13.3.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（人教版2024）

参考答案 同步训练 第十三章三角形 13.1三角形的概念 1.C2.C【变式】∠AEB3.B4.D 5.△ABO,△ABC,△ABD5△BOC,△ABC ∠OBC OB6.D7.D8.钝角 9.解：等腰三角形是△ABC,△ABD,△ACD,等 边三角形是△ABD. 10.解：(1)图中有5个三角形，分别是△ABC, △ADC,△ADE,△CDE,△BCD. (2)锐角三角形是△ABC,△BCD,直角三角形是 △ADE,△CDE,钝角三角形是△ADC. 11.C12.C13.4 14.解：一共可以组成16个三角形，分别是 △ACD,△ACE,△ACF,△ADE,△ADF, △AEF,△BCD,△BCE,△BCF,△BDE, △BDF,△BEF,△CAB,△DAB,△EAB, △FAB. 15.(1)0 连接点的个数12345 三角形的个数36101521 1 (2)2(n+1)(n+2) 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 1.B2.A3.5<x<9 4.(1)2<c<10,12<x<20 (2)△ABC是等腰三角形 5.A6.B7.稳定性8.10 9.C10.D11.C12.c13.-a+b+3c 14能另外两边的长分别为5em,8cm或号cm, 13 2 cm 15.解：(1)BD PC BD+PCPC+BP (2)证明：由(1)同理可得，AB+BC>PA+PC, BC+AC>PB+PA, ..AB+AC+AB+BC+BC+AC>PB+PC+ PA+PC+PB+PA, ..AB+BC+AC>PA+PB+PC, 即PA+PB+PC<AB+BC+AC. .14 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 1.C2.A3.(1)2(2)5(3)48 4.CAD BAC5.25°6.DF∥AB.理由略 7.B8.(1)AD(2)AE(3)BF 9.(1)略(2)210.8或1611.C12.4.8 13.(1)4cm(2)2cm 变式微专题1利用中线解决面积问题 【例】4【变式1】2【变式2】1【变式3】2 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 1.B2.A3.4535 4g9) (2)108(3)75 5.95°6.B7.160°8.20 9.C【变式1】C【变式2】80°10.120° 【变式】90+201.80或4012.35 13.解：(1)证明：，在△ADE中，∠A十∠ADE+ ∠AED=180°，在△ABC中，∠A+∠ABC+ ∠ACB=180°， ∴.∠ADE+∠AED=∠ABC+∠ACB. .∠ABC=∠ACB, ∴.∠ADE+∠AED=2∠ABC. (2)∠ACD=2∠DBF.理由如下： 由(1)同理可得，∠ADC+∠ACD=2∠ABC. .∠ABC=∠DBF+∠FBC, ∴.∠ADC+∠ACD=2∠DBF+2∠FBC. .∠ADC=2∠FBC,∴∠ACD=2∠DBF. (3)设∠DBF=a,∴.∠ACF=2a. .∠FAC+∠DBF=90°，∴.∠FAC=90°-a. ∠ADC=60°，∴∠FBC=30°， ∴.∠ABC=∠DBF+∠FBC=30°+a. .'在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB= 180°，∠ABC=∠ACB, ∴.∠BAC=180°-2(30°+a)=120°-2a, ∴.∠BAF=∠BAC-∠FAC=(120°-2a)- (90°-a)=30°-a. .'在△ABF中，∠ABF+∠BAF+∠AFB= 180°，即a+30°-a+∠AFB=180°， ∴.∠AFB=150°. 第2课时直角三角形的性质与判定 1.B2.C【变式】483.404.655.40° 6.C7.△ABC是直角三角形.理由略 8.D9.A10.A 43. 11.(1)猜想：∠1=∠2.理由略 (2)(1)中的结论仍成立.理由略 12.(1)20°∠EAD=2∠C-∠B) (2)∠DFE=20°，∠DFE=2(∠C-∠B) (3)32 13.3.2三角形的外角 1.∠1，∠32.B3.C4.B5.606.40° 7.101°【变式】70°8.309.50°10.45° 11.解：(1)①100°∠C+∠ADM=2∠APM ②如图，延长AP交BC于 点E. .∠BAN和∠CMN的平分 线交于点P, M B E ∴.设∠PAB=∠PAC=a,∠PMN=∠PMC=B, 则∠BAC=2a,∠NMC=2B. :∠MNA是△MNC的一个外角， ∴.∠MNA=∠C+∠NMC=∠C+2R. :∠ADM是△AND的一个外角， ∴.∠ADM=∠BAC+∠MNA=2a+∠C+2B= ∠C+2(a+B). .∠PEM是△AEC的一个外角， ∴.∠PEM=∠C+∠PAC=∠C+a. ,∠APM是△PME的一个外角， ∴.∠APM=∠PEM+∠PMC=∠C+a+B, ∴.a+B=∠APM-∠C,.∠ADM=∠C+ 2(a+B)=∠C+2(∠APM-∠C), ∴.∠C+∠ADM=2∠APM. .∠C=60°，∠ADM=140°， .60°+140°=2∠APM,∴.∠APM=100°. (2)∠ADM-∠C=2∠P 数学活动多边形的三角剖分 1.(1)34(n-2) (2)能.此多边形的边数为2025 2.共有14种不同的分割方案 章末复习 1.c2B3-3a<-24D5号 6.75 7.解：(1)证明：DE∥BC,∴∠ADE=∠B. .CD⊥AB,EF⊥CD, ∴.AB∥EF,∠B=∠EFC, ∴.∠ADE=∠EFC. (2)50° 8.∠DAC=20°，∠BOA=125 9.解：(1)如图，过点O作OH∥AB B4 .AB∥CD,.OH∥AB∥CD, ∴.∠2=∠4，∠1=∠3，∠5+∠6=180° 根据题意，得∠5=180°-2∠3，∠6=180°-2∠4， .180°-2∠3+180°-2∠4=180°， .∠3+∠4=90°， ∴.∠1+∠2=90°，即α=90°. (2)∠OPQ=∠ORQ (3)B=90°+a 综合与实践确定匀质薄板的重心位置 1.A2.(2,2)【变式】(-1，-2)3.略 4.此匀质薄板类工件的重心的坐标为(32,27).计 算过程略 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.C2.ADE∠DAE DE 3解：点A与点A,点B与点D,点C与点E是对 应顶，点；AB与AD,BC与DE,AC与AE是对应 边；∠B与∠D,∠C与∠E,∠BAC与∠DAE是 对应角. 4.c5.B6.207.20cm8.0.5cm 9.D10.A11.22 12.(1DE=1cm,△DBC的面积为号cm (2)AD⊥CE,理由略 13.解：(1)①4t②(16-4t)③at (2)由(1)可知，BP=4tcm,CP=(16-4t)cm, CQ=atcm.,D为AB的中点，AB=AC= 24cm,∴.∠B=∠C,BD=12cm, 分两种情况讨论： (BD=QC, ①若△DBP≌△QCP,则 BP=CP, 12=at, /a=6, (4t=16-4t,t=2; (BD=PC, ②若△DBP≌△PCQ,则 BP=CQ, 12=16-4t,.t=1, 4t=at, la=4. 综上所述，a的值为6，t的值为2或a的值为4，l 的值为1. 144·第2课时 直角三 A知识分点练 夯基础、 知识点1直角三角形的两个锐角互余 1.在Rt△ABC中，∠C是直角，∠B=54°，则 ∠A的度数是 () A.66 B.36 C.56° D.46 2.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB= 90°，CD⊥AB,则与∠1互余的角为 ( A.∠B B.∠A C.∠BCD和∠A D.∠BCD (x-20)° D B x+30)°A 第2题图 第3题图 [变式]在第2题中，若∠A=48°，则∠BCD= 3.如图，x的值为 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=40°， 则∠A= 5.(2025·大连金普新区期中)如图，在△ABC中，CD 平分∠ACB,E为线段CD上的一点，过点E 作EF⊥CD交BA的延长线于点F.若 ∠BAC=115°，∠B=35°，求∠F的度数. A D 12一本·初中数学8年级上册RJ版 角形的性质与判定 知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形 6.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为() A锐角三角形 B钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 7.(教材P14练习T2变式)如图，E是△ABC中AC 边上的一点，过点E作ED⊥AB,垂足为D.若 ∠1=∠2，则△ABC是直角三角形吗？为 什么？ B能力综合练 练思维、 8.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的 是 ) A.∠B+∠A=∠C B∠A=∠B=5∠C C.∠A:∠B:∠C=2：3:5 D.∠A=2∠B=3∠C 9.将两把直角三角尺按如图所示的位置摆放 (∠A=45°，∠F=30),其中点D在AB边上， 点E在AC边上.若DE∥BC,则∠1的度数为 () A.75° B.60° C.45° D.30° 10.(2025·鞍山月考)如图，小明在计算机上用“几 何画板”画了一个Rt△ABC,∠C=90°，并画 出了两锐角的平分线AD,BE及其交点F.小 明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大 小，∠AFB的度数始终是定值，则这个定值为 () A.135°B.150° C.120° D.110° 11.如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE1 AB于点E (1)猜想∠1与∠2之间的数量关系，并说明 理由. (2)如图2，如果∠ABC是钝角，那么(1)中的 结论是否仍成立？请说明理由 E 19 图1 图2 C拓展探究练 提素养、 12【新考法·综合与实践】[问题呈现 小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C>∠B,AE平分 ∠BAC,AD⊥BC于点D,猜想∠EAD与 ∠B,∠C之间的数量关系. (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系，也没 有解题思路，于是尝试代入∠B,∠C的度数 求∠EAD的度数，得到下面几组对应值： ∠B 10° 30° 30 20° 20° ∠C 70 70 60 60 80 ∠EAD 30 a 159 20 30 上表中a= ,于是得到∠EAD与 ∠B,∠C之间的数量关系为 [变式应用] (2)小明继续研究，如图2，∠B=35°，∠C= 75若把“AD⊥BC于点D”改为“F是线段 AE上的一点，FD⊥BC于点D”,其他条件不 变，求∠DFE的度数，并直接写出∠DFE与 ∠B,∠C之间的数量关系. [思维发散] (3)小明突发奇想，交换B,C两个字母的位 置，如图3，∠ABC=88°，∠C=24°.若把 “AD⊥BC于点D”改为“F是EA的延长线 上的一点，FD⊥BC于点D”,其他条件不变， 则∠F的度数为 E D B ED 图1 图2 R) 图3 第十三章三角形13