专题06 圆锥曲线综合（期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题06 圆锥曲线综合 题型1 直线与椭圆的位置关系（常考点） 题型9 双曲线中参数范围及最值（重点） 题型2 椭圆弦长、面积（重点） 题型10 双曲线中定点、定值、定直线（难点） 题型3 椭圆中点弦 （重点） 题型11 直线与抛物线位置关系（常考点） 题型4椭圆中参数范围及最值（重点） 题型12 抛物线弦长（重点） 题型5 椭圆中定点、定值、定直线（难点） 题型13 抛物线中点弦（重点） 题型6 直线与双曲线位置关系（常考点） 题型14 抛物线中参数范围及最值 题型7 双曲线弦长、面积（难点） 题型15 抛物线中定点、定值、定直线（难点） 题型8双曲线中点弦（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线与椭圆的位置关系（共5小题） 1．已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 2．已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【详解】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A 3．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断. 【详解】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D 4．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据点在椭圆上或椭圆内，结合二次方程表示椭圆，即可求得参数的范围. 【详解】表示椭圆，故可得，且； 又直线过点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故； 综上所述，，且. 故选：C. 5．已知为椭圆上一点，且直线与有且仅有一个交点，则的焦距为 . 【答案】 【分析】将代入椭圆方程，结合题意及关系及焦距定义即可求解. 【详解】将代入椭圆方程，得到， 又因为直线与仅有一个交点，所以， 进而解得，所以的焦距为. 故答案为：. 题型二 椭圆弦长、面积（共5小题） 6．已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求 (1)椭圆的方程； (2)弦的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线过与，得到的关系式，再结合离心率求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两交点坐标的关系式，再用弦长公式求解即可. 【详解】（1） 由被椭圆截得的弦长为，得，① 又，即，所以.② 联立①②得，所以所求的椭圆的方程为； （2）椭圆的右焦点的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 由韦达定理知，， 从而. 由弦长公式，得， 即弦的长度为. 7．已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由离心率定义求解； （2）设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【详解】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 8．如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为 (2) 【分析】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【详解】（1）由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. （2）由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 9．已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 10．已知椭圆． (1)求该椭圆的离心率； (2)若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线切点分别为，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆离心率定义即可求得该椭圆的离心率； （2）先求得直线的方程，求得弦的长度，进而求得的面积表达式，进而求得的面积的最小值． 【详解】（1）椭圆中，，则， 则，则椭圆的离心率为 （2）设，， 设过点的切线方程为， 由， 则， 此时方程的根为： ， 则切线方程为：， 当切线斜率不存在时，其切点为或，切线方程为：，满足， 所以过点的椭圆的切线方程为：， 同理过点的切线方程为， 又在两条切线上，则，， 则直线AB的方程为，即 由整理得，， 则， 则 ， 又点M到直线AB的距离， 则的面积为 令，则，， 则， 令，， 则恒成立， 则在上单调递增，则 当且仅当即点M坐标为时等号成立， 则的面积的最小值为. 题型三 椭圆中点弦 （共5小题） 11．已知椭圆及直线． (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长； (3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)； (3)且. 【分析】（1）联立椭圆与直线得一元二次方程，利用求参数范围； （2）根据题设条件求交点坐标，利用两点式求弦长； （3）应用韦达定理求中点坐标，即可得轨迹方程. 【详解】（1）联立直线与椭圆，可得， 整理得， 由直线与椭圆有公共点，故，可得. （2）由题设及（1），联立直线与椭圆得，则或， 而直线为，当有，当有， 所以弦长为. （3）由（1）有，令直线与椭圆交点为， 所以，则，故中点坐标为， 由，则， 所以弦的中点的轨迹方程为，即且. 12．已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意求出、、的值，即可求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理及中点公式求出直线斜率，即可求解． 【详解】（1）由题意可知，得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）由题意可知直线斜率存在， 设，设，，，， 联立方程组， 消得， 因为， 设中点坐标为,， 所以，所以， 所以或， 当，中点坐标为,直线方程为：，即． 当，中点坐标为,直线方程为：，即. 13．已知椭圆的焦距为，短半轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）利用点差法求解即可. 【详解】（1）因为，，所以， 故椭圆C的方程为． （2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，， 则两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以， 所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意. 14．已知椭圆. (1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程; (2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程; (3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【答案】(1)（）. (2)（）. (3). 【分析】（1）设弦的两端点为，线段的中点为，由点差法可得，代入可得方程，联立求轨迹范围，由此可得结论， （2）由（1），代入可得，联立求轨迹范围， （3）由（1），代入，可得，利用点斜式求直线方程. 【详解】（1）设弦的两端点为，线段的中点为， 则有，. 两式作差，得. 因为，，， 代入后求得　①. 所以，所以. 联立可得，或 故所求的轨迹方程为（） （2）由①式，得. 又因为，所以-. 整理得， 联立可得或， 故所求的轨迹方程为（）. （3）由①式，得弦所在的直线的斜率， 又，所以 所以其方程为，即. 15．已知椭圆的离心率，其右焦点到点的距离为，直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且与直线垂直，求的面积； (3)若直线过定点，若线段恰被点所平分，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设椭圆右焦点为，依题意得到、的方程组，即可求出椭圆方程； （2）首先求出直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出弦，再求出点到直线的距离，最后由面积公式计算可得； （3）设，，利用点差法求出中点弦的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】（1）设椭圆右焦点为， 则由题意得，解得，则， 所以椭圆方程为. （2）设，， 由及，所以， 所以直线为， 由，得，则， 所以，， ， 因为点到直线的距离为， 所以. （3）设，， 所以，， 两式作差得， 由于是的中点，故，， 所以， 所以，所以， 所以中点弦的方程为， 所求的直线方程． 题型四 椭圆中参数范围及最值 （共5小题） 16．已知过点的直线与椭圆交于不同的两点.若是弦的中点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设直线的参数方程为（为参数），与椭圆方程联立，由韦达定理得 ，进而得，进而求解. 【详解】根据题意，设直线的参数方程为（为参数）， 联立代入，得且． 设点对应的参数分别为，则有， 则， 所以，当时取得等号， 故选：C． 17．已知和椭圆，点在上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设点坐标，将表示为与点坐标相关的二次函数，求其最值. 【详解】  设，则，且，故， 所以， 所以当时，取得最大值，则的最大值为． 另解： 设，又，则， 当时，取得最大值，则的最大值为． 故选：A 18．已知椭圆的左、右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出直线的方程，表示出，利用函数单调性可得答案. 【详解】由题意得，直线的方程为，则， 直线的方程为，故,， 由可得，整理得， 函数在上单调递减，即， 故选：C． 19．设，是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知当为短轴端点时取得最大值，即此时，分情况讨论当椭圆焦点在两坐标轴上时，长轴与短轴的范围，即可得解. 【详解】 由已知当点运动到短轴的端点时，取最大值，此时， 当时，椭圆的长轴在轴上，如图1所示， 令，， 由，可知， 则，则，即； 当时，椭圆的长轴在轴上， 如图2所示，令，， 由，可知， 则，则，即； 综上所述，， 故选：A． 20．已知椭圆的左右焦点分别为、，过作直线交椭圆于、两点，其中点在轴下方，内切圆交边于点，则线段的长度取值范围为 . 【答案】 【分析】根据内切圆的有关性质知，，结合椭圆的定义可推出，注意到点在下方，所以，. 【详解】因为的内切圆交边于点，所以, 又因为在椭圆中，, 所以， 而，（等号取不到）因此. 故答案为：. 题型五 椭圆中定点、定值、定直线（共5小题） 21．已知椭圆，其中，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程及上顶点的坐标； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意列方程组式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【详解】（1）由题意可得，解得. 所以椭圆方程为. 上顶点的坐标为； （2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 设， 联立方程，消去得： ， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 所以线段的中点是定点. 22．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程. (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）的值为1. 【分析】（1）根据题意先判断三点在椭圆上，再代入椭圆方程解方程组即可求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，，与椭圆方程联立，利用韦达定理得，求得面积，令，得，最后利用均值不等式即可求解； （ⅱ）由得，即点在线段的垂直平分线上，得，利用两点间的距离公式计算，代入得，又，代入即可求解. 【详解】（1）由对称性知，和在椭圆上， 所以所以，椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则，，则或. 所以， 所以面积. 令，则，， 当且仅当，即时，面积的最大值为1. （ⅱ）因为，所以直线，的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 所以，同理得， ，. 所以， 于是， 因为， 所以. 所以的值为1. 23．已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得，即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程即可得到坐标，再结合椭圆的性质即可得到三角形的周长；（ii）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，然后分别联立直线与椭圆方程，表示出的纵坐标，再由代入计算，即可得到的关系，即可得到结果. 【详解】（1）依题意可得，则，因为焦点，则， 所以椭圆方程为. （2）（i）当直线的斜率为时，则直线方程为， 与椭圆方程联立，解得， 不妨设点，， 则， 设椭圆的左焦点为， 由椭圆的性质可得， 所以的周长为， 又， 所以的周长为， 所以当直线的斜率为1时，求的周长为. （ii）依题意可设直线， 与椭圆方程联立可得，整理可得， 设， 则， 设直线，与椭圆方程联立可得， 整理可得， 设， 则， 又，所以， 同理可得， 由题意与关于原点对称，所以， 即， 整理可得， 即， ， 将代入上式可得， 又不恒为，故， 所以直线恒过点. 24．已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用椭圆的离心率及所过的点列式求出即可. （2）（i）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出；（ii）法一：利用椭圆对称性，结合（i）的结论求出的斜率，进而求出直线方程，再求出点横坐标即可；法二：由椭圆对称性，结合（i）的信息求出的坐标，再利用斜率坐标公式求出的斜率，进而求出直线方程，再求出点横坐标即可. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由消去得，设点， 则，而，依题意， 所以. （ii）法一：设，由点关于原点的对称点为点，为中点，得， 直线的斜率，，， 由（i）得，解得，则直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 法二：由（i）得， 设，由点关于原点的对称点为点，得， 由三点共线，得，由三点共线，得， 则， 解得，因此直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 25．已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上，理由见详解. 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而得解； （2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线与椭圆联立消，设直线、的方程解出纵坐标，结合韦达定理化简计算即可. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）在定直线上，理由如下： 设点与直线联立消去整理得， 由，且， 所以， 易知，，则，， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 题型六 直线与双曲线位置关系（共5小题） 26．（多选）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】AD 【分析】利用双曲线的性质结合条件即可求出结果. 【详解】因为在双曲线中，或，又与双曲线有两个交点， 则或，所以选项A和D符合题意， 故选：AD. 27．过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为：，联立双曲线得到，解方程即可. 【详解】设直线的方程为：，联立双曲线得： 当时，方程有唯一解，此时. 当时，令，则 解得． 故答案为：. 28．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【答案】0 【分析】数形结合，可直接得到答案. 【详解】如图： 双曲线的渐近线方程为. 过原点的直线中，若斜率，则直线与双曲线有两个交点； 若或或直线斜率不存在，则直线与双曲线无交点. 所以过且与双曲线有且只有1个交点的直线不存在. 即满足条件的直线有0条. 故答案为：. 29．双曲线与直线的公共点个数 ； 【答案】0或1 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得已知直线与之重合或平行，即得结论. 【详解】由，可得双曲线的渐近线方程为：， 对于 直线，当时，直线与渐近线重合，两者无交点； 当时，因此时直线与双曲线渐近线平行，故只有一个公共点. 综上可得，双曲线与直线的公共点个数为0或1. 故答案为：0或1. 30．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】直线过，根据渐近线斜率可得到取值范围. 【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的其中一支有一个交点， 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 可得直线一定在两渐近线之间， 则k的取值范围为. 故答案为：. 题型七 双曲线弦长、面积（共5小题） 31．已知双曲线的左焦点为，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求，由关系求，写出方程； （2）由已知可得，求出直线方程，联立-消元-韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】（1）由已知可得，所以，所以， 所以的方程为. （2）因为是中点，所以点的横坐标为2，所以， 所以直线的斜率，方程为， 由，得， 设，则， 所以. 32．已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据斜率乘积得，再代入即可得其曲线方程； （2）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再计算得到的表达式即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意，故．解得． 将代入得，所以， 故双曲线的方程为． （2）过点的直线（与轴不重合），故设直线． 设，联立，整理得：， 且， 故， 故． 即， 则， 即， 解得或，即或： 故的方程为：或． 33．已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可； （2）设，根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程求出两点的坐标，求出，利用点到直线的距离公式求出的高，代入公式求解即可. 【详解】（1）由题得:， 解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设，如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：， 整理得：， 所以， 所以 所以 又因为点到直线的距离为： ， 所以的面积为. 34．已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AB的斜率k为定值； (3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离，求出，即得答案； （2）设，，利用点差法即可证明； （3）设出直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数关系式，表示出弦长以及原点到直线的距离，结合三角形面积求出参数，即可求得答案. 【详解】（1）双曲线（）右焦点的坐标为， 不妨取C的一条渐近线的方程为 即，所以 又，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）设，，则, 两式相减并整理得，, 因为线段AB的中点为，则， 所以，因为，所以， 所以直线的斜率k为定值2． （3）设直线，联立，消去得， 因为，所以， 则， 故， 点O到直线AB的距离为 所以， 整理得，解得（舍去），则，    又因为，所以直线AB的方程为 35．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值1 【分析】（1）根据离心率的概念，将点代入双曲线方程，建立方程组，解之即可求解； （2）由（1）求得，根据弦长公式和平行四边形的面积公式化简计算可得，结合即可证明. 【详解】（1）由已知可得，所以， 又因为，得①； 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②得，所以， 所以双曲线方程为：． （2）由（1）得双曲线渐近线方程为，， 设，则，， 联立和，解得交点， 则平行线和之间的距离， 则平行四边形的面积， 由于在双曲线上，则，所以， 所以平行四边形的面积为定值1.    题型八 双曲线中点弦 （共5小题） 36．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 37．已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意条件，结合双曲线性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 38．已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点.若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】 【分析】设，根据题意利用点差法可得直线的斜率，即可得方程，注意检验. 【详解】设，则，直线的斜率， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即，经检验符合题意， 所以直线的方程为，即. 39．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 40．已知双曲线 ，过点 作直线 ，若 是 与 交点的中点，求 的方程，并判断是否存在这样的直线. 【答案】，存在 【分析】利用点差法计算求出直线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求出直线方程，将直线方程代入双曲线方程消去可得关于的一元二次方程，结合即可下结论. 【详解】设直线与双曲线交于， 中点，则， 将代入双曲线方程有， 两式相减得：， 代入中点坐标：，即斜率. 得. 将直线方程代入双曲线方程得， 整理得， ， 方程有两个不同的实根，所以直线与双曲线有两个不同的交点， 故存在符合条件的直线. 题型九 双曲线中参数范围及最值（共 5小题） 41．在平面直角坐标系xOy中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】B 【分析】先求出渐近线方程，利用平行线直接的距离公式即可求解. 【详解】由点M到直线的距离大于m恒成立，可得点M到直线的最近距离大于m.因为双曲线的渐近线为，则与的距离即为最近距离，则，即. 故选：B 42．已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，所以，再根据双曲线性质得的范围，则，再利用二次函数求值域即可. 【详解】因为动点在双曲线的右支上，由双曲线定义可得：， 所以，因为，，所以，， 所以，将代入得： . 故选：B． 43．已知双曲线C：，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程可知该双曲线的渐近线方程为：， 即，设，有， 因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1， 所以有，把代入化简得， ， 故选：D 44．已知双曲线：（，）的渐近线方程为，其右焦点为F，若直线与在第一象限的交点为P且轴，则实数k的值为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，由轴得，利用斜率公式可得结果. 【详解】因为双曲线：（，）的渐近线方程为，依题意有， 即，又右焦点为，且轴，所以， 所以， 故答案为：.    45．已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线上关于原点对称的点，根据向量的坐标运算得到，然后练习双曲线方程，得，根据范围即可求解. 【详解】，设，则， ， ，化简得 ，因为满足双曲线方程，所以，因此可得： ，由 得 ，又，所以 . 故答案为： 题型十 双曲线中定点、定值、定直线（共 5小题） 46．已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上的三个不同点. ①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据虚轴长及渐近线方程可求出，即可得出曲线方程； （2）①设出点的坐标，根据三角形为等边三角形，利用边长相等求出点坐标即可得解； ②根据点差法及斜率公式表示出，再求出的中垂线，代入点坐标，所得两式相减即可得解. 【详解】（1）由题意，且，所以， 故曲线的方程为. （2）如图， ①若，设， 因为，所以. 因为在双曲线上，所以. 以上三个方程联立，解得或. 当时，则，由，得， 再由，可解得. 此时. 当时，因为在同一支上，则不满足条件，舍， 所以. ②根据条件均存在知均不为零， 设点，三角形外心， 则有， 两两相减可得：， 则的中垂线为， 将代入则：，整理得， 又点在直线上，所以有① 同理有的中垂线为， 又点在直线上，所以有② 由①②得，， 整理得：，即， 则有. 47．已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为. (1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值； (2)证明：； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，再借助点到直线距离公式计算即可得； （2）先推导过双曲线上的一点的切线方程，将其与两条渐近线方程联立计算可得、两点坐标，推理得到点为中点，即可证得； （3）借助向量数量积坐标公式计算即可. 【详解】（1）设，则有，即， 双曲线的两条渐近线的方程为，则， 故； （2）设，先证明：双曲线在处的切线方程为. 证明：由两边对求导：，即， 于是过点的切线斜率为：，则切线方程为：（*）， 因在双曲线上，则有， 故（*）可化成：，即得证. 记, 将代入，解得，， 将代入，解得， 则有， ， 即点为中点，故； （3）设，则， 又， 故. 【点睛】 48．已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据即可确定的值，设出点坐标表示出，根据即可求出，从而求出双曲线方程； （2）设出点,点坐标，表示出直线方程，联立后利用直线与双曲线联立所得韦达定理表示出点横坐标，可发现点在定直线上. 【详解】（1）由题意得，所以． 设，因为点P在C上，所以，即． 又，所以， 故C的方程为． （2）由（1）得，， 如图，设，，    联立消去得， 所以，， 易知直线AE的方程为， 直线BD的方程为， 联立得：， 即， 整理得， 则， 所以点Q的横坐标始终为1． 故点Q在定直线上． 49．已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的上焦点、离心率可求得的值，进而可求得双曲线方程. （2）设的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得，进而计算可求得的最小值. （3）直线的方程为，直线的方程为，联立方程线可求得交点的纵坐标为定值，可得结论. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为，， 联立，消去，可得， 则，且， 所以， 所以， 所以，所以， 当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点P在定直线上. 50．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，平行于渐近线的直线l过点，且到l的距离为． (1)求E的方程； (2)过坐标原点O的直线，分别交E于点A，B和C，D，其中点A，C在E的右支上，直线AC，BD分别交x轴于点P，Q，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设直线l的方程为，由点到直线的距离公式即可求得. （2）①假设直线的斜率为0，可得，②当直线，的斜率均不为0时，设的方程为，的方程为，，，，，分别联立与双曲线方程，可得，同理，由A，P，C三点共线，可得，同理得，化简即可求解. 【详解】（1）由焦点坐标得． 根据对称性可设直线l的方程为． 由到l的距离为得， 将代入得，所以， 故E的方程为． （2）①根据对称性假设直线的斜率为0，则A，B分别为E的两个顶点，故无论的斜率为多少总能得到P，Q分别与A，B重合， 由（1）得，即； ②当直线，的斜率均不为0时，如图：    设的方程为，的方程为，，，，， 联立，消去得，，解得， 此时，同理． 设，， 因为A，P，C三点共线， 所以，即， 将，代入得． 因为B，Q，D三点共线，所以，即， 将，代入得． 故 ， 综上，为定值0． 题型十一 直线与抛物线位置关系（共5 小题） 51．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过作图，可见直线与抛物线有且只有1个公共点的直线有两类：一类与抛物线对称轴平行，一类与抛物线相切，统计即得. 【详解】 如图，设过点的直线为，则当与轴平行时，与抛物线有一个公共点； 当直线和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点. 由画图可知，过点与抛物线有且只有1个公共点的直线有3条. 故选:D. 52．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 53．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【详解】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 54．过点的直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有 条. 【答案】2 【分析】结合图形直接判断即可. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，当过点的直线与抛物线相切，或平行于轴时，与抛物线只有一个公共点， 所以满足条件的直线有条. 故答案为： 55．写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 . 【答案】（写对一个方程即可） 【详解】如图，当直线斜率为0时，与抛物线有唯一公共点，此时方程为； 当斜率不为0时，设的方程为， 联立消去，整理得：， 因为直线与抛物线有唯一公共点，所以， 解得或，所以为或， 即或. 综上，过点且与抛物线有唯一公共点的直线方程为： 或或. 故答案为：（或或）.    题型十二 抛物线弦长（共 5小题） 56．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，结合已知条件求出的值，进而得抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用向量关系得到坐标关系，再结合韦达定理求出直线方程中的参数，最后根据弦长公式求出. 【详解】（1）设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得，抛物线的方程为，所以， 又过点的直线与交于、两点，      设直线：，，， 则，联立化简得， 所以，，， 又，则， 所以联立方程，解得， 根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长， 得， 将，，代入上式， 可得， 又，得. 57．过点作抛物线的弦，弦恰被点P平分. (1)求弦所在直线的方程； (2)求弦的长度. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直线斜率存在，设，代入抛物线方程相减求得直线斜率后可得直线方程； （2）直线方程与抛物线方程联立后，用韦达定理求得弦长． 【详解】（1）点在抛物线内部，过点的所有斜率不为0的直线都与抛物线相交， 又是中点，直线斜率存在， 设，则， 则，相减得， 所以， 所以直线方程为，即； （2）由，得， 则， 所以． 58．已知为抛物线上的点，动点满足． (1)求的轨迹方程； (2)已知点，直线与交于两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1) 设点的坐标为,根据题设条件得到的坐标，把的坐标代入抛物线方程，化简即可. (2) 设，，由(1)得到方程，联立直线方程与曲线方程,根据韦达定理，应用弦长公式表示出，求出点到直线的距离，表示出面积，得到它的取值范围. 【详解】（1）设点的坐标为，因为， 所以点的坐标为，又点在抛物线上，则， 即，故的轨迹方程为． （2）由题设，，联立 消去得， 由题意可得， 则，， 所以 由题可得点P到直线AB的距离， 则， 因为，所以， 故面积的取值范围为． 59．在直角坐标系xOy中，点A到的距离等于点A到点的距离，记动点A的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设M为C上的一个动点，若，过M作圆E：的两条切线，，若，分别交y轴于P，Q两点，求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)32． 【分析】（1）根据题意列等量关系，化简即可求解， （2）根据两点可求解直线，的直线方程，进而可得a，b为方程的两根，由韦达定理，可求解的长度，进而根据面积公式，结合基本不等式求解最值. 【详解】（1）设，依题有，即， 则的方程为． （2）如图，不妨设，，，    依题意，，所以， 设直线MP的方程为，直线MQ的方程为， 依题意直线MP与圆E：相切，所以， 整理可得， 同理可得， 所以a，b为关于的方程的两根， 所以，， 又M是C上的动点，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为32． 60．已知抛物线，点为抛物线的焦点. (1)若点在抛物线上，求； (2)过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，结合抛物线焦半径公式可求得的值； （2）设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，以及原点到直线的距离，结合三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，故. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 依题意，设直线的方程为， 将直线与抛物线方程联立得得， 设点、，， 由韦达定理可得，， ， 又因为原点到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为，即或. 题型十三 抛物线中点弦（共5 小题） 61．已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 62．过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 【答案】16 【分析】用点差法求出直线斜率，得直线方程，联立方程组，利用韦达定理，由弦长公式计算可得． 【详解】设， 则，两式相减得， ∴， ∵的中点是，∴． ∴直线方程为，即， 由，得， 则， ∴． 故答案为：16 63．已知抛物线，直线与交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【分析】写出直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解. 【详解】由题意直线的方程为 ，即 ，与抛物线方程联立： ，得， 即，， 解得. 故答案为：1. 64．已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，，设直线的方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标求得参数值得直线方程； （2）设切线方程，代入抛物线方程后由判别式为0求得参数值，得切线方程． 【详解】（1）当直线的斜率为时，与抛物线只有一个交点，故不合题意， 所以直线的斜率不为0，设直线的方程为 由，消去得 则 设，，所以 因为的中点为，所以， 所以，所以直线的方程为， 即； （2）若过点的切线斜率为，则该直线与抛物线相交，所以不合题意， 所以过点的切线设为 由消去得, 则有 所以或， 所以所求切线方程为或 即或 65．（1）、两点在抛物线上，直线是的垂直平分线，当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围； （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点．若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）依题意设直线的方程为，的中点为，利用设而不求点差法求得，代入直线的方程求得，然后利用点在抛物线的内部列不等式求解即可； （2）设存在被点平分的弦，且、，利用设而不求点差法求得，进而求得直线方程，与双曲线联立，利用判别式即可判断被点平分的弦不存在． 【详解】（1）由题意、两点在抛物线上，直线是的垂直平分线， 设直线在轴上的截距为，依题意直线的方程为． 又设的中点为，则有，两式相减可得， 所以，所以，所以， 代入直线方程，得． 因为线段的中点在抛物线（含焦点）的内部， 所以，解得． 即直线在轴上截距的取值范围为． （2）设存在被点平分的弦，且、， 则 ①、②两式相减，得．⑤ 把③、④代入⑤得，故直线的方程为． 由消去，得， 而． 这说明直线与双曲线不相交， 故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线． 题型十四 抛物线中参数范围及最值（共5 小题） 66．已知抛物线与围成的封闭曲线如图所示，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一、由题易知，与轴平行的有一对，在取一点关于点对称后，代入曲线中，即有两解，结合即可求解；方法二、利用极限思想，根据端点求解即可. 【详解】方法一、由，得．先考虑与坐标轴平行或垂直的特殊情况． 易知过点与轴平行的直线与封闭曲线的两个交点一定是关于点对称的． 当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点的坐标为, 其中，且，则其关于点的对称点的坐标为, 由题可知点在曲线上，所以， 即，即． 要想满足题意，则此关于的方程的解必须有且只有两个，且． 所以，即. 方法二、极限思想法！ 如图，，记三对满足题意的对称点分别为“M，N”， “E，F”，“P，Q”，则当时，， 点的坐标；当时，， 点的坐标．    故选：B. 67．已知抛物线上存在两个不同的点，关于直线对称，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方法1，由斜率计算公式可得，然后利用抛物线内点坐标与抛物线方程关系可得答案； 方法2，由题可设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，由韦达定理可得，又由在，可得，然后由判别式大于0可得答案. 【详解】解法1：设，，的中点为．则. 因为， 即，则，则. 由题在抛物线内，则或； 解法2：由题意得直线的斜率不为0， 故设直线的方程为，的中点为． 则 由，消去y得，所以判别式. 由韦达定理，，即，， 故．因为点在直线上， 所以，得， 则，得或． 故答案为： 68．已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 . 【答案】 【分析】作出辅助线，由抛物线的性质，二倍角公式和垂径定理得到，结合即可求解. 【详解】显然直线l的方程斜率不为0，因为焦点， 所以设直线l的方程为，联立得， 故，故， 所以， 显然G为的中点，过G作y轴的垂线，垂足为H，则H是的中点， 设，则， ， ， 而，当且仅当，轴时取等号，则， 所以当时，. 故答案为： 69．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在轴上取点，推导出为锐角，设点，可得出，可求得的范围，再根据抛物线焦半径公式求解即可． 【详解】由题意得， 由抛物线的定义得，所以， 由于是锐角三角形，则为锐角， 在轴上取一点，由轴，所以，则为锐角， 设点，， 则，所以， 则， 故答案为：． 70．设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义，将点到直线的距离转化为，由图可知，当三点共线时，最小，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 抛物线的焦点为， 则点到直线的距离为， 作垂直于点， 所以的最小值为. 故答案为：2. 题型十五 抛物线中定点、定值、定直线（共 5小题） 71．过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为，另一直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点，问：是否为定值？ 【答案】是定值，理由见解析. 【分析】设出点的坐标，利用在抛物线上一点的切线方程写出直线方程，进而求出直线方程，设出直线并与抛物线方程及直线方程联立，结合韦达定理求解. 【详解】设， 由切线公式得直线， 将点坐标代入直线方程，得，则直线方程为， 设直线的方程为，点， 由消去得，，则， 由得点的横坐标，显然同号， 所以 ， 所以为定值2. 72．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，准线交对称轴于点，过焦点且平行于准线的直线交抛物线于点，直线分别交准线于两点，求证：点的横坐标的积为定值. 【答案】证明见解析 【分析】易知抛物线焦点，准线，故设直线，，，.联立方程组，消去得，则根据韦达定理可得，.令得，所以，所以或.分和两类讨论，由三点共线得；由三点共线得，计算即可证明. 【详解】易知抛物线焦点，准线， 故设直线，，，. 因为点，在抛物线上，所以，. 联立方程组，消去得，则， 则，， 所以，. 令得，所以，所以或. 当时，由三点共线得，即，即，所以； 由三点共线得，即，即，所以. 故 . 当时，由三点共线得，即，即，所以； 由三点共线得，即，即，所以. 故 . 综上，点的横坐标的积为定值. 73．如图，已知抛物线是曲线上两点，且． (1)求中点的轨迹方程； (2)求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用点差法求得三个坐标之间的关系，利用，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理求得直线过定点.化简得中点的轨迹方程； （2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理求得直线过定点. 【详解】（1）设，， 则， 解得（舍）或， 由，两式作差得 当时，,故， 设：，联立，得（*） ，，且， 故直线，可知直线恒过定点， ∴且, 故，即， 当，亦满足上式，， 所以所求为. （2）由（1）可知直线 所以直线恒过定点. 74．已知抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，曲线在点、处的切线交点为，求点所在的直线． 【答案】 【分析】解法一：设，求出过点、的切线方程分别为，．求出交点，．联立过点的直线与抛物线方程，由韦达定理得，故可求得点所在直线. 解法二：由性质3可知：抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：，结合已知条件求解即可． 【详解】解法一： 设，则，， 过点、的切线方程分别为，． ，． 由这两方程解得，． 设过点的直线斜率为，则方程为．① 把①式代入抛物线方程，消去，得． 由韦达定理得，，所以． 即点的轨迹在定直线上． 解法二： 由性质3可知：抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：． 由题意，知，， 过两切点的弦所在直线方程为：，且此直线过． 把代入方程，得， 即点的轨迹在定直线上． 75．已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【详解】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. $专题06 圆锥曲线综合 题型1 直线与椭圆的位置关系（常考点） 题型9 双曲线中参数范围及最值（重点） 题型2 椭圆弦长、面积（重点） 题型10 双曲线中定点、定值、定直线（难点） 题型3 椭圆中点弦 （重点） 题型11 直线与抛物线位置关系（常考点） 题型4椭圆中参数范围及最值（重点） 题型12 抛物线弦长（重点） 题型5 椭圆中定点、定值、定直线（难点） 题型13 抛物线中点弦（重点） 题型6 直线与双曲线位置关系（常考点） 题型14 抛物线中参数范围及最值 题型7 双曲线弦长、面积（难点） 题型15 抛物线中定点、定值、定直线（难点） 题型8双曲线中点弦（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线与椭圆的位置关系（共5小题） 1．已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 2．已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 3．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．已知为椭圆上一点，且直线与有且仅有一个交点，则的焦距为 . 题型二 椭圆弦长、面积（共5小题） 6．已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求 (1)椭圆的方程； (2)弦的长度. 7．已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 8．如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 9．已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 10．已知椭圆． (1)求该椭圆的离心率； (2)若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线切点分别为，求的面积的最小值． 题型三 椭圆中点弦 （共5小题） 11．已知椭圆及直线． (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长； (3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 12．已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 13．已知椭圆的焦距为，短半轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 14．已知椭圆. (1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程; (2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程; (3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 15．已知椭圆的离心率，其右焦点到点的距离为，直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且与直线垂直，求的面积； (3)若直线过定点，若线段恰被点所平分，求直线的方程. 题型四 椭圆中参数范围及最值 （共5小题） 16．已知过点的直线与椭圆交于不同的两点.若是弦的中点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 17．已知和椭圆，点在上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 18．已知椭圆的左、右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．设，是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知椭圆的左右焦点分别为、，过作直线交椭圆于、两点，其中点在轴下方，内切圆交边于点，则线段的长度取值范围为 . 题型五 椭圆中定点、定值、定直线（共5小题） 21．已知椭圆，其中，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程及上顶点的坐标； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 22．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程. (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 23．已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 24．已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 25．已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 题型六 直线与双曲线位置关系（共5小题） 26．（多选）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是（    ） A．4 B．2 C．1 D． 27．过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 28．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 29．双曲线与直线的公共点个数 ； 30．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 题型七 双曲线弦长、面积（共5小题） 31．已知双曲线的左焦点为，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求. 32．已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 33．已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 34．已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AB的斜率k为定值； (3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 35．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值． 题型八 双曲线中点弦 （共5小题） 36．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 37．已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 38．已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点.若线段的中点坐标为，求直线的方程. 39．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 40．已知双曲线 ，过点 作直线 ，若 是 与 交点的中点，求 的方程，并判断是否存在这样的直线. 题型九 双曲线中参数范围及最值（共 5小题） 41．在平面直角坐标系xOy中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．2 42．已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 43．已知双曲线C：，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．已知双曲线：（，）的渐近线方程为，其右焦点为F，若直线与在第一象限的交点为P且轴，则实数k的值为 . 45．已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为 ． 题型十 双曲线中定点、定值、定直线（共 5小题） 46．已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上的三个不同点. ①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值. 47．已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为. (1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值； (2)证明：； (3)求的值. 48．已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 49．已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 50．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，平行于渐近线的直线l过点，且到l的距离为． (1)求E的方程； (2)过坐标原点O的直线，分别交E于点A，B和C，D，其中点A，C在E的右支上，直线AC，BD分别交x轴于点P，Q，证明：为定值． 题型十一 直线与抛物线位置关系（共5 小题） 51．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 52．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 53．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 54．过点的直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有 条. 55．写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 . 题型十二 抛物线弦长（共 5小题） 56．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 57．过点作抛物线的弦，弦恰被点P平分. (1)求弦所在直线的方程； (2)求弦的长度. 58．已知为抛物线上的点，动点满足． (1)求的轨迹方程； (2)已知点，直线与交于两点，求面积的取值范围． 59．在直角坐标系xOy中，点A到的距离等于点A到点的距离，记动点A的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设M为C上的一个动点，若，过M作圆E：的两条切线，，若，分别交y轴于P，Q两点，求面积的最小值． 60．已知抛物线，点为抛物线的焦点. (1)若点在抛物线上，求； (2)过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 题型十三 抛物线中点弦（共5 小题） 61．已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 62．过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 63．已知抛物线，直线与交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为 ． 64．已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 65．（1）、两点在抛物线上，直线是的垂直平分线，当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围； （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点．若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由． 题型十四 抛物线中参数范围及最值（共5 小题） 66．已知抛物线与围成的封闭曲线如图所示，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 67．已知抛物线上存在两个不同的点，关于直线对称，则实数的取值范围是 ． 68．已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 . 69．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是 ． 70．设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 . 题型十五 抛物线中定点、定值、定直线（共 5小题） 71．过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为，另一直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点，问：是否为定值？ 72．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，准线交对称轴于点，过焦点且平行于准线的直线交抛物线于点，直线分别交准线于两点，求证：点的横坐标的积为定值. 73．如图，已知抛物线是曲线上两点，且． (1)求中点的轨迹方程； (2)求证：直线过定点． 74．已知抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，曲线在点、处的切线交点为，求点所在的直线． 75．已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． $