15.3.1 第2课时 等腰三角形的判定-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（人教版2024）

7.(1)图略，表格中应依次填写3,4,5,6(2)10n 8.略9.略10.(1)略(2)32 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 1解：如图所示，△A'B'C即为所求. 2解：如图所示 3.c 4.解：△A1B1C1,△A2B2C2如图所示. B C(C)B2 B C2 5.解：(1)如图所示，线段A1B1即为所求 B B ID (2)如图所示，线段A2B2即为所求」 (3)如图所示，点M,N即为所求. 6.解：(1)如图1，MN即为所求.（答案不唯一） D B 图1 图2 图3 (2)如图2，PQ即为所求.（答案不唯一） (3)如图3，△DEF即为所求.（答案不唯一） 第2课时用坐标表示轴对称 1.A2.C3.B4.A5.16.(-2,-2) 【变式】(0，-2)7.a>18.(2,0) 9.(4,-3)(-4,-3)(-4,3)10.6 11.(1)3-31-141(2)略 (3)(-x,-y)12.A 13.(1)(4,4)(3,1)(2)(-2,-6)(-1,-2) 14.(1)图略，A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1) (2)图略，A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1) (3)略(4)(x+6,y) 15.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求. AV A +543-2x10Π2343x -4 -5 ,点C的对应点C1的坐标为（一4,3）. (2)①(1,0)或(0，-1) ②因为点P(2m,-√5)与点Q(-n,2√5)互为“等 差，点”，且m,n互为相反数， 所以{ -n-2m=2√5-(-√5)， m十n=0, m=-3√5， 解得 n=3v5, 所以，点Q的坐标为（一3√5,2√5）. 15.3 等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.D2.B3.B4.25°5.78°6.D7.C8.20 9.略10.50°或80°11.C12.54°或126 13.(1)略(2)45°或90° 14.(1)26°(2)40° (3)当0°<a<90°时，∠EAN=180°-2a;当90°< a<180°时，∠EAN=2a-180° 第2课时等腰三角形的判定 1.B2.D3.B4.略5.26.略7.略 8.A【变式】29.5 10.解：(1)证明：，CD=CB,CG⊥BD, ∴.∠BCD=2∠BCG=2∠DCG. ,BF⊥CD,CG⊥AB,∴∠BED=∠DGC=90°， ∴.∠DCG+∠CDG=90°，∠ABF+∠CDG=90°， .∠ABF=∠DCG, ∴.∠BCD=2∠ABF (2)△BCF是等腰三角形.理由略 148· 11.解：(1)证明：.AD⊥BC,BO⊥AO, .∠AOE=∠BOC=∠BDE=90°. ∠AEO=∠BED,∴.∠OAE=∠OBC. .A(-5,0),B(0,5),.OA=OB=5. (∠AOE=∠BOC, 在△AOE和△BOC中，OA=OB, ∠OAE=∠OBC, .△AOE≌△BOC(ASA),∴.OE=OC. .点C的坐标为(3,0)，.OC=3=OE, .点E的坐标为(0,3). (2)略 (3)结论：AD=CD十OC.证明略 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质和判定 1.D2.B3.304.60°5.D6.207.略8.A 9.4010.(1)略(2)号 11.解：(1)证明：，△ABC,△CDE都是等边三角 形，∴.AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， .∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, .∠ACD=∠BCE. (AC=BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS),∴.AD=BE. (2)60° (3)证明：由(1)可知△ACD≌△BCE,AC=BC, .∠CAD=∠CBE,AD=BE. M,N分别是线段AD,BE的中点， AM=号AD,BN=BE,AM=BN. (AC=BC, 在△ACM和△BCN中，∠CAM=∠CBN, AM-BN, ∴.△ACM≌△BCN(SAS), ∴.CM=CN,∠ACM=∠BCN. ∠ACB=60°，∴.∠ACM+∠MCB=60°， ∴.∠BCN+∠MCB=60°，即∠MCN=60°， .△MNC是等边三角形. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 1.C2.D3.A4.10 5.(1)略(2)(1)中的结论仍然成立.证明略 探究与发现三角形中边与角 之间的不等关系 解：【教材呈现】选择小涛的解题思路.证明：作 ∠BAC的平分线AE,∴.∠DAE=∠CAE. ,AB>AC,.在AB上截取AD=AC,连接DE. (AE=AE, 在△ADE和△ACE中，∠DAE=∠CAE, AD=AC, ∴△ADE≌△ACE(SAS),∴.∠ADE=∠ACB. ,∠ADE>∠B,∴∠ACB>∠B. 选择小亮的解题思路.证明：，AB>AC,.在AB 边上截取AD=AC,连接CD,.∠ADC= ∠ACD..∠ADC>∠B,.∠ACD>∠B. :∠ACB>∠ACD, ∴∠ACB>∠B.(任选其一作答即可) 【类比分析】证明：把△ACE沿∠BAC的平分线 AE翻折，点C落在AB上的点D处（图略）， ∴.∠ADE=∠ACB,AD=AC. ,∠ACB>∠B,.∠ADE>∠B, 点D在边AB上，AB>AD,AB>AC. 【知识应用】证明：如图.AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD.,AB>AC+CD,∴.在AB 上截取AE=AC,连接DE. AD-AD, 在△ADE和△ADC中，∠EAD=∠CAD, AE=AC, ∴.△ADE≌△ADC(SAS),∴.∠AED=∠C. ,AB>AC+CD,.在EB上截取BF=DF, ∠FDB=∠B,∠EFD=2∠B. :∠AED>∠EFD, .∠AED>2∠B,∴.∠C>2∠B. B D 数学活动等腰三角形中相等的线段 解：(1)证明：如图1，连接AD.,AB=AC,D为 BC的中点，∴.AD平分∠BAC.,DE⊥AB, DF⊥AC,.DE=DF. 图1 图2 (2)DB=DC 证明：如图2，连接AD,交BC于点M. 149·第2课时 等腰三角形的判定 A知识分点练 夯基础一 6.如图，在△ABC中，P是边BC上的一点，过点 P作BC的垂线，交AB于点Q,交CA的延长 知识点1等腰三角形的判定 线于点R.若AQ=AR,求证：△ABC是等腰三 1.在△ABC中，若∠B=∠C,则 A.AB=BC 角形. B.AB=AC C.BC=AC D.∠A=60° 2.(2024·大连期中)如图，AE平分∠BAC,DE∥ AB,若AD=5,则DE的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 3.△ABC的三边长分别为a,b,c,下列选项中 不能判定△ABC是等腰三角形的是( A.a=3,b=3,c=4 B.a:b:c=2:3:4 知识点3用尺规作等腰三角形 C.∠B=50°，∠C=80° 7.已知：如图，线段a,∠a. D.∠A：∠B:∠C=1:1:2 求作：△ABC,使∠BAC=∠a,AB=AC,且 4.如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E,BD BC边上的高AD=a.(保留作图痕迹，不写 AC于点D,AE=BD.求证：△ABC是等腰三 作法) 角形 D B 能力综合练 练思维、 8.如图，在△ABC中，AB=7cm,BC=5cm, AC=6cm,∠ABC与∠ACB的平分线交于点 O,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点 知识点2等腰三角形的性质与判定的综合 D,E,则△ADE的周长为 () 5.(2024·重庆B卷)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若 BC=2,则AD的长度为 D B A.13 cm B.14 cm C.15 cm D.16 cm 第十五章轴对称49 [变式]如图，△ABC的内角∠ABC和外角 C拓展探究练 提素养 ∠ACD的平分线交于点O,过点O作 11.在平面直角坐标系中，已知点A(一5,0)， EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F.已知 B(0,5),点C为x轴正半轴上的一个动点，过 BE=5,CF=3,则EF的长为 点A作AD⊥BC交y轴于点E. (1)如图1，若点C的坐标为(3,0)，求证： △AOE≌△BOC,并直接写出点E的坐标； D (2)如图2，若点C在x轴正半轴上运动，且 9.如图，已知D为△ABC内一点，CD平分 OC<5,其他条件不变，连接DO,求证：DO平 ∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若BD= 分∠ADC; 1cm,BC=3cm,则AC= cm. (3)在(2)的条件下，当∠OCB=2∠DAO时， B 试探究线段AD,OC,CD之间的数量关系，并 D 证明。 10.如图，在△ABC中，AC>BC,∠A=45°， D是边AB上的一点，且CD=CB,过点B作 BF⊥CD于点E,与AC交于点F,过点C作 CG⊥BD,垂足为G 图2 (1)求证：∠BCD=2∠ABF; R (2)判断△BCF的形状，并说明理由. 备用图 50一本·初中数学8年级上册RJ版