1.5 有理数的乘 除讲义 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

1.5 有理数的乘除 学习目标 1. 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则，并能准确进行有理数的乘法运算。 2. 理解倒数的概念，会求一个非零有理数的倒数。 3. 掌握有理数乘法的运算律（交换律、结合律、分配律），并能运用运算律简化乘法运算。 4. 理解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则，能准确进行有理数的除法运算。 5. 能正确进行有理数的乘除混合运算，以及有理数的四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。 6. 会运用有理数的乘除法解决简单的实际问题。 7. 在运算过程中，能根据算式特点选择合适的简便运算方法。 8. 培养运算能力、逻辑思维能力和运用数学知识解决实际问题的能力。 知识点讲解 1. 有理数的乘法 有理数乘法法则： 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 任何数与0相乘，都得0。 推广： · 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。然后把各个因数的绝对值相乘。 · 几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 步骤： 1. 确定积的符号。 2. 计算积的绝对值（即各因数绝对值的乘积）。 2. 倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即如果a × b = 1，那么a与b互为倒数，反之亦然。 说明： · 0没有倒数（因为0乘以任何数都为0，不可能等于1）。 · 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 · 倒数等于它本身的数是1和-1。 · 求一个非零有理数a的倒数，就是。例如，3的倒数是。 3. 有理数乘法的运算律 有理数的乘法满足以下运算律： 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即a × b = b × a 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即(a × b) × c = a × (b × c) 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 即a × (b + c) = a × b + a × c 运算律的作用：运用乘法运算律可以简化有理数的乘法运算。例如，利用分配律可以将复杂的乘法转化为较简单的加减运算；利用交换律和结合律可以将能凑整或乘积为1（互为倒数）的数先相乘。 4. 有理数的除法 有理数除法法则1（直接相除）： · 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 · 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 · 0不能作除数。 有理数除法法则2（转化为乘法）： · 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 即a ÷ b = a ×(b ≠ 0) 说明： · 对于除法运算，通常转化为乘法运算来进行，即利用法则2。 · 当除数是分数时，转化为乘以它的倒数尤为简便。 5. 有理数的乘除混合运算 运算顺序： · 在只有乘除运算的算式中，要按从左到右的顺序依次进行运算。 · 可以根据运算的需要，将除法统一转化为乘法后，再运用乘法交换律和结合律进行简便运算。 · 算式中如果有括号，要先算括号里面的。 6. 有理数的四则混合运算 运算顺序： 1. 先算乘方（七年级上册可能尚未学习，可暂略或根据教材实际情况调整），再算乘除，最后算加减。 2. 同级运算，从左到右进行。 3. 如有括号，先算括号里面的。一般按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 简便运算：在进行有理数混合运算时，要仔细观察算式的特点，灵活运用运算律（加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律）进行简便运算，以简化计算过程，提高计算的准确性和效率。 例题解析 例1：计算下列各题 (1)(-3) × (-4) (2)(-5) × 2 (3) ) (4)(-3) × 0 × (5)(-1) × (-2) × (-3) × (-4) 例2：求下列各数的倒数 (1)5 (2)- (3)-1 例3：运用乘法运算律进行简便计算 (1)(-4) × 8 × × (-125) (2) 例4：计算下列除法 (1)(-18) ÷ (-6) (-27) ÷ 例5：计算乘除混合运算 (-3) × 6 ÷ (-2) ÷ (-4) 例6：计算有理数的四则混合运算 -12 ÷ (-3) + (-15) × 4 - (-2) 例7：实际应用问题 某水库的水位在5小时内持续下降，平均每小时下降3厘米。已知初始水位为150厘米。 (1) 5小时后水库的水位是多少厘米？ (2) 若水位下降到120厘米时，需要多少小时？ 巩固练习 A组 基础题 一、选择题 1. 下列计算正确的是（ ） A.(-3) × (-4) = -12 B.(-5) × 0 = -5 C. .6 × (-3) = 18 2. 下列各数中，与-4互为倒数的是（ ） A.4 B.-4 C. D.- 3. 计算(-2) × 3 × (-4)的结果是（ ） A.-24 B.24 C.-12 D.12 。 二、填空题 4. (-5) × =_________ 5. 6. (-1) × (-2) × (-3) × 0 × (-4) =_________ 三、计算题 7. (-7) × 8 8. ( ) 9. 10. ) B组 提高题 四、计算题（能简便的用简便方法） 13. × (-8) × × 4 14. ) 15. (-5) × 6 + (-120) ÷ (-5) - (-1) 五、解答题 16. 一天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，半夜的气温是多少摄氏度？ 17.某冷冻厂的一个冷库的温度是-2℃，现有一批食品需要在-28℃冷藏。如果每小时能降温4℃，问几小时后能降到所要求的温度？ 18.已知|a| = 3，|b| = 5，且a × b < 0，求a × b的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 有理数的乘除 学习目标 1. 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则，并能准确进行有理数的乘法运算。 2. 理解倒数的概念，会求一个非零有理数的倒数。 3. 掌握有理数乘法的运算律（交换律、结合律、分配律），并能运用运算律简化乘法运算。 4. 理解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则，能准确进行有理数的除法运算。 5. 能正确进行有理数的乘除混合运算，以及有理数的四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。 6. 会运用有理数的乘除法解决简单的实际问题。 7. 在运算过程中，能根据算式特点选择合适的简便运算方法。 8. 培养运算能力、逻辑思维能力和运用数学知识解决实际问题的能力。 知识点讲解 1. 有理数的乘法 有理数乘法法则： 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 任何数与0相乘，都得0。 推广： · 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。然后把各个因数的绝对值相乘。 · 几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 步骤： 1. 确定积的符号。 2. 计算积的绝对值（即各因数绝对值的乘积）。 2. 倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即如果a × b = 1，那么a与b互为倒数，反之亦然。 说明： · 0没有倒数（因为0乘以任何数都为0，不可能等于1）。 · 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 · 倒数等于它本身的数是1和-1。 · 求一个非零有理数a的倒数，就是。例如，3的倒数是。 3. 有理数乘法的运算律 有理数的乘法满足以下运算律： 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即a × b = b × a 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即(a × b) × c = a × (b × c) 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 即a × (b + c) = a × b + a × c 运算律的作用：运用乘法运算律可以简化有理数的乘法运算。例如，利用分配律可以将复杂的乘法转化为较简单的加减运算；利用交换律和结合律可以将能凑整或乘积为1（互为倒数）的数先相乘。 4. 有理数的除法 有理数除法法则1（直接相除）： · 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 · 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 · 0不能作除数。 有理数除法法则2（转化为乘法）： · 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 即a ÷ b = a ×(b ≠ 0) 说明： · 对于除法运算，通常转化为乘法运算来进行，即利用法则2。 · 当除数是分数时，转化为乘以它的倒数尤为简便。 5. 有理数的乘除混合运算 运算顺序： · 在只有乘除运算的算式中，要按从左到右的顺序依次进行运算。 · 可以根据运算的需要，将除法统一转化为乘法后，再运用乘法交换律和结合律进行简便运算。 · 算式中如果有括号，要先算括号里面的。 6. 有理数的四则混合运算 运算顺序： 1. 先算乘方（七年级上册可能尚未学习，可暂略或根据教材实际情况调整），再算乘除，最后算加减。 2. 同级运算，从左到右进行。 3. 如有括号，先算括号里面的。一般按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 简便运算：在进行有理数混合运算时，要仔细观察算式的特点，灵活运用运算律（加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律）进行简便运算，以简化计算过程，提高计算的准确性和效率。 例题解析 例1：计算下列各题 (1)(-3) × (-4) 解： (-3) × (-4) = +(3 × 4)（同号得正，绝对值相乘） = 12 (2)(-5) × 2 解： (-5) × 2 = -(5 × 2)（异号得负，绝对值相乘） = -10 (3) ) 解： )（同号得正，绝对值相乘） = = （约分） (4)(-3) × 0 × 解： (-3) × 0 × = 0 × （任何数与0相乘得0） = 0 (5)(-1) × (-2) × (-3) × (-4) 解： (-1) × (-2) × (-3) × (-4) = [( -1) × (-2)] × [(-3) × (-4)]（乘法结合律） = (1 × 2) × (3 × 4)（每个括号内同号得正，绝对值相乘） = 2 × 12 = 24（负因数个数为4个，偶数，积为正） 例2：求下列各数的倒数 (1)5 解：5的倒数是，因为5 × = 1。 (2)- 解：- 的倒数是- ，因为。 (3)-1 解：-1的倒数是-1，因为(-1) × (-1) = 1。 例3：运用乘法运算律进行简便计算 (1)(-4) × 8 × × (-125) 解： (-4) × 8 × × (-125) = [(-4) × ] × [8 × (-125)]（乘法交换律和结合律，将能凑整的数结合） = (4 × 2.5) × [-(8 × 125)] = 10 × (-1000) = -10000 (2) 解： × (-12) + × (-12) - × (-12)（乘法分配律） = 6 + (-8) - (-10) = 6 - 8 + 10（去括号） = (6 - 8) + 10 = (-2) + 10 = 8 例4：计算下列除法 (1)(-18) ÷ (-6) 解： (-18) ÷ (-6) = +(18 ÷ 6)（同号得正，绝对值相除） = 3 (-27) ÷ 解： (-27) ÷ = (-27) × （除以等于乘以） （异号得负，绝对值相乘） = -36 例5：计算乘除混合运算 (-3) × 6 ÷ (-2) ÷ (-4) 解： (-3) × 6 ÷ (-2) ÷ (-4) （将除法转化为乘法，除以一个数等于乘以它的倒数） （乘法结合律，也可从左往右依次计算） = - 例6：计算有理数的四则混合运算 -12 ÷ (-3) + (-15) × 4 - (-2) 解： -12 ÷ (-3) + (-15) × 4 - (-2) = 4 + (-60) + 2（先算乘除：-12 ÷ (-3) = 4； (-15) × 4 = -60； -(-2) = +2） = 4 - 60 + 2（去括号） = (4 + 2) - 60（加法结合律） = 6 - 60 = -54 例7：实际应用问题 某水库的水位在5小时内持续下降，平均每小时下降3厘米。已知初始水位为150厘米。 (1) 5小时后水库的水位是多少厘米？ (2) 若水位下降到120厘米时，需要多少小时？ 解析： (1) 水位下降，用负数表示下降的量。每小时下降3厘米，5小时下降的总量为5 × (-3)厘米。初始水位为150厘米，所以5小时后的水位为初始水位加上下降的总量。 解： (1)150 + 5 × (-3) = 150 + (-15) = 135 答：5小时后水库的水位是135厘米。 (2) 要求水位从150厘米下降到120厘米所需的时间，首先计算需要下降的总高度，即120 - 150 = -30厘米（负号表示下降）。已知每小时下降3厘米（即速度为 -3厘米/小时），时间 = 总下降高度 ÷ 每小时下降高度。 解： (2) 下降的总高度为120 - 150 = -30厘米 所需时间为(-30) ÷ (-3) = 10 答：需要10小时。 巩固练习 A组 基础题 一、选择题 1. 下列计算正确的是（ ） A.(-3) × (-4) = -12 B.(-5) × 0 = -5 C. .6 × (-3) = 18 答案：C 解析：A选项，同号得正，应为12；B选项，任何数乘0都得0；C选项，正确，互为倒数的两数相乘得1；D选项，异号得负，应为-18。 2. 下列各数中，与-4互为倒数的是（ ） A.4 B.-4 C. D.- 答案：D 解析：互为倒数的两数乘积为1。，所以选D。 3. 计算(-2) × 3 × (-4)的结果是（ ） A.-24 B.24 C.-12 D.12 答案：B 解析：(-2) × 3 × (-4) = [(-2) × (-4)] × 3 = 8 × 3 = 24，负因数个数为2个（偶数），积为正。 二、填空题 4. (-5) × =_________ 答案：1 解析：(-5) × = 5 × 0.2 = 1。 5. 答案： 解析：。 6. (-1) × (-2) × (-3) × 0 × (-4) =_________ 答案：0 解析：几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 三、计算题 7. (-7) × 8 解： (-7) × 8 = -(7 × 8) = -56 8. ( ) 解： 9. 解： (-36) ÷ 9 = -(36 ÷ 9) = -4 10. ) 解： B组 提高题 四、计算题（能简便的用简便方法） 13. × (-8) × × 4 解： × (-8) × × 4 = [ × (-8)] × [ × 4] = 1 × (-10) = -10 14. ) 解： × (-24) + × (-24) - × (-24) = 6 + (-4) + 3 = 6 - 4 + 3 = 5 15. (-5) × 6 + (-120) ÷ (-5) - (-1) 解： (-5) × 6 + (-120) ÷ (-5) - (-1) = (-30) + 24 + 1 = (-30) + 25 = -5 五、解答题 16. 一天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，半夜的气温是多少摄氏度？ 解： -7 + 11 - 9 = ( -7 - 9 ) + 11 = (-16) + 11 = -5 答：半夜的气温是-5℃。 17.某冷冻厂的一个冷库的温度是-2℃，现有一批食品需要在-28℃冷藏。如果每小时能降温4℃，问几小时后能降到所要求的温度？ 解： 需要降低的温度为：-28 - (-2) = -28 + 2 = -26℃（负号表示温度下降） 所需时间为：(-26) ÷ (-4) = 6.5（小时） 答：6.5小时后能降到所要求的温度。 18.已知|a| = 3，|b| = 5，且a × b < 0，求a × b的值。 解： 因为|a| = 3，所以a = 3或a = -3。 因为|b| = 5，所以b = 5或b = -5。 又因为a × b < 0，所以a和b异号。 当a = 3时，b = -5，则a × b = 3 × (-5) = -15。 当a = -3时，b = 5，则a × b = (-3) × 5 = -15。 综上，a × b的值为-15。 答：a × b的值为-15。 学科网（北京）股份有限公司 $