精品解析：2025-2026学年苏科版 八年级数学上册 （B）第一次月考 考前训练2（第1章 三角形）

第一次月考 考前训练2（第1章 三角形） 2025-2026学年苏科版八年级数学上册 一、选择题 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 5，11，5 C. 12，7，4 D. 7，8，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系．根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，只需验证每组中最长边是否小于另外两边之和即可． 【详解】解：A．最长边为5，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． B．最长边为11，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． C．最长边为12，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． D．最长边为9，，满足条件；且，，均成立，能组成三角形． 故选：D． 2. 如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A. 线段是边上的高 B. 线段是边上的高 C. 线段是边上的高 D. 线段是边上的高 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：于点， 中，是边上的高，故A不符合题意， ，线段是边上的高，B选项符合题意； 于点， 是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，已知，则下面A、B、C三个三角形中和全等的图形有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A三角形：只有两条边相等，但夹角不一定相等，故此三角形与不全等； B三角形：两条对应边相等，对应边的夹角也相等，故此三角形与全等； C三角形：一条对应边相等，对应的内角有一个不相等，故此三角形与不全等； ∴综合所述一共有12个三角形与已知三角形全等 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定，熟悉掌握判定的定理是解题的关键． 4. 如图，在中，，垂直平分交于，交于，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形内角和定理，求出的度数，根据是的垂直平分线，可知，，结合是的外角，即可算出答案． 【详解】解：， 是的垂直平分线 故选：C． 5. 如下图，中，，，是角平分线，于E，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等角对等边． 根据角平分线的性质可得，故选项B正确；证明，得到，故选项A正确；证明得到，则，故选项D正确．在中，，故选项C错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵是角平分线，， ∴，故选项B正确； ∵在和中 ， ∴， ∴，故选项A正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，故选项D正确． ∵在中，， ∴，故选项C错误． 故选：C 6. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 7. 如图，中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，在中，由“等腰三角形三线合一”可得，由“等边对等角”可得，由“等角的余角相等”可得，由此可得，即可求就出的长． 【详解】 如图，连接， ∵中，，是的中点， ， ， ． ， ， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了“直角三角形两锐角互余”、“等角的余角相等”以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，据此即可求解； ②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断； ③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形； ④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP． 【详解】解：①如图，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°−∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确； ②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确； ③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°， ∴∠APC＋∠DCP＝150°， ∵∠APO＋∠DCO＝30°， ∴∠OPC＋∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°−（∠OPC＋∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形；故③正确； ④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PB， ∵∠PAE＝180°−∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO＋∠OPE＝60°， ∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选A. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 二、填空题 9. 已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于两边的和．根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 10. 如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是_____（只填序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解． 【详解】∵已知，且 ∴若添加①，则可由判定≌； 若添加②，则属于边边角的顺序，不能判定≌； 若添加③，则属于边角边的顺序，可以判定≌． 故答案为②． 【点睛】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断． 11. 如图，P是平分线上一点，，垂足分别为D，E，若，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：∵，P是的平分线上一点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3 【点睛】此题考查了角平分线性质定理，熟知角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 12. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为_____度． 【答案】32 【解析】 【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上， ∵∠BAD=58°， ∴∠DEB=116°， ∵DE=BE=AC， ∴∠EBD=∠EDB=32°， 故答案为：32． 13. 如图，在中，点D、E、F分别是上的点，若，，则________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】由“”可证，可得，由外角的性质可得，可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 14. 如图，，若和分别垂直平分和，则______．   【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别垂直平分和， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，的面积为，平分，过点A作于点P，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等；延长交于E，先证明，根据全等三角形的性质得到，得出，，进而推出，即可得出答案． 【详解】解：延长交于E， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 16. 在中，，中线，边的取值范围：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，延长至E，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 详解】解：如图，延长至E，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴． 故答案为：． 17. 如图，过边长为a的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可． 【详解】解：过点P作交于点F， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线性质、等边三角形性质与判定、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键． 18. 如图，在中，，平分，交于点D，点M，N分别为，上的动点，若，的面积为6，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，首先连接，过点A作于点H，再根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点M在线段上时，为最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：连接，过点A作于点H，如图： ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 根据“垂线段最短”得：， 即当点M在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为6，， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3 三、解答题 19. 如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形顶点上． （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）直接写出的面积为______． （4），直接写出______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）利用网格特征作，再利用平移的性质作交于点D，即可得到答案； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，所求； 【小问2详解】 解：如图所示，为所求； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：∵，， ∴． 20. 如图，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．由可得：，再根据全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】证明：∵， ， ， 在和中， ∴， ∴． 21. 如图，于于F，若， （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，点是边上的一点．连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． （1）若的周长为19，为6，求的周长 （2）若，，求的度数． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的证明与性质，三角形内角和定理，邻补角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可知，，，结合的周长，可以推出，即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理，可知，再证明，得到，结合邻补角，得到的度数，最后结合三角形内角和定理，推出． 【小问1详解】 解：垂直平分， ， 的周长为19 的周长为：7 【小问2详解】 解：， 垂直平分， ， 又 23. 如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）13 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键； （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【小问1详解】 证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； 【小问2详解】 解：连接， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 24. 如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）求证： ①； ②； （2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，、、有怎样的关系？并加以证明． 【答案】（1）①见解析 ②见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了余角的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）①根据证明即可得证． ②根据，利用全等的性质证明即可； （2）根据证明即可得证． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵ ∴． 25. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 【答案】（1）；（2）11秒或12秒. 【解析】 【分析】（1）由题意用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，即可求得t； （2）根据题意用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，即可求得t的值． 【详解】解：（1）由题意可知AP=t，BQ=2t， ∵AB=16， ∴BP=AB-AP=16-t， 当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ， 即16-t=2t，解得t=， ∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形； （2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ=BQ，如图1所示， 则∠C=∠CBQ， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°． ∠A+∠C=90°， ∴∠A=∠ABQ， ∴BQ=AQ， ∴CQ=AQ=10（cm）， ∴BC+CQ=22（cm）， ∴t=22÷2=11（秒）． ②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=BC，如图2所示， 则BC+CQ=24（cm）， ∴t=24÷2=12（秒）． 综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．掌握用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意结合方程思想进行分析． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考 考前训练2（第1章 三角形） 2025-2026学年苏科版八年级数学上册 一、选择题 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 5，11，5 C. 12，7，4 D. 7，8，9 2. 如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A. 线段是边上的高 B. 线段是边上的高 C. 线段是边上的高 D. 线段是边上的高 3. 如图，已知，则下面A、B、C三个三角形中和全等的图形有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 如图，中，，垂直平分交于，交于，，则等于（ ） A B. C. D. 5. 如下图，中，，，是角平分线，于E，则下列结论不正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是______． 8. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题 9. 已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是________． 10. 如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是_____（只填序号）． 11. 如图，P是的平分线上一点，，垂足分别为D，E，若，则的长是______． 12. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为_____度． 13. 如图，在中，点D、E、F分别是上点，若，，则________． 14. 如图，，若和分别垂直平分和，则______．   15. 如图，的面积为，平分，过点A作于点P，则的面积为_________． 16. 在中，，中线，边的取值范围：________． 17. 如图，过边长为a的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为_______________． 18. 如图，在中，，平分，交于点D，点M，N分别为，上的动点，若，的面积为6，则的最小值为______． 三、解答题 19. 如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）直接写出的面积为______． （4），直接写出______． 20. 如图，，，，求证：． 21. 如图，于于F，若， （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 22. 如图，在中，点是边上的一点．连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． （1）若的周长为19，为6，求的周长 （2）若，，求度数． 23. 如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，，求的长． 24. 如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）求证： ①； ②； （2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，、、有怎样的关系？并加以证明． 25. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $