） 18．（24-25高二上·江苏淮安·期中）若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于两点，设的内切圆的半径为，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知椭圆，A，B为左右两个顶点，，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（    ）． A． B．的范围是 C．若直线l过点与椭圆交于M，N，则 D．若，则 19．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 20．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 21．（多选）（22-23高二上·江苏常州·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（    ） A．当时， B．的取值范围为 C．的面积的最大值为 D．椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形 题型七 椭圆离心率（共4小题） 22．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于第一象限的点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·江苏淮安·期中）如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，直线且在第一象限交椭圆于点，设与的交点为，若，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 25．（23-24高二上·江苏无锡·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为 ． 题型八 双曲线离心率（共5小题） 26．（24-25高二上·江苏南通·期中）在直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，，是双曲线的两个焦点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·江苏徐州·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，点P是其右支上一点．若，，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知抛物线，点为抛物线的焦点，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上，中，，当取最小值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 . 31．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，过的右焦点且斜率为1的直线交于两点，且原点到直线的距离等于的虚轴长，则的离心率为 ． 题型九 抛物线性质（共 4小题） 32．（多选）（24-25高二上·江苏徐州·期中）抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（    ） A．与圆相切 B．当时， C．的最小值为 D．满足的点有且仅有2个 33．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为 ，此抛物线的顶点坐标为 . 34．（24-25高二上·江苏常州·期中）过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 题型十 直线与圆锥曲线位置关系（共5小题） 35．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知F、为椭圆C：的左、右焦点，直线l：（）与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（   ） A．四边形周长为8 B．的最小值为 C．直线BE的斜率为2k D． 36．（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的焦距为4，，为左右焦点，A，B，D为双曲线上不同的三点，其中A，B两点关于原点对称，直线DA与DB斜率的乘积为1，则下列说法正确的是（    ） A．若过点F2的直线l与C的右半支交于两点，则直线l的倾斜角的取值范围为 B．若P为双曲线C上一点，且，则 C．若N为双曲线C上任意一点，则 D．若M为双曲线右支上一点，延长MF2交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为，，则 37．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知，，点P满足．则（    ） A．点P的轨迹为双曲线 B．直线上存在满足题意的点P C．满足的点P共有0个 D．的周长的取值范围是 38．（多选）（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线的焦点为，、、为抛物线上的点，，若抛物线在点、处的切线的斜率分别为、，且两切线交于点、为抛物线的准线与轴的交点，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．直线的倾斜角 C．若，则直线的方程为 D．的最小值为 39．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则的最小值为 . 题型十一 圆锥曲线中参数最值范围问题（共4小题） 40．（24-25高二上·江苏·期中）已知曲线是椭圆，则该椭圆的离心率为 ；为上任意一点，与点之间的距离的最大值为 ． 41．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 ． 42．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ． 43．（23-24高二下·江苏盐城·期中）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 . 解答压轴 题型一 圆的综合性质（共4小题） 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线恰与圆相切，求直线的方程； (3)圆关于直线对称圆是圆，设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． 2．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程 (1)若过点的直线与圆C相切，求切线的方程； (2)点P在直线上，过P作圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N，问经过P，M，N的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标； (3)过点的动直线l与圆C交于E，F两点，线段EF的中点为G，若构成等腰三角形，求此时点G的坐标. 3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点. (1)求的坐标； (2)过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上. ①若，求的坐标及线段的长； ②设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 4．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； (3)过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 题型二 椭圆中面积问题（共4小题） 5．（24-25高三上·江苏连云港·期中）已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的离心率； (2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于M，N两点（点在轴的上方），且，若的面积为，求的值. 6．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知椭圆的短轴长为，离心率为分别是椭圆的上下顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)求面积的最大值. 7．（23-24高三上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知，圆与轴切于点，又过作圆异于轴的两切线，设这两切线交于点. (1)求点的轨迹方程; (2)设为坐标原点，是的轨迹上的不同两点且不关于原点对称，若直线的斜率分别为和，若，求的面积. 8．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆焦距为，离心率为. (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于、两个不同的点，记的面积为，求的最大值. 题型三 椭圆中的参数范围、最值问题（共4小题） 9．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点， ①若，求线段OM的长度； ②求点到直线OM的距离的最小值. 10．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)，为椭圆上两个不同的点，且， ①求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； ②过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 11．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，D为线段AC的中点，直线OD与椭圆E交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方． (1)设直线CQ，AQ分别与直线MN交于点E，F，且满足，求点C的坐标； (2)求的最大值． 12．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆过点和． (1)求C的方程； (2)设直线l：，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，求的最小值． 题型四 椭圆中的定点、定值、定直线问题（共4小题） 13．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 14．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 15．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆的左，右焦点分别为是椭圆上一动点，且的最大值为2. (1)求椭圆的方程； (2)记到椭圆在点处切线的距离为，求的值； (3)若射线与直线交于点，点在射线上，满足. 过点作直线与椭圆相交于点，且点为弦的中点，证明：直线过定点. 16．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆方程； (2)点分别为椭圆的上下顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，探究直线的交点是否在一条定直线上，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由. 题型五 椭圆中的向量问题（共2小题） 17．（24-25高二上·江苏无锡·期中）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比． (1)求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程． (2)已知椭圆，椭圆与椭圆的相似比为． ①若直线与椭圆相切，且与椭圆交于两点，求的取值范围； ②过点作斜率不为的直线与椭圆交于两点（在的上方），直线与椭圆交于两点（在的上方）．是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 18．（23-24高三上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为． (1)求椭圆的离心率； (2)设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线． 题型六 双曲线中的面积问题（共3小题） 19．（23-24高二上·江苏常州·期中）在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求M点的坐标，使得的面积最小. 20．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线C的左右焦点分别为，，直线l过且与双曲线C相交于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长； (3)若的面积是12，求直线AB的方程. 21．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点A是曲线C左支上一点，线段与C的另一交点为B．若的面积为8，求直线AB的斜率． 题型七 双曲线中的参数范围、最值问题（共3小题） 22．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与相交于不同的两点，若的面积不小于，求直线斜率的取值范围. 23．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知圆和定点为圆上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线PC交于点，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若是曲线上的一点，过的直线与直线分别交于S，T两点，且为线段ST的中点． ①求证：直线l与曲线有且只有一个公共点； ②求的最小值（为坐标原点）． 24．（22-23高三上·江苏南京·期中）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围． 题型八 双曲线中的定点、定值、定直线问题（共4小题） 25．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 26．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为， （i）若为双曲线的右顶点，求三角形的面积 （ii）若，求点的坐标. 27．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． (1)求点M的轨迹方程； (2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 28．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上. 题型九 抛物线中面积问题（共1小题） 29．（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为． (1)求的值． (2)已知点，、为抛物线上位于第二象限的两点，且在下方，已知直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，求三角形的面积． 题型十 抛物线中的参数范围、最值问题（共2小题） 30．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 31．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点，直线l：，动点P到点F间的距离等于它到直线l的距离． (1)试判断动点P的轨迹C的形状，并写出C的方程； (2)求动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值． 题型十一抛物线中的定点、定值、定直线问题（共4小题） 32．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线经过点，焦点为，过作两条直线与抛物线交于四点，其中在第一象限，且在的左侧． (1)求的方程； (2)若直线与轴交于点，求直线与轴的交点坐标； (3)设直线与的斜率分别为，若，试问：直线是否过定点，若过请求出定点坐标；若不过，请说明理由． 33．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点. (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上. 34．（24-25高二上·江苏·期中）若动点到点的距离比它到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过轨迹上一点作直线交轴正半轴于点，且.若直线，直线与轨迹有且仅有一个公共点，证明直线AE过定点，并求出定点坐标. 35．（24-25高二上·江苏连云港·期中）设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值. 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．8 6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 7．（多选）（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知点，直线l：，曲线C上的点满足到F的距离与到l的距离之积为16，则下列说法正确的有（   ） A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C经过坐标原点 C．设曲线C上动点到直线的距离为d，则的最小值为 D．当点在曲线C上时，的最小值为 8．（多选）（23-24高三上·江苏南通·期中）已知点P满足，点，，，则（   ） A．当最小时， B．当最大时， C．当面积最大时， D．当最大时，面积为 9．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期中）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线与直线有3个公共点 B．曲线与圆有4个公共点 C．曲线所围成的图形的面积为： D．若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 10．（多选）（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知曲线，则（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的周长为 C．曲线所围成图形的面积为 D．曲线与直线有3个公共点 11．（多选）（24-25高二下·江苏南京·期中）已知双曲线的左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点（从左到右）．下列说法正确的是（    ） A．若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为． B．若，且为线段的中点，则的离心率为 C．若，且为线段的中点，则的离心率为 D．若的离心率为2，则存在无数条直线，使 12．（多选）（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．内切圆的半径为 C．△的外接圆方程为 D．△与△内切圆半径之和的最大值为 13．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为椭圆上异于的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为20 C．的外接圆圆心到x轴的距离的最小值为 D．直线的斜率之差可能为1 14．（多选）（24-25高二上·江苏徐州·期中）造型为“”的曲线称为双纽线，在平面直角坐标系xOy中，与定点距离之积等于的动点的轨迹为双纽线．记时的双纽线为曲线，点是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为4 B．点的横坐标的取值范围是 C．面积的最大值为2 D．若点的坐标为，则 15．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点. (1)若，求实数的值； (2)设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值. 16．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆C的方程； (2)若、在圆上，直线，的斜率之积为，证明：直线过定点． 17．（24-25高二上·江苏南通·期中）双曲线的左右焦点分别是与，且焦距为4． (1)若是上一点，，求； (2)设直线经过交的右支于两点． ①求的取值范围； ②点在上，且，过作斜率为的直线与过作斜率为的直线交于点，若，且．求证：． 18．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l方程为，过作直线的垂线，垂足分别为，点R为线段的中点，求证：四边形为梯形. 19．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过两点. (1)求的方程； (2)过点的两直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，且，的中点为，证明：直线过定点. 20．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆的另外一个交点为，当的面积最大时，求直线的方程； (3)若点、是直线上不同的两点，则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当直线时，直线的方向向量称为直线的法向量．设、为实数，直线的一个法向量为，为直线上任一点，点为坐标平面内的定点，我们把称为点在直线上的投影数量．当与椭圆相切时，点、在直线上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $