15.3.2 第1课时 等边三角形的性质和判定 & 第2课时 含30°角的直角三角形的性质-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（人教版2024）

15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质和判定 A 知识分点练 夯基础 知识点2等边三角形的判定 5.下列条件中，不能判定三角形是等边三角形的 知识点1等边三角形的性质 是 () 1.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC交BC A.有两个内角是60°的三角形 于点D.若BD=2,则AC= B.三边都相等的三角形 C,有一个角是60°的等腰三角形 D.有两个外角相等的等腰三角形 6【新情境·生活情境】由于木质衣架没有柔性， A.2 B.3 C.1.5 D.4 在挂置衣服的时候不太方便操作，所以小明设 2.(2024·泰安)如图，直线l∥m,等边三角形ABC 计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣 的两个顶点B,C分别落在直线1，m上.若 服后松开即可.如图，衣架杆OA=OB=20cm, ∠ABE=21°，则∠ACD的度数是 若衣架收拢时，∠AOB=60°，则此时A,B两点之 E 间的距离为 cm. D A.45° B.39° C.29 D.21° 3.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交 7.(教材P93复习题T11变式)如图，△ABC是等边 BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形，则 三角形，DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC,垂足分 ∠B= 别为A,B,C.求证：△DEF是等边三角形 4.如图，点D,E分别在等边三角形ABC的边 AC,AB上，且AE=CD,求∠CFD的度数， B 第十五章轴对称51 B能力综合练 练思维、 C拓展探究练 提素养 8.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,垂足 11.如图，△ABC,△CDE都是等边三角形，AD, 为D,点E在线段AD上.若∠EBC=45°，则 BE相交于点O,M,N分别是线段AD,BE ∠ACE= () 的中点，连接CM,MN,CN. A.15 B.30° C.45° D.60° (1)求证：AD=BE; 北 (2)求∠DOE的度数； (3)求证：△MNC是等边三角形 40° 北 20° B D B 第8题图 第9题图 9.【新情境·跨学科】（教材P85习题T9变式）如图， 一艘轮船从海平面上的A地出发，沿南偏西 40°方向行驶40海里到达B地，再从B地沿北 偏西20°方向行驶40海里到达C地，则A,C 两地相距 海里， 10.如图，在等边三角形ABC中，M为边AB上 的任意一点，延长BC至点N,使CN=AM, 连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H. (1)求证：MP=NP; (2)若AB=a,求线段PH的长（结果用含a 的式子表示) M 52一本·初中数学8年级上册RJ版 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 A知识分点练 夯基础 B能力综合练 练思维一 知识点含30°角的直角三角形的性质 5.如图，AC平分∠MAN. 1.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，BC=4, (1)在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC= 则AC的长为 ∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC (2)在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+ ∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立？ A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 2.(2025·铁岭期中)如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，∠A=30°，BC=6,CD是高，则AD的长 为 ( B N A.6 B.7 C.8 D.9 图1 图2 D R 第2题图 第3题图 3.(教材P86习题T12变式)如图，在△ABC中， ∠A=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB交AB 于点D,DE∥AC,且交BC于点E.若AC=3, 则DE的长为 A.2 B号 c D.3 4.如图，在△ABC中，∠C=60°，AD是BC边上 的高，E为AD的中点，连接BE并延长交AC 于点F若∠AFB=90°，EF=2,求BF的长 温馨提示：学习至此，建议使用本书第127~128页周 周清小卷5(15.3) 第十五章轴对称5311.解：(1)证明：.AD⊥BC,BO⊥AO, .∠AOE=∠BOC=∠BDE=90°. ∠AEO=∠BED,∴.∠OAE=∠OBC. .A(-5,0),B(0,5),.OA=OB=5. (∠AOE=∠BOC, 在△AOE和△BOC中，OA=OB, ∠OAE=∠OBC, .△AOE≌△BOC(ASA),∴.OE=OC. .点C的坐标为(3,0)，.OC=3=OE, .点E的坐标为(0,3). (2)略 (3)结论：AD=CD十OC.证明略 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质和判定 1.D2.B3.304.60°5.D6.207.略8.A 9.4010.(1)略(2)号 11.解：(1)证明：，△ABC,△CDE都是等边三角 形，∴.AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， .∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, .∠ACD=∠BCE. (AC=BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS),∴.AD=BE. (2)60° (3)证明：由(1)可知△ACD≌△BCE,AC=BC, .∠CAD=∠CBE,AD=BE. M,N分别是线段AD,BE的中点， AM=号AD,BN=BE,AM=BN. (AC=BC, 在△ACM和△BCN中，∠CAM=∠CBN, AM-BN, ∴.△ACM≌△BCN(SAS), ∴.CM=CN,∠ACM=∠BCN. ∠ACB=60°，∴.∠ACM+∠MCB=60°， ∴.∠BCN+∠MCB=60°，即∠MCN=60°， .△MNC是等边三角形. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 1.C2.D3.A4.10 5.(1)略(2)(1)中的结论仍然成立.证明略 探究与发现三角形中边与角 之间的不等关系 解：【教材呈现】选择小涛的解题思路.证明：作 ∠BAC的平分线AE,∴.∠DAE=∠CAE. ,AB>AC,.在AB上截取AD=AC,连接DE. (AE=AE, 在△ADE和△ACE中，∠DAE=∠CAE, AD=AC, ∴△ADE≌△ACE(SAS),∴.∠ADE=∠ACB. ,∠ADE>∠B,∴∠ACB>∠B. 选择小亮的解题思路.证明：，AB>AC,.在AB 边上截取AD=AC,连接CD,.∠ADC= ∠ACD..∠ADC>∠B,.∠ACD>∠B. :∠ACB>∠ACD, ∴∠ACB>∠B.(任选其一作答即可) 【类比分析】证明：把△ACE沿∠BAC的平分线 AE翻折，点C落在AB上的点D处（图略）， ∴.∠ADE=∠ACB,AD=AC. ,∠ACB>∠B,.∠ADE>∠B, 点D在边AB上，AB>AD,AB>AC. 【知识应用】证明：如图.AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD.,AB>AC+CD,∴.在AB 上截取AE=AC,连接DE. AD-AD, 在△ADE和△ADC中，∠EAD=∠CAD, AE=AC, ∴.△ADE≌△ADC(SAS),∴.∠AED=∠C. ,AB>AC+CD,.在EB上截取BF=DF, ∠FDB=∠B,∠EFD=2∠B. :∠AED>∠EFD, .∠AED>2∠B,∴.∠C>2∠B. B D 数学活动等腰三角形中相等的线段 解：(1)证明：如图1，连接AD.,AB=AC,D为 BC的中点，∴.AD平分∠BAC.,DE⊥AB, DF⊥AC,.DE=DF. 图1 图2 (2)DB=DC 证明：如图2，连接AD,交BC于点M. 149·