专题02 圆与方程（期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题02 圆与方程 题型1 求圆的方程（常考点） 题型9 圆与圆的位置关系（常考点） 题型2 二元二次方程表示的曲线与圆的关系（常考点） 题型10 两圆公共弦长（方程）（重点） 题型3 圆的对称问题 （重点） 题型11 两圆公切线（难点） 题型4圆的最值距离问题（常考点） 题型5 过圆内定点的弦长最值（常考点） 题型6 直线与圆的位置关系（常考点） 题型7 圆的切线（重点） 题型8圆的弦长与中点弦（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求圆的方程（共4小题） 1．过，，三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 3．的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 4．已知直线过点且与直线垂直. (1)求直线的一般式方程； (2)求以点为圆心且与直线相切的圆的一般方程. 题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系（共4小题） 5．方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 7．圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 题型三 圆的对称问题 （共3小题） 9．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 10．圆关于直线对称，则 ． 11．过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 题型四 圆的最值距离问题（共4小题） 12．若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 13．若点在圆上，则的最小值为 . 14．已知点是圆上一点，则的范围是 ． 15．已知点是圆上的动点，，则点到直线的距离的最大值为 . 题型五 过圆内定点的弦长最值（共3小题） 16．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．圆被直线截得的最短弦长为 ． 18．已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为 . 题型六 直线与圆的位置关系（共4小题） 19．直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 20．已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 21．若直线与圆相切，则b的值是（    ） A． B． C． D． 22．直线：与圆：的位置关系是 ． 题型七 圆的切线（共5小题） 23．已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 24．过点作圆的切线，则直线的方程为 . 25．已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 26．已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 27．已知直线经过点，圆. (1)若直线经过圆的圆心，求直线的一般式方程； (2)若直线与圆相切，求直线的一般式方程. 题型八 圆的弦长与中点弦（共5小题） 28．已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 29．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 30．已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 31．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 32．已知直线与圆相交于不同两点，. (1)求实数的取值范围 (2)是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型九 圆与圆的位置关系（共4小题） 33．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 34．已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 35．已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 36．若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 题型十 两圆公共弦长（方程）（共4小题） 37．圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 38．圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 39．已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 40．已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 题型十一 两圆公切线（共4小题） 41．已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 42．已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 43．已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 44．圆与圆的公切线的方程为 ． $专题02 圆与方程 题型1 求圆的方程（常考点） 题型9 圆与圆的位置关系（常考点） 题型2 二元二次方程表示的曲线与圆的关系（常考点） 题型10 两圆公共弦长（方程）（重点） 题型3 圆的对称问题 （重点） 题型11 两圆公切线（难点） 题型4圆的最值距离问题（常考点） 题型5 过圆内定点的弦长最值（常考点） 题型6 直线与圆的位置关系（常考点） 题型7 圆的切线（重点） 题型8圆的弦长与中点弦（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求圆的方程（共4小题） 1．过，，三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上求参数值，进而得到圆的标准方程. 【详解】设所求圆的一般方程为， 代入A，B，C三点，得，解得， 所以圆的一般方程为，即. 故选：B 2．已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 3．的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】(1)的方程为 (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 4．已知直线过点且与直线垂直. (1)求直线的一般式方程； (2)求以点为圆心且与直线相切的圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的一般式方程； （2）利用点到直线的距离计算出所求圆的半径，先求出所求圆的标准方程，化为一般方程即可. 【详解】（1）解：因为直线过点且与直线垂直， 设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得， 所以，直线的一般式方程为. （2）解：由题意可知，所求圆的半径为， 故所求圆的标准方程为， 化为一般方程即为 题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系（共4小题） 5．方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】若方程表示圆，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 6．已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B 7．圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可. 【详解】由，配方得 ，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故选：A 8．若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 故答案为：. 题型三 圆的对称问题 （共3小题） 9．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 10．圆关于直线对称，则 ． 【答案】3 【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可． 【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有， 解得， 故答案为：3． 11．过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 【答案】 【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可. 【详解】因为直线将的面积分为相等的两部分， 所以该直线过圆心，由两点式知该直线方程为. 故答案为： 题型四 圆的最值距离问题（共4小题） 12．若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可. 【详解】圆:可化为 表示点到点的距离的平方, 因为， 所以的最小值为. 故选：B. 13．若点在圆上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用表示点与点的距离的平方，求出圆心与点的距离为，可求得最小距离，继而可求得所求. 【详解】因为，化为， 圆心为，半径为， 又表示点与点的距离的平方， 圆心与点的距离为， 所以点与点的距离的最小值为， 故的最小值为， 故答案为：. 14．已知点是圆上一点，则的范围是 ． 【答案】 【分析】求出圆心和半径，而表示圆上的点到直线的距离的2倍，所以求出圆到直线的距离，从而可求得结果. 【详解】由，得， 所以圆心，半径为1， 表示圆上的点到直线的距离的2倍， 因为圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为1，最大值为3， 所以的最小值为2，最大值为6， 所以的范围为， 故答案为：. 15．已知点是圆上的动点，，则点到直线的距离的最大值为 . 【答案】9 【分析】求出直线方程，再求出圆心到直线的距离，加半径即可得最大值． 【详解】因为圆的标准方程为，过的直线方程为，所以圆心到直线的距离，则动点到直线的距离的最大值是. 故答案为：9． 题型五 过圆内定点的弦长最值（共3小题） 16．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合已知条件求出圆的圆心和半径，由圆的弦长公式和性质即可求解. 【详解】由圆的方程可知， 则圆心坐标，半径为， 因为，所以点在圆的内部， 设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长， 显然当最大时，弦长最小， 由圆的性质可知当时最大， 此时， 所以弦长的最小值为， 故选：D 17．圆被直线截得的最短弦长为 ． 【答案】 【分析】根据直线所过的点与圆的位置关系，结合圆的性质进行求解即可. 【详解】由，因此该直线经过点， 因为，所以点在该圆内，设圆的圆心为，半径为， 当直线与直线垂直时，所得弦长最短， 则有， 故答案为： 18．已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为 . 【答案】 【分析】首先求出直线过定点，再判断点在圆内，则弦长最小值为与垂直的弦，再根据弦长公式计算可得. 【详解】解：因为直线：恒过定点， 圆：的圆心，半径， 所以，所以点在圆内，所以直线被圆所截的弦长的最小值为. 故答案为： 题型六 直线与圆的位置关系（共4小题） 19．直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】求得直线所过定点，再判断该定点在圆的内部，从而得解. 【详解】因为直线可化为， 所以直线过定点， 而，所以该定点在圆的内部，故直线与圆有2个公共点. 故选：C. 20．已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可. 【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为. 故选：C. 21．若直线与圆相切，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用直线与位置关系，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 因为直线与圆相切，则满足，解得. 故选：A. 22．直线：与圆：的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】由直线方程可得直线过定点，判断定点与圆的位置关系即可求解. 【详解】直线，变形为：， 所以直线过定点，设该点为， 由圆：知圆心，半径， 所以， 所以定点在圆内， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交. 题型七 圆的切线（共5小题） 23．已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，求出，再利用等面积法即可求得答案. 【详解】圆，且，则， 又，∴，利用面积相等，∴， 故选：D． 24．过点作圆的切线，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 25．已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标公式得出圆心，应用两点间距离得出半径，进而得出圆的方程； （2）先应用斜率乘积为得出斜率，再点斜式得出切线方程. 【详解】（1）由题意可得的中点， ∴圆心，故半径， ∴圆的标准方程为． （2）∵为圆的切线，∴，则， ∵，∴， ∴过点的切线方程为，即切线的方程为． 26．已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 27．已知直线经过点，圆. (1)若直线经过圆的圆心，求直线的一般式方程； (2)若直线与圆相切，求直线的一般式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用圆心和点可求直线的方程； （2）讨论斜率存在与不存在两种情况，由相切可得圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】（1） 将圆化为标准方程为， 所以圆的圆心坐标为，半径为2， 所以直线经过点， 则直线的斜率， 整理得直线的方程为，即. （2） 由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时直线满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或 题型八 圆的弦长与中点弦（共5小题） 28．已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 29．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，由垂径定理得到，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程. 【详解】由题意知直线的斜率存在，且 ∴， ∵，∴， 直线的方程为，即， 故选：C. 30．已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)弦长为；直线方程为 【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【详解】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即. （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 31．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【答案】(1)圆心坐标为，面积为 (2) 【分析】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径； （2）先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得. 【详解】（1）由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； （2）依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 32．已知直线与圆相交于不同两点，. (1)求实数的取值范围 (2)是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】 （1）由已知得圆心到直线的距离小于半径，可解出实数的取值范围. （2）AB的垂直平分线过圆心，直线PC与直线垂直，由此能求出值. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离 ∵直线与圆相交于不同两点，，∴， 即，解得 或 所以实数的取值范围为. （2）∵为圆上的点，∴AB的垂直平分线过圆心，∴直线PC与直线垂直， ， ∴ 解得， 符合（1）中的取值范围，∴存在，使得过的直线l垂直平分弦AB 题型九 圆与圆的位置关系（共4小题） 33．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案. 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 34．已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【答案】内切 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】因为圆，圆， 所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 35．已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】由两圆位置关系构造方程求解即可. 【详解】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 故答案为：或 36．若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 题型十 两圆公共弦长（方程）（共4小题） 37．圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两圆方程相减即可求解； 【详解】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 38．圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长. 【详解】圆：  ①，所以，. 圆：  ②，所以，. 因为，所以圆与圆相交. 因此公共弦所在直线的方程为①②：， 圆的圆心到公共弦的距离为， 即公共弦长为. 故选：A 39．已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】    如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 故答案为：. 40．已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】将两圆作差即可求解. 【详解】：和圆：的圆心和半径分别为, 故，故两个圆相交， 因此公共弦所在的直线方程为，即， 故答案为： 题型十一 两圆公切线（共4小题） 41．已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 42．已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程. 【详解】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 43．已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【答案】 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，从而求出的值，进一步可求公切线方程. 【详解】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 44．圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： $