第3章幂、指数与对数单元检测（培优卷）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章幂、指数与对数（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题 1. （2024-25大同中学高一上期中）将根式化为分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根式与指数幂的互化直接求解. 【详解】根式化为分数指数幂是. 故选：A 2．（2024春•黄浦区高一上期中）计算：　　． 【分析】先求的立方根，再求16的4次方根，即可得出答案． 【解析】原式． 故答案为：． 3.（23-24高一上·上海·期中）化简： . 【答案】 【分析】根据根式的定义求解． 【详解】. 故答案为：. 4. （2024-25奉贤中学高一上期中）化简______． 【答案】 【解析】 【分析】将根式化为分式指数幂的形式，再结合指数幂运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 5.（2022·安徽合肥·模拟预测）方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果. 【详解】∵，∴，∴. 故选：D. 6．（23-24高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据给定的等式，求出即可计算得解. 【详解】由，得，解得，由，得，解得， 所以. 故选：D 7.（2022·广西·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】两边同取对数求出，代入式子利用换底公式即可求解. 【详解】由可知，， 即 . 故选：. 8.（2023学年控江中学高一上期中）若正实数，满足，，则的值为______. 【答案】20 【解析】 【分析】利用对数的性质可得，故可求的值. 【详解】因为， 所以. 故答案为：20. 9．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）计算： ． 【答案】11 【分析】根据指数与对数的运算性质，直接求即可 【详解】. 故答案为： 10．（2023·河南·高一校联考期中）若，且，则实数 ． 【答案】9 【解析】因为，可知， 又因为，即， 由换底公式得，则， 即，解得． 11.（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【解答过程】由得，即， 故， 故 故. 故选：C. 12.（2024-25上海松江高一上期中）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【解题思路】首先利用对数的运算性质得到，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为， 所以，则， 所以. 因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：D. 二、选择题 13．（2023秋·上海高一专题练习）下列运算中，正确的是（    ） A．＝a﹣b B． C．﹣＝a﹣b D．＝a+b 【答案】B 【分析】根据公式进行求解即可． 【详解】解：A、＝|a﹣b|，故错误； B、，故正确； C、﹣＝|a|﹣|b|，故错误； D、＝|a+b|，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查偶次方根的性质，熟练掌握偶次方根的性质是解题的关键． 14.（24-25高一上·江苏常州·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．（） 【解题思路】利用分数指数幂的运算性质计算可判断ABD；利用对数的运算性质计算可判断C. 【解答过程】对于A，当时，，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，当时，，故C错误； 对于D，因为，，故D错误. 故选：B. 15．（2024-25宝山中学高一上期中）已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 【答案】 【解析】设，则原方程化为，，即，所以． 16.（2024-25金山中学高一上期中） “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的. 假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是. 一年后“进步者”是“退步者”的倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 【答案】B 【解析】 【分析】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 3、 解答题 17.（2024-25复兴高级中学高一上期中）（1）计算：； 【解析】（1） . (2)已知，求的值； 【解答过程】（2）因为， 所以． 18．（24-25高一上上海阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）计算. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）由指数式与对数式的互化得出，再利用对数的运算性质可求得的值； （2）利用对数的运算性质、换底公式以及根式的运算性质计算可得所求代数式的值. 【解答过程】（1）因为，则， 故； （2）原式 . 19.（2024-25闵行中学高一上期中）已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【解析】（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 20. （2024-25上海复旦大学附属中学高一上期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. （1）设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； （2）已知，且，若，，求：的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【小问1详解】 因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. 【小问2详解】 由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 21.（2024-25高一上上海普陀期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【解题思路】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【解答过程】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章幂、指数与对数（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题 1. （2024-25大同中学高一上期中）将根式化为分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 2．（2024春•黄浦区高一上期中）计算：　　． 3.（23-24高一上·上海·期中）化简： . 4. （2024-25奉贤中学高一上期中）化简______． 5.（2022·安徽合肥·模拟预测）方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 6．（23-24高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 7.（2022·广西·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 8.（2023学年控江中学高一上期中）若正实数，满足，，则的值为______. 9．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）计算： ． 10．（2023·河南·高一校联考期中）若，且，则实数 ． 11.（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 12.（2024-25上海松江高一上期中）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 二、选择题 13．（2023秋·上海高一专题练习）下列运算中，正确的是（    ） A．＝a﹣b B． C．﹣＝a﹣b D．＝a+b 14.（24-25高一上·江苏常州·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．（） 15．（2024-25宝山中学高一上期中）已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 16.（2024-25金山中学高一上期中） “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的. 假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是. 一年后“进步者”是“退步者”的倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 3、 解答题 17.（2024-25复兴高级中学高一上期中）（1）计算：； (2)已知，求的值； 18．（24-25高一上上海阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）计算. 19.（2024-25闵行中学高一上期中）已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 20. （2024-25上海复旦大学附属中学高一上期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. （1）设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； （2）已知，且，若，，求：的值. 21.（2024-25高一上上海普陀期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $