专题05 抛物线（期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题05 抛物线 题型1 抛物线定义理解（（重点）常考点） 题型2 利用抛物线定义求方程（常考点） 题型3 抛物线上和、差距离最值问题（重点） 题型4抛物线的焦点和准线（常考点） 题型5 抛物线的焦半径公式（常考点） 题型6 求抛物线的标准方程（重点）常考点） 题型7 抛物线的实际应用 题型8抛物线的性质 （重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 抛物线定义理解（共5小题） 1．与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹. 【详解】记与圆外切的圆为圆， 设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为， 因为圆与圆外切，所以， 设圆圆心到直线的距离为，则， 所以，即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线. 故选：C 2．已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】先对原方程合理变形，再结合抛物线的定义求解轨迹类型即可. 【详解】因为， 所以， 由两点间距离公式得方程左侧为点到点的距离， 由点到直线的距离公式得方程右侧为到直线的距离， 可得到点的距离和到直线的距离相等， 而且点不在直线上，结合抛物线定义得到点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选：D 3．若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线定义即可求解. 【详解】设，根据抛物线定义可知，， 又点到焦点的距离与到轴的距离之差为1， 则，解得. 故选：B 4．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可. 【详解】根据抛物线的定义，可知，解得. 故选：B． 5．已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解. 【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 题型二 利用抛物线定义求方程（共4小题） 6．已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【详解】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 7．点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意点到直线的距离和到点的距离相等，可得点的轨迹为抛物线，即可得解. 【详解】根据题意，设点，且点在的下方， 故点到直线的距离和到点的距离相等， 所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以的轨迹方程为， 故选：D. 8．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据动圆与直线相切，且与定圆C：外切，可得动点到的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程． 【详解】解：方法一：由题意知，设， 则， ， 解得. 方法二：由题意知，动点M到的距离比到的距离多1， 则动点M到的距离与到的距离相等， 根据抛物线的定义，为准线，为焦点， 设抛物线为，，， 故. 故答案为：. 9．设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程． 【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方）， 所以，， 又因为过作圆的切线， 所以切线的方程为， 因为动点到的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为， 所以的轨迹方程为． 故选：A. 题型三 抛物线上和、差距离最值问题 （共4小题） 10．已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，连接． 因为点在抛物线上，所以根据抛物线的定义得， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 当时，取最小值，即，所以的最小值为1． 故选：A． 11．已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 12．已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义将点到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据三点共线时距离和最短求出结果即可. 【详解】∵即， ∴焦点为，准线为：， 由抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即， ∴， ∵当三点共线时，最小，此时， ∴， 故答案为：2. 13．已知点，设点是抛物线上任一点，是抛物线的焦点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形和抛物线的定义，求出的最小值. 【详解】根据题意，过点作垂直准线于点，如图所示： 根据抛物线的定义，抛物线上的点到抛物线的焦点的距离等于到它的准线的距离， 所以，当三点共线时取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型四 抛物线的焦点和准线（共4小题） 14．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质及焦点坐标公式计算求解. 【详解】因为抛物线，所以焦点到准线的距离，且焦点在轴的正半轴上，所以焦点坐标为. 故选：A. 15．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求的值，再根据抛物线方程求其准线方程. 【详解】对于双曲线：因为，，所以，所以. 所以双曲线的右焦点坐标为：. 对于抛物线，因为焦点为，即. 所以其准线方程为：. 故选：B 16．抛物线的焦点坐标是 ；准线方程 【答案】 【分析】化简得到抛物线的标准方程，结合抛物线的几何性质，即可求得其准线和焦点坐标，得到答案. 【详解】由抛物线，可得，则抛物线的焦点在轴上，且，即， 所以抛物线焦点坐标为，准线方程为, 故答案为：；. 17．抛物线：的准线方程为 . 【答案】 【分析】由给定的抛物线方程直接求出准线方程即可. 【详解】抛物线的标准方程为，所以C的准线方程为. 故答案为：. 题型五 抛物线的焦半径公式（共5小题） 18．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得. 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 19．设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【详解】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 20．抛物线上的一点到轴的距离12，则与焦点间的距离 ． 【答案】 【分析】设点，则，先计算得点的坐标，最后利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则，所以，所以， 所以， 故答案为：. 21．已知点P在抛物线C：上，且点P到C的焦点F的距离为，则点P到x轴的距离为 . 【答案】4 【分析】设，，根据焦半径公式得到方程，求出，得到答案. 【详解】由，得，则抛物线C的准线方程为. 设，，则，∴， ∴点P到轴的距离为4. 故答案为：4 22．已知抛物线的焦点为，在C上，则 ． 【答案】5 【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】抛物线为，， 在C上，. 故答案为：5. 题型六 求抛物线的标准方程（共5小题） 23．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程． 【详解】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 24．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 25．以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该抛物线向右平移1个单位长度得标准抛物线，即可得其标准方程，再利用平移即可得解. 【详解】将该抛物线向右平移1个单位长度， 所得的抛物线以点为焦点，直线为准线， 故抛物线的方程为，再将其向左平移1个单位长度， 得原抛物线的方程为. 故选：B. 26．顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点坐标得到，得到抛物线方程. 【详解】由题意知抛物线开口向上，，故抛物线的标准方程是：． 故选：B 27．焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴的点的坐标，然后根据抛物线方程的定义求出结果即可. 【详解】抛物线的标准方程中，焦点必在坐标轴上，先求直线和坐标轴的交点： 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，抛物线方程为；当焦点为时，抛物线方程为． 综上，抛物线的标准方程为或． 故答案为：或． 题型七 抛物线的实际应用（共5小题） 28．有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（    ） A．米 B．2米 C．米 D．4米 【答案】C 【分析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，进而即可得结果． 【详解】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系， 依题意可设抛物线方程为，代入点， ∴，， 将代入可得，所以水面宽度为． 故选：C． 29．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在可得，即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 30．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 31．如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    【答案】 【分析】设抛物线的方程为，代入点即可求解. 【详解】设抛物线的方程为，抛物线过点，所以， 则这条抛物线的方程为，即． 故答案为：. 32．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 【答案】 【分析】建立直角坐标系，设抛物线方程和点坐标，求得点坐标，将坐标代入解析式求得点纵坐标，从而知道顶端到连桥AB的距离. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，，则. 由点B，D均在抛物线上，得解得， 所以抛物线顶端到连桥AB的距离为. 题型八 抛物线的性质 （共5小题） 33．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先求出抛物线方程为：，再与直线联立，由根与系数的关系进行求解． 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 34．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立曲线方程后借助焦点弦公式计算即可得. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得， 所以直线l的斜率为.    故选：B. 35．已知一条直线与抛物线交于，两点，过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，得出直线的方程，直曲联立，利用韦达定理写出的表达式，即可求出的值. 【详解】由题意， 过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为， ∴直线的斜率为， ∴直线的斜率为， 直线的方程为，即， 联立方程，得恒成立， ∴， ∵，点，在直线上， ∴，， ∴， 解得. 故选：B    36．已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，不妨设在坐标原点，则关于轴对称，可求得的坐标，进而计算可求得. 【详解】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 则不妨设在坐标原点，则关于轴对称， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 37．已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 . 【答案】/ 【分析】设点，根据椭圆和抛物线的对称性求得，然后代入椭圆方程可得点，最后代入抛物线方程计算即可. 【详解】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称， 不妨设，则，， 由可知，代入得，即， 再将代入可得，解得. 故答案为：. $专题05 抛物线 题型1 抛物线定义理解（（重点）常考点） 题型2 利用抛物线定义求方程（常考点） 题型3 抛物线上和、差距离最值问题（重点） 题型4抛物线的焦点和准线（常考点） 题型5 抛物线的焦半径公式（常考点） 题型6 求抛物线的标准方程（重点）常考点） 题型7 抛物线的实际应用 题型8抛物线的性质 （重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 抛物线定义理解（共5小题） 1．与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 2．已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 5．已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 题型二 利用抛物线定义求方程（共4小题） 6．已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为 . 9．设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 抛物线上和、差距离最值问题 （共4小题） 10．已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 12．已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 13．已知点，设点是抛物线上任一点，是抛物线的焦点，则的最小值为 ． 题型四 抛物线的焦点和准线（共4小题） 14．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 15．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 16．抛物线的焦点坐标是 ；准线方程 17．抛物线：的准线方程为 . 题型五 抛物线的焦半径公式（共5小题） 18．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 19．设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．抛物线上的一点到轴的距离12，则与焦点间的距离 ． 21．已知点P在抛物线C：上，且点P到C的焦点F的距离为，则点P到x轴的距离为 . 22．已知抛物线的焦点为，在C上，则 ． 题型六 求抛物线的标准方程（共5小题） 23．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 24．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 25．以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 26．顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 27．焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 题型七 抛物线的实际应用（共5小题） 28．有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（    ） A．米 B．2米 C．米 D．4米 29．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 30．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 31．如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    32．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 题型八 抛物线的性质 （共5小题） 33．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 34．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 35．已知一条直线与抛物线交于，两点，过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 36．已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则 ． 37．已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 . $