精品解析：宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

银川一中2025/2026学年度(上)高一第一次月考 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定为，. 故选：C 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，， 则， 故选：A. 3. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 4. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】 由集合相等，求得，得到，求得，即可求得的值. 【详解】由题意，集合，可得，即， 所以，可得，解得， 所以, 即的值. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据集合相等求解参数问题，其中解答中熟记集合相等的条件，根据元素对应相等，列出方程求得的值是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 5. 设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 6. 已知，则取最大值时的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 7. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用重要不等式的合理变形可得，即可知A错误；由基本不等式和不等式性质即可计算B错误；由即可求得C正确；根据不等式中“1”的妙用即可得出，即D错误. 【详解】对于A，由可得， 又，所以，即， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，由可得，即， 所以，当且仅当时等号成立，即B错误； 对于C，由可得， 所以可得，即，当且仅当时等号成立，即C正确； 对于D，易知，即； 当且仅当时等号成立，可得D错误； 故选：C 8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件对于一切实数不等式恒成立和使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得，将化成，再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为不等式对于一切实数恒成立， 所以， 又因为，使得成立， 所以，所以， 即， 所以， 当且仅当时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于实数、、，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用作差法可判断AD选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项. 【详解】对于A选项，因为，则，故，A错； 对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，则， 所以，D对. 故选：BCD. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 【答案】BC 【解析】 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 11. 以下说法正确的有（ ） A. 实数是成立的充要条件 B. 对恒成立 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值是2 【答案】BC 【解析】 【分析】A将代入判断；B展开不等式右侧，结合基本不等式判断不等关系；C问题化为，利用基本不等式求最大值即可得参数范围；D基本不等式求最小值，注意等号是否能够成立即可. 【详解】A：当时成立，但不成立，错； B：有，当且仅当时等号成立，对； C：由题意在上恒成立，只需即可， 而，当且仅当时等号成立，故， 所以，对； D：， 而，即，故等号不成立，错. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 满足关系的集合有____________个. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为：,共4个. 故答案为：4. 13. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 所以原不等式的解集为， 故答案为： 14. 已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】 ， 由x＞0，y＞0且x≠y知，， , 即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若集合或． （1）若，求． （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）由已知得，再由包含关系得不等式关系，从而得参数范围． 【小问1详解】 由已知，， ∴； 【小问2详解】 ∵，∴， 若，即，则满足题意； 若，则或，解得或，所以， 综上，的范围是． 16. 已知命题：，，命题：，. （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解即可； （2）根据题意，分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； 【小问2详解】 由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 17. 已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． （1）求集合； （2）设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式求解出为真命题时的范围，再根据补集思想求得结果； （2）分析条件得到⫋，列出不等式组求解出结果. 【小问1详解】 当为真命题时，即“，”为真命题， 所以，所以或， 所以若为假命题，则的范围是， 所以. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以⫋， 因为时，若⫋，只需，解得， 经检验，和时满足条件， 综上所述，的取值范围是. 18. 2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为万件，若举行促销活动，年销售量(单位；万件)与年促销费用(单位；万元)满足为常数).已知生产该产品的固定成本为万元，每生产万件该产品需要再投入生产成本万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求的值，并写出该产品的利润(单位:万元)与促销费用(单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润? 【答案】（1），；（2）万元. 【解析】 【分析】 （1），代入已知模型求出，得年销售量函数解析式，求出销售价格后可得　利润函数； （2）利用基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意，可知当时， ， 解得 又每件产品的销售价格为元， （2）， 当且仅当时等号成立， 故该工厂计划投入促销费为万元时，才能获得最大利润，最大利润为万元. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，在已知函数模型时，需从题目中选取恰当的数据求出参数值，然后根据提示模型求出函数解析式．函数应用题中求最值方法一是利用基本不等式求得最值，一是利用函数的单调性求得最值．基本不等式要注意其最值存在的条件． 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由为： 对于，， 当且仅当，即时取等号， 此时，不满足题意， 所以该解法错误； （2） （i）证明：由已知，，都是正数， 则，，， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立；（ii） 【解析】 【分析】（1）李雷解法错误，根据基本不等式的取等条件可知，两次用基本不等式的取等条件不能同时成立，可知其解法错误； （2）（i）利用基本不等式可知，，，即可得证；（ii）根据，可知，代入即可得，再利用基本不等式可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由已知，，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2025/2026学年度(上)高一第一次月考 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 5. 设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则取最大值时的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于实数、、，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 11. 以下说法正确的有（ ） A. 实数是成立的充要条件 B. 对恒成立 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 满足关系的集合有____________个. 13. 不等式的解集为__________． 14. 已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若集合或． （1）若，求． （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知命题：，，命题：，. （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 17. 已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． （1）求集合； （2）设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. 2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为万件，若举行促销活动，年销售量(单位；万件)与年促销费用(单位；万元)满足为常数).已知生产该产品的固定成本为万元，每生产万件该产品需要再投入生产成本万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求的值，并写出该产品的利润(单位:万元)与促销费用(单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润? 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $