专题03 椭圆（期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题03 椭圆 题型1 椭圆定义辨析 题型6 椭圆中焦点三角形其他问题（常考点） 题型2 根据椭圆定义求方程（常考点） 题型7 判断方程是否表示椭圆（常考点） 题型3 椭圆中和、差最值问题（重点） 题型8求椭圆方程（重点） 题型4椭圆中焦点三角形周长问题（常考点） 题型9 椭圆离心率（定值）（重点） 题型5 椭圆中焦点三角形面积问题（常考点） 题型10 椭圆离心率最值（范围）（重点）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 椭圆定义辨析（共3小题） 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【分析】解法1：设的中点为，则，把点代入椭圆方程、化简，判断轨迹形状； 解法2：利用圆锥曲线的定义和三角形中位线解得，可判断点的轨迹． 【详解】解法1：设的中点为，则， 又点在椭圆上，所以，化简得，即的中点的轨迹是椭圆． 解法2：如图，取的中点，连接，则为的中位线． 因为，所以点的轨迹是椭圆． 故选：A． 2．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果. 【详解】因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：A 3．如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【分析】由题意可知方程表示出动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，而，从而可判断出其轨迹. 【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 题型二 根据椭圆定义求方程（共4小题） 4．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案. 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 5．平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，求得，从而得解. 【详解】由题意，平面内点P到，的距离之和是8， 所以动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，且，即， 所以， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：D. 6．已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【详解】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 7．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动圆半径为.根据圆与圆的位置关系可得，，再利用椭圆的定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而可求得方程. 【详解】圆：和：的圆心和半径分别为， 由可知圆内含于圆内. 设动圆半径为， 由题意可得，， 两式相加可得， 故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C. 题型三 椭圆中和、差最值问题（共3小题） 8．为椭圆上任意一点，，，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，当且仅当，，三点共线且点在第二象限时，为最大值. 【详解】由椭圆，可得，，，所以可知为椭圆的下焦点， 设为椭圆上焦点，又因为为椭圆上任意一点，所以由椭圆定义可知：， 即，因为当，，三点共线且点在第二象限时有最大值， 即，又因为， 所以. 故选：D. 9．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设椭圆的右焦点，利用椭圆的定义将转化成，根据三点共线以及点点距离公式进行求解即可． 【详解】不妨设椭圆的右焦点， 因为点是椭圆上的动点， 所以， 则， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 又， 则的最小值为． 故答案为：． 10．已知点，，分别是椭圆：的左，右焦点，P是椭圆C上的一动点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义结合三角形三边关系计算即可. 【详解】由椭圆方程可知，椭圆长轴长， 则， 当且仅当P是线段与椭圆的交点时取得最小值. 故答案为：.    题型四 椭圆中焦点三角形周长问题（共3小题） 11．椭圆：的上、下顶点分别为，，椭圆：与的一个交点为M，则的周长为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，可得，就是椭圆的焦点，再根据椭圆的定义，即可求的周长. 【详解】椭圆：的上、下顶点分别为，， 则，， 又椭圆：， 则椭圆的焦点为，， 则的周长为 故选：D 12．椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为 . 【答案】 【分析】利用，求出c，利用椭圆的定义即可求出焦点三角形的周长. 【详解】因为，，所以， 故的周长为. 故答案为： 13．已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 【答案】20 【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】椭圆,所以， 得，则椭圆的右焦点为， 所以直线经过椭圆的右焦点， 由椭圆的定义可知，的周长为 . 故答案为：20. 题型五 椭圆中焦点三角形面积问题（共3小题） 14．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【详解】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C．    15．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，可得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A 16．已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】设椭圆的方程为,由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程； 在焦点三角形中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积． 【详解】（1）由题意，设椭圆的方程为， ∵焦点为，， ∴， 又， 所以，， ，． 所求椭圆的方程为． （2）在中，由余弦定理得 即， ∴， ∴， 所以. 题型六 椭圆中焦点三角形其他问题（共4小题） 17．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可知，可得，然后可求. 【详解】， ， 又椭圆， 则， . 故选：D. 18．已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆上，所以，解得， 即，， 所以． 故选：A． 19．（多选）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】AC 【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论. 【详解】如图：    因为椭圆的标准方程为：，所以：，，. 因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率， 所以必是：. 根据椭圆的定义，，故A正确； 在中，，， 由余弦定理：，故B错误； 由，到轴的距离为：，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】法一：设点，由余弦定理得，再根据等面积法得出，进而得出；法二：设点，由椭圆焦点三角形的面积为，即可得出，进而得出． 【详解】法一：由椭圆方程可得，，则． 在焦点三角形中，因为，， 由余弦定理得，， 即，所以． 设点，因为， 所以，代入椭圆方程得到， 即点的坐标为或． 法二：设点，则椭圆焦点三角形的面积为． 因为，，， 所以，代入椭圆方程得到，即点的坐标为或． 故答案为：或． 题型七 判断方程是否表示椭圆（共4小题） 21．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，再进一步判断即可. 【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 22．“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点位置求出参数范围，再结合充分不必要条件的概念求解即可. 【详解】若椭圆 的焦点在y轴，则，解得. 对于A，由能推出，反之不成立，符合题意； 对于B，由不能推出，不符合题意； 对于C，显然为充要条件，不符合题意； 对于D，由不能推出，不符合题意； 故选：A 23．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示椭圆列出不等式组得解. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得或. 所以实数的取值范围是. 故选：D. 24．若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 【答案】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故答案为：. 题型八 求椭圆方程（共4小题） 25．若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 26．若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】分焦点在轴上或轴上，两种情况，结合椭圆性质讨论求解即可. 【详解】因为焦距为8，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，椭圆不存在，舍去； 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，，所以，椭圆存在， 故椭圆的焦点在轴上，标准方程为． 故选：C 27．与椭圆有相同焦点且过点的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义，结合两点距离求解，即可求解. 【详解】的焦点为， ， 故， 因此所求的椭圆方程为， 故选：B 28．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点位置设出椭圆方程，把点的坐标代入椭圆方程求解即可； （2）设出椭圆方程，将两点代入椭圆方程，列式计算即可求解． （3）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． 【详解】（1）由题知：焦点在轴，且， 设椭圆标准方程为，则， 由椭圆过点知，解得或（舍去）． 所以椭圆的标准方程为． （2）椭圆经过，两点， 设所求椭圆的方程为， 把点、代入得，解得， 所以所求椭圆的方程为． （3）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为 题型九 椭圆离心率（定值） （共4小题） 29．已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率. 【详解】如图：    设，则，因为四边形为矩形，所以. 所以，. 所以. 故选：C 30．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等面积法可得，结合可得，继而利用比例的性质可得，即得答案. 【详解】由题意知的平分线交轴于点，故， 故，（d为的边上的高）， 即得，结合可得， 所以， 对于有， 故，即的离心率为. 故选：A 31．椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，设，有，由和，消去得，可求椭圆离心率. 【详解】设，由椭圆的定义可得， 直线的斜率为2，则， 又，中，， 设，有， 由，得， 又，消去得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 32．在中，，，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】先根据余弦定理得到，再结合题设及椭圆的定义可得，，进而求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 则，即， 由于椭圆以A，B为焦点，则，即， 又椭圆经过点C，所以，则，即， 所以该椭圆的离心率. 故答案为：.    题型十 椭圆离心率最值（范围）（共4小题） 33．法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率的范围. 【详解】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，因为A，B为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，又椭圆的离心率大于零， 则椭圆的离心率的取值范围是．    34．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线如图所示，其中．该曲线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在点使得，则半椭圆的离心率的取值范围为 ．    【答案】 【分析】方法1：设，根据已知条件先将向量表示出来，然后根据向量的数量积为0列出方程进行求解即可； 方法2：设，然后将向量表示出来，然后根据向量的数量积为0列出方程进行求解即可. 【详解】方法1：设，因为，所以 所以． 因为，所以． 因为存在点使得，即， 所以在上有解． 因为，且， 所以在上有解，即在上有解． 因为，所以即解得． 方法2：设，由题意存在点使得，即， 因为，所以 所以所以．因为，所以． 因为，所以即解得． 故答案为：. 35．设，为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，由椭圆的定义及已知得，问题化为在上存在零点，得到椭圆参数的齐次式求离心率范围. 【详解】令，则，即，且， 由，则，可得， 所以在上存在零点， 又开口向上且对称轴为，则， 所以，可得，即. 故答案为： 36．已知，分别是椭圆的左、右焦点，若该椭圆上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，利用得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，进而得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果. 【详解】设，， 则由，可得，所以①． 又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②， 由方程组①②可得，因为， 所以，即，解得． ∴该椭圆的离心率的取值范围是． 故答案为：． $专题03 椭圆 题型1 椭圆定义辨析 题型6 椭圆中焦点三角形其他问题（常考点） 题型2 根据椭圆定义求方程（常考点） 题型7 判断方程是否表示椭圆（常考点） 题型3 椭圆中和、差最值问题（重点） 题型8求椭圆方程（重点） 题型4椭圆中焦点三角形周长问题（常考点） 题型9 椭圆离心率（定值）（重点） 题型5 椭圆中焦点三角形面积问题（常考点） 题型10 椭圆离心率最值（范围）（重点）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 椭圆定义辨析（共3小题） 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 3．如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 题型二 根据椭圆定义求方程（共4小题） 4．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 5．平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 题型三 椭圆中和、差最值问题（共3小题） 8．为椭圆上任意一点，，，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 9．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 . 10．已知点，，分别是椭圆：的左，右焦点，P是椭圆C上的一动点，则的最小值是 . 题型四 椭圆中焦点三角形周长问题（共3小题） 11．椭圆：的上、下顶点分别为，，椭圆：与的一个交点为M，则的周长为（    ） A．4 B． C． D．6 12．椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为 . 13．已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 题型五 椭圆中焦点三角形面积问题（共3小题） 14．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D．   15．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 16．已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 题型六 椭圆中焦点三角形其他问题（共4小题） 17．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 18．已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 19．（多选）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若，则点的坐标为 ． 题型七 判断方程是否表示椭圆（共4小题） 21．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 23．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 24．若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 题型八 求椭圆方程（共4小题） 25．若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 26．若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 27．与椭圆有相同焦点且过点的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 28．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点 题型九 椭圆离心率（定值） （共4小题） 29．已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 30．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 31．椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 32．在中，，，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 . 题型十 椭圆离心率最值（范围）（共4小题） 33．法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 34．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线如图所示，其中．该曲线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在点使得，则半椭圆的离心率的取值范围为 ．    35．设，为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 36．已知，分别是椭圆的左、右焦点，若该椭圆上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． $