第13章 三角形 综合素养提升 & 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（人教版2024）

11.(1)猜想：∠1=∠2.理由略 (2)(1)中的结论仍成立.理由略 12.(1)20°∠EAD=2∠C-∠B) (2)∠DFE=20°，∠DFE=2(∠C-∠B) (3)32 13.3.2三角形的外角 1.∠1，∠32.B3.C4.B5.606.40° 7.101°【变式】70°8.309.50°10.45° 11.解：(1)①100°∠C+∠ADM=2∠APM ②如图，延长AP交BC于 点E. .∠BAN和∠CMN的平分 线交于点P, M B E ∴.设∠PAB=∠PAC=a,∠PMN=∠PMC=B, 则∠BAC=2a,∠NMC=2B. :∠MNA是△MNC的一个外角， ∴.∠MNA=∠C+∠NMC=∠C+2R. :∠ADM是△AND的一个外角， ∴.∠ADM=∠BAC+∠MNA=2a+∠C+2B= ∠C+2(a+B). .∠PEM是△AEC的一个外角， ∴.∠PEM=∠C+∠PAC=∠C+a. ,∠APM是△PME的一个外角， ∴.∠APM=∠PEM+∠PMC=∠C+a+B, ∴.a+B=∠APM-∠C,.∠ADM=∠C+ 2(a+B)=∠C+2(∠APM-∠C), ∴.∠C+∠ADM=2∠APM. .∠C=60°，∠ADM=140°， .60°+140°=2∠APM,∴.∠APM=100°. (2)∠ADM-∠C=2∠P 数学活动多边形的三角剖分 1.(1)34(n-2) (2)能.此多边形的边数为2025 2.共有14种不同的分割方案 章末复习 1.c2B3-3a<-24D5号 6.75 7.解：(1)证明：DE∥BC,∴∠ADE=∠B. .CD⊥AB,EF⊥CD, ∴.AB∥EF,∠B=∠EFC, ∴.∠ADE=∠EFC. (2)50° 8.∠DAC=20°，∠BOA=125 9.解：(1)如图，过点O作OH∥AB B4 .AB∥CD,.OH∥AB∥CD, ∴.∠2=∠4，∠1=∠3，∠5+∠6=180° 根据题意，得∠5=180°-2∠3，∠6=180°-2∠4， .180°-2∠3+180°-2∠4=180°， .∠3+∠4=90°， ∴.∠1+∠2=90°，即α=90°. (2)∠OPQ=∠ORQ (3)B=90°+a 综合与实践确定匀质薄板的重心位置 1.A2.(2,2)【变式】(-1，-2)3.略 4.此匀质薄板类工件的重心的坐标为(32,27).计 算过程略 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.C2.ADE∠DAE DE 3解：点A与点A,点B与点D,点C与点E是对 应顶，点；AB与AD,BC与DE,AC与AE是对应 边；∠B与∠D,∠C与∠E,∠BAC与∠DAE是 对应角. 4.c5.B6.207.20cm8.0.5cm 9.D10.A11.22 12.(1DE=1cm,△DBC的面积为号cm (2)AD⊥CE,理由略 13.解：(1)①4t②(16-4t)③at (2)由(1)可知，BP=4tcm,CP=(16-4t)cm, CQ=atcm.,D为AB的中点，AB=AC= 24cm,∴.∠B=∠C,BD=12cm, 分两种情况讨论： (BD=QC, ①若△DBP≌△QCP,则 BP=CP, 12=at, /a=6, (4t=16-4t,t=2; (BD=PC, ②若△DBP≌△PCQ,则 BP=CQ, 12=16-4t,.t=1, 4t=at, la=4. 综上所述，a的值为6，t的值为2或a的值为4，l 的值为1. 144·综合素养提升 9.【新情境·跨学科】(2024·大连瓦房店月考)[阅读探究] (1)如图1，已知AB是一块平面镜，光线PO在平面镜AB上经点O反射后形成光线OQ.我们称 PO为入射光线，OQ为反射光线.镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与 平面镜的夹角，即∠1=∠2.利用镜面反射的性质进行如下探究：如图2，已知两块平面镜OC,OB 的夹角为α，入射光线AB和反射光线CD平行，探究此时两平面镜的夹角α的度数 [方法运用] (2)如图3，放置四块平面镜，其中平面镜AD与平面镜BC平行，另外两块平面镜在AD和BC之 间，四块平面镜构成四边形ABCD,光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→PQ> R→O→P→…，直接写出∠OPQ和∠ORQ之间的数量关系 [应用拓展] (3)如图4，若镜子OM与ON的夹角∠MON=135°，增加一块平面镜NP,设镜子ON与NP的夹 角∠ONP=3(90°<3<180)，入射光线AB与平面镜OM的夹角∠ABM=a,已知入射光线AB 从平面镜OM开始反射，经过三次反射后，反射光线CD与入射光线AB平行，求B的度数.（用含有 a的式子表示) B 1△人2 NC 图1 图2 图3 图4 18一本·初中数学8年级上册RJ版 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 1.由边长相同的小正方形组成的网格如图所示， 重心G.(不用写作法，保留痕迹，写出结论) 点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的格点（网 格线的交点)上，则△ABC的重心是() A点D B.点E C.点F D.点G 2.在平面直角坐标系xOy中，点A,B的坐标分 别为(6,0)，(0,6)，△AOB的重心G的坐标为 [变式]如图，在平面直角坐标系中，点B的 坐标为(-2,3)，点C的坐标为(-4,0)，M为 △OBC的重心.若将△OBC绕着点O逆时针 旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标 为 4.一个工程用的匀质薄板类工件的示意图如图 所示，建立平面直角坐标系，请通过计算确定 它的重心的坐标 y个 10cm 10cm9 30 cm 3.在学习“确定匀质薄板的重心位置”时，王强向 10cm4 同桌李明提出了这样一个问题：四边形有没有 O 30 cm 30 cm 重心？如果四边形有重心，它的重心如何确定 呢？李明在周末查阅了相关资料，得到如下的 信息：①四边形也有重心；②在平面内，图形A 与图形B拼成一个图形C,那么图形C的重心 一定在图形A的重心与图形B的重心连接的 线段上.如图，有两个全等的直角三角形（其中 一个记为Rt△ABC),C为直角顶点，将这两个 三角形拼成一个四边形，使得斜边重合.请画出 所有符合要求的四边形，并作出所拼四边形的 第十三章三角形19