2.1 代数式 讲义 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

2.1 代数式 学习目标 1. 理解用字母表示数的意义，能运用字母表示简单的数量关系。 2. 掌握代数式的概念，能准确判断一个式子是否为代数式。 3. 熟练掌握代数式的书写规则，并能正确书写代数式。 4. 能说出代数式所表示的实际意义，能根据实际问题列代数式。 5. 理解单项式的概念，能判断一个代数式是否为单项式，并能确定其系数和次数。 6. 理解多项式的概念，能判断一个代数式是否为多项式，并能确定其项、次数和项数。 7. 理解整式的概念，能区分整式与非整式。 8. 掌握求代数式的值的方法，能根据代数式的值求字母的值。 知识点讲解 1. 用字母表示数 用字母表示数是代数的基本特点，它可以简明地表达数量关系、运算律、公式等。 例如：若长方形的长为 ( a )，宽为 ( b )，则面积可表示为 ( ab )；若一个数为 ( x )，则它的3倍与5的和可表示为 ( 3x + 5 )。 2. 代数式的概念 用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 单独的一个数或一个字母也是代数式。 例如：( 3 )，( x )，( 2a + 3b )，（），都是代数式。 3. 代数式书写方法 （1）数字与字母相乘时，数字写在字母前面，乘号可省略或用“·”表示，如写作 ( 3a ) 或。 （2）字母与字母相乘时，乘号可省略或用“·”表示，如写作 ( ab ) 或。 （3）除法运算一般写成分数形式，如写作（）。 （4）带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数，如写作。 （5）代数式后面有单位时，若代数式是和或差的形式，需加括号，如 ( (a + b) ) 米。 （6）相同字母相乘一般写成幂的形式，如写作。 4. 代数式表示的实际意义 用文字语言描述代数式的含义，需结合运算顺序和数量关系。 例如：( 2a + 3 ) 可表示“( a ) 的2倍与3的和”；（）可表示“路程 ( s ) 与时间 ( t ) 的商（即速度）”。 5. 单项式 （1）定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 （2）判断：不含加减运算，分母中不含字母（π是常数，可看作数字）。 例如：( 5 )，( x )，是单项式；，( a + b ) 不是单项式。 （3）系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，包括前面的符号。 例如：的系数是 ( -3 )；( x ) 的系数是 ( 1 )；( -a ) 的系数是 ( -1 )。 （4）次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 例如：中 ( x ) 的指数是1，( y ) 的指数是2，次数是 ( 1 + 2 = 3 )；( 5 ) 是常数项，次数是 ( 0 )。 6. 多项式 （1）定义：几个单项式的和叫做多项式。 （2）判断：由单项式相加组成，不含除法运算（或分母中不含字母）。 例如：( 2x - 3y )，是多项式；不是多项式。 （3）项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 例如：的项是，( 2x )，( -1 )，其中常数项是 ( -1 )。 （4）次数：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数。 （5）项数：多项式中所含单项式的个数叫做多项式的项数。 例如：中，最高次项是（次数为 ( 3 + 1 = 4 )），故该多项式是四次三项式。 7. 整式 单项式和多项式统称为整式。 整式的特点：分母中不含字母，不含开方运算（根号下不含字母）。 例如：( 5 )，( -ab )，是整式；，不是整式。 例题解析 例1判断下列代数式书写是否规范，不规范的请改正。 （1）（2）（3）（4） 解析：根据代数式书写规则判断。 （1）数字与字母相乘，数字应写在前面，乘号省略，不规范，改正为 ( 3a )。 （2）除法运算应写成分数形式，不规范，改正为（）。 （3）带分数应化为假分数，不规范，改正为。 （4）除法运算写成分数形式，不规范，改正为。 解答： （1）不规范，改正：( 3a ) （2）不规范，改正：（） （3）不规范，改正： （4）不规范，改正： 例2用代数式表示下列数量关系。 （1） x 的5倍与 y 的差； （2） a 与 b 的平方和； （3）比 m 的倒数大2的数。 解析：根据关键词确定运算顺序。 （1）“ x 的5倍”是 5x ，“与 y 的差”即 5x - y 。 （2）“ a 与 b )的平方和”是（注意与“平方的和”区分，此处一致）。 （3）“ m 的倒数”是（），“大2”即。 解答： （1） 5x - y （2） （3）（） 例3指出下列代数式是否为单项式，若是，写出其系数和次数。 （1）(-5 （2）（3）（4） a 解析：根据单项式定义判断，再确定系数和次数。 （1）单独的数是单项式，系数是 -5 ，次数是 0 。 （2）数与字母的积是单项式，系数是，次数是 2 + 1 = 3 。 （3）分母含字母，不是单项式。 （4）单独的字母是单项式，系数是 1 ，次数是 1 。 解答： （1）是单项式，系数： -5 ，次数： 0 （2）是单项式，系数：，次数： 3 （3）不是单项式 （4）是单项式，系数： 1 ，次数： 1 例4已知多项式。 （1） 指出它的项和常数项； （2）确定它的次数和项数。 解析：多项式的项包括符号，次数是最高次项的次数，项数是单项式的个数。 （1）各项为，，， -7 ；常数项是 -7 。 （2）的次数是 2 + 1 = 3 ，的次数是 1 + 3 = 4 ，的次数是 2 ，最高次项是，次数为 4 ；项数是 4 。 解答： （1）项：，，， -7 ；常数项：(-7 （2）次数： 4 ；项数： 4 例5当 a = -2 ， b = 3 时，求代数式的值。 解析：将 a 和 b 的值代入代数式，按运算顺序计算。 解答： 当 a = -2 ， b = 3 时， 原式 例6若代数式 2x + 5 的值是 7 ，求 x 的值。 解析：根据题意列方程，解方程求 (x 。 解答： 由题意得 2x + 5 = 7 2x = 7 - 5 2x = 2 x = 1 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ） A.... 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是单项式 B. -5 是一次单项式 C. 的系数是 2 ，次数是 2 D. 多项式是二次三项式 3. 代数式表示的实际意义是（ ） A. a 与 b 的差的平方 B. a 的平方与 b 的平方的差 C. a 与 b 的平方差 D. a 的平方减 b 的差 4. 若单项式的次数是 5 ，则 m 的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 5. 多项式的项数和常数项分别是（ ） A. 3，-1 B. 4，-1 C. 3，1 D. 4，1 二、填空题 6. 用字母表示“比 x 的3倍小5的数”是 __________。 7. 单项式的系数是 __________，次数是 __________。 8. 多项式是 __________ 次 __________ 项式，最高次项是 __________。 9. 当 x = 2 时，代数式的值是 __________。 10. 若代数式 3x - 1 与 5 互为相反数，则 x = __________。 三、解答题 11. 判断下列代数式是否为整式，若是整式，指出是单项式还是多项式： （1）（2）（3）（4） 12. 用代数式表示： （1） a 的倒数与 b 的2倍的和（）； （2） m 与 n 的差的平方； （3）某商品原价p 元，打八折后的售价。 13. 当 x = -1 ，时，求代数式的值。 14. 已知单项式与是同类项（字母相同，相同字母的指数也相同），求 m + n 的值。 答案与解析 一、选择题 1. D 解析：A应写为；B应写为；C应写为 5xy ；D正确。 2. D 解析：A.分母含字母，不是单项式；B. -5是常数项，次数为0；C.的次数是 3 ；D正确。 3. B 解析：即“( a ) 的平方减去 b 的平方”，B正确。 4. A 解析：单项式次数为 m + 3 = 5 ，解得 m = 2 。 5. B 解析：多项式的项是，-2xy ， 4x ， -1 ，共4项，常数项是 -1 。 二、填空题 6. 3x - 5 解析：“ x 的3倍”是 3x ，“小5”即减5。 7. ；4 解析：系数是数字因；次数是 3 + 1 = 4 。 8. 四；四； 解析：各项次数分别为3，4，4，0，最高次项是，次数4，共4项。 9. 解析：当 x = 2 时，原式。 10 解析：由题意得 3x - 1 + 5 = 0 ，3x = -4 ， 三、解答题 11. （1）是整式，单项式； （2）分母含字母，不是整式； （3）是整式，多项式； （4）是整式，单项式（单独的常数是单项式）。 12. （1）（）； （2）； （3） 0.8p 13. 解：原式 当 x = -1 ，时， 原式 14. 解：因为与是同类项， 所以 m = 2 ，n = 3 ， 则 m + n = 2 + 3 = 5 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 代数式 学习目标 1. 理解用字母表示数的意义，能运用字母表示简单的数量关系。 2. 掌握代数式的概念，能准确判断一个式子是否为代数式。 3. 熟练掌握代数式的书写规则，并能正确书写代数式。 4. 能说出代数式所表示的实际意义，能根据实际问题列代数式。 5. 理解单项式的概念，能判断一个代数式是否为单项式，并能确定其系数和次数。 6. 理解多项式的概念，能判断一个代数式是否为多项式，并能确定其项、次数和项数。 7. 理解整式的概念，能区分整式与非整式。 8. 掌握求代数式的值的方法，能根据代数式的值求字母的值。 知识点讲解 1. 用字母表示数 用字母表示数是代数的基本特点，它可以简明地表达数量关系、运算律、公式等。 例如：若长方形的长为 ( a )，宽为 ( b )，则面积可表示为 ( ab )；若一个数为 ( x )，则它的3倍与5的和可表示为 ( 3x + 5 )。 2. 代数式的概念 用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 单独的一个数或一个字母也是代数式。 例如：( 3 )，( x )，( 2a + 3b )，（），都是代数式。 3. 代数式书写方法 （1）数字与字母相乘时，数字写在字母前面，乘号可省略或用“·”表示，如写作 ( 3a ) 或。 （2）字母与字母相乘时，乘号可省略或用“·”表示，如写作 ( ab ) 或。 （3）除法运算一般写成分数形式，如写作（）。 （4）带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数，如写作。 （5）代数式后面有单位时，若代数式是和或差的形式，需加括号，如 ( (a + b) ) 米。 （6）相同字母相乘一般写成幂的形式，如写作。 4. 代数式表示的实际意义 用文字语言描述代数式的含义，需结合运算顺序和数量关系。 例如：( 2a + 3 ) 可表示“( a ) 的2倍与3的和”；（）可表示“路程 ( s ) 与时间 ( t ) 的商（即速度）”。 5. 单项式 （1）定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 （2）判断：不含加减运算，分母中不含字母（π是常数，可看作数字）。 例如：( 5 )，( x )，是单项式；，( a + b ) 不是单项式。 （3）系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，包括前面的符号。 例如：的系数是 ( -3 )；( x ) 的系数是 ( 1 )；( -a ) 的系数是 ( -1 )。 （4）次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 例如：中 ( x ) 的指数是1，( y ) 的指数是2，次数是 ( 1 + 2 = 3 )；( 5 ) 是常数项，次数是 ( 0 )。 6. 多项式 （1）定义：几个单项式的和叫做多项式。 （2）判断：由单项式相加组成，不含除法运算（或分母中不含字母）。 例如：( 2x - 3y )，是多项式；不是多项式。 （3）项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 例如：的项是，( 2x )，( -1 )，其中常数项是 ( -1 )。 （4）次数：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数。 （5）项数：多项式中所含单项式的个数叫做多项式的项数。 例如：中，最高次项是（次数为 ( 3 + 1 = 4 )），故该多项式是四次三项式。 7. 整式 单项式和多项式统称为整式。 整式的特点：分母中不含字母，不含开方运算（根号下不含字母）。 例如：( 5 )，( -ab )，是整式；，不是整式。 例题解析 例1判断下列代数式书写是否规范，不规范的请改正。 （1）（2）（3）（4） 例2用代数式表示下列数量关系。 （1） x 的5倍与 y 的差； （2） a 与 b 的平方和； （3）比 m 的倒数大2的数。 例3指出下列代数式是否为单项式，若是，写出其系数和次数。 （1）(-5 （2）（3）（4） a 例4已知多项式。 （1） 指出它的项和常数项； （2）确定它的次数和项数。 例5当 a = -2 ， b = 3 时，求代数式的值。 例6若代数式 2x + 5 的值是 7 ，求 x 的值。 x = 1 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ） A.... 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是单项式 B. -5 是一次单项式 C. 的系数是 2 ，次数是 2 D. 多项式是二次三项式 3. 代数式表示的实际意义是（ ） A. a 与 b 的差的平方 B. a 的平方与 b 的平方的差 C. a 与 b 的平方差 D. a 的平方减 b 的差 4. 若单项式的次数是 5 ，则 m 的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 5. 多项式的项数和常数项分别是（ ） A. 3，-1 B. 4，-1 C. 3，1 D. 4，1 二、填空题 6. 用字母表示“比 x 的3倍小5的数”是 __________。 7. 单项式的系数是 __________，次数是 __________。 8. 多项式是 __________ 次 __________ 项式，最高次项是 __________。 9. 当 x = 2 时，代数式的值是 __________。 10. 若代数式 3x - 1 与 5 互为相反数，则 x = __________。 三、解答题 11. 判断下列代数式是否为整式，若是整式，指出是单项式还是多项式： （1）（2）（3）（4） 12. 用代数式表示： （1） a 的倒数与 b 的2倍的和（）； （2） m 与 n 的差的平方； （3）某商品原价p 元，打八折后的售价。 13. 当 x = -1 ，时，求代数式的值。 14. 已知单项式与是同类项（字母相同，相同字母的指数也相同），求 m + n 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $