24.3一元二次方程根与系数的关系 同步训练 2025—2026学年 冀教版九年级数学上册

24.3一元二次方程根与系数的关系培优提升训练冀教版2025—2026学年九年级数学上册 一、选择题 1．若是一元二次方程的一个解，则该方程的另一个解（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的两个实数根、，已知，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．方程的两实数根的和是，则k的值是（   ） A．3 B． C．0 D．1 4．若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，若，则（   ） A．38 B．39 C．40 D．41 6．已知是方程的两个实数根，则的值是（　） A． B．4 C． D．2 7．若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C．5 D．7 8．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 二、填空题 9．已知，是方程的两个根，则代数式的值是 ． 10．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，满足，那么的值为 ． 11．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 12．已知关于x的一元二次方程的两根为3，，则关于x的一元二次方程的根为 ． 三、解答题 13．已知关于的一元二次方程． (1)若，求k的值； (2)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 14．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为、，则，． 材料2：已知实数、满足，，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为、，则 ， ． (2)已知实数、满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 15．（1）解方程：； （2）已知是方程的两个根． ①若，求m的值； ②若，求m的值． 16．已知关于x的方程：． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设，是方程的两个根，且，求m的值． 17．阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 18．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若，求的值； (3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 1．D 2．B 3．A 4．A 5．A 6．A 7．D 8．B 二、填空题 9．1 10． 11． 12． 三、解答题 13．【解】（1）解：由根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得，即的值为 （2）证明： ， ∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 14．【解】（1）解：，； 故答案为：；； （2）解：，，且， 、可看作方程， ，， ， ； （3）解：将两边同时除以， 变形为， ∴实数和可看作方程的两根， ，， ． 15．【解】（1）， ， ， 所以． （2）①由题知，方程有两个相同的实数根， 所以， 解得； ②由根与系数的关系，， ， ， 即， 解得或， 当时，方程为，，符合题意； 当时，方程为，，不符合题意， 故． 16．【解】（1）证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 17．【解】（1）解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； （3）解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 18．【解】（1）证明：，，， ， 方程总有两个实数根． （2）由是方程的根， ， ， 解得． （3）， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． $