3.2.1 课时2 函数的最大（小）值 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 课时2 函数的最大（小）值 【基础巩固】 1．函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ） A．－1，0 B．0，2 C．－1，2 D．，2 2．函数的最小值和最大值分别是（ ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 3．函数在上取得最大值3，最小值2，则实数的值为（ ） A．0或1 B．1 C．2 D．以上都不对 4．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（ ） A．函数的定义域是 B．函数是增函数 C．当时，有最大值 D．函数的最大值是 5．（多选）已知函数若的最小值为，则（ ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 6．函数在区间的值域为________． 7．函数的最小值是_________． 8．已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【能力拓展】 9．已知函数对任意，存在，使得，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．（多选）设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠， 折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（ ） A．矩形的面积有最大值 B．的周长为定值 C．的面积有最大值 D．线段有最大值 11．若函数与同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，已知函数与是定义在区间上的“兄弟函数”，那么在区间上的最大值是___________. 【素养提升】 12．已知函数. (1)当时，用定义法证明是上的增函数； (2)若的最小值为2，求的值. 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 课时2 函数的最大（小）值 【基础巩固】 1．函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ） A．－1，0 B．0，2 C．－1，2 D．，2 【答案】C 【解析】根据图象观察知， 故选：C. 2．函数的最小值和最大值分别是（ ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 【答案】C 【解析】函数在区间上单调递减， 故. 故选：C 3．函数在上取得最大值3，最小值2，则实数的值为（ ） A．0或1 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】B 【解析】因为函数，对称轴为，开口方向向上，所以在上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得， 即，故． 故选：B. 4．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（ ） A．函数的定义域是 B．函数是增函数 C．当时，有最大值 D．函数的最大值是 【答案】D 【解析】当时，；当时，； 当时，；所以.作出的图象，如图， 由图可知，函数在上单调递增，所以当时取到最大值，为，故D正确. 故选：D 5．（多选）已知函数若的最小值为，则（ ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】当时，，当时， ，由条件知（否则的最小值不是，所以函数在上单调递减，．又由条件知，解得，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．由以上分析知A，C，D正确． 6．函数在区间的值域为________． 【答案】 【解析】因为，二次函数开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，所以在上单调递减， 所以，， 所以的值域为.故答案为：. 7．函数的最小值是_________． 【答案】 【解析】由得的定义域为．又函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增．所以当时，． 8．已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】见解析 【解析】(1)在上是增函数，证明如下： 任取且，. ，，， ，即，在上为增函数. (2)由(1)知，在上为增函数， 则，. 【能力拓展】 9．已知函数对任意，存在，使得，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在区间上满足：，；，所以在上单调递增， 所以，，又因为， 所以，当时显然成立； 所以当时，，即，因为，， 所以不成立，舍去；当时，对成立， 只需满足，即，解得，综上所述的范围为． 故选：A． 10．（多选）设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（ ） A．矩形的面积有最大值 B．的周长为定值 C．的面积有最大值 D．线段有最大值 【答案】BC 【解析】对于选项A：设，则，因为，所以． 矩形的面积， 因为，所以无最大值．故A错．对于选项B：根据图形折叠可知与全等， 所以周长为．故B正确． 对于选项C：设，则，有， 即，得， ， 当时，取最大值．故C正确．对于选项D：因为， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D错误． 故选：BC． 11．若函数与同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，已知函数与是定义在区间上的“兄弟函数”，那么在区间上的最大值是___________. 【答案】 【解析】，当且仅当即时取等号， 当时，取最小值． 函数与同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，函数在区间上最小值为． 点为抛物线的顶点．，． ．在区间上单调递减，在区间上单调递增． ，，在区间上的最大值是．故答案为：． 【素养提升】 12．已知函数. (1)当时，用定义法证明是上的增函数； (2)若的最小值为2，求的值. 【答案】见解析 【解析】(1)设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以， 故是上的增函数. (2)当时，由得的定义域为， 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以，故是上的增函数. 所以，即，满足条件； 当时，由得的定义域为， 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以，故是上的增函数. 所以，即，满足条件；综上，或. 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $