21.2.4 一元二次方程习题根与系数的关系 学案 2025--2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦根与系数的关系（韦达定理），以一元二次方程的解法、判别式为学习支架，引导学生从旧知过渡到新知，构建“解法—判别式—韦达定理”的知识脉络。 资料通过例1至例5设置梯度化例题，涵盖基础计算、逆向构造、几何情境（矩形、菱形等）及实际问题，助力学生深化理解，培养抽象能力、推理意识与模型意识，提升用数学思维解决现实问题的能力。

根与系数的关系（韦达定理） 1+1_b b X2 X+x2= a 2+2 b2-2ac XX2= a .V公 例1：已知2x2-2x-1=0,不解方程，回答以下问题 (1)x1+x2= (2)xx2= X X2 (4)x2+x2= (5)k-x= (6)(x-x2)2=(x-xD2= 7)五+5+ X1 X2 XX2 (8)(x1+1)(x2+1)= (9)(2-3x)2-3x2)= (10)x2-2x1-x2-8= 例2：（1)写出一个解为81=-1,82=2的一元二次方程： (2)若关于x的方程2x2-bx-c=0 ①两个根分别是1和一3，则b=；c=一 ②两根互为相反数，则b=; ③两个互为倒数，则c=一； (3)若关于x的方程x2+2x+p=0的两根，，且上+=3，则p一： X1 X2 例3：(1)已知关于x的方程x2-2x+k=0,若方程有一个根为3，求方程的另一 个根与k的值 (2)若关于x的方程x2-5x+6-p2=0 ①求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根（△中的配方法） ②若方程的两个实数根为m,n,且m=4n,求p的值 (3)若关于x的方程x2-4x+k-1=0有两个实数根x,x2, ①求k的取值范围 ②若x,:,分别是一个矩形的一组邻边，是否存在k,使得矩形的面积为10或矩 形对角线√10 (4)若关于x的方程x2+2(k-1)x+k2+1=0有实数根 ①求k的取值范围 ②若方程的两根x,x2,满足(x-2)(x2-2)=11,求k的值 例4：若m是方程x2-2x-5=0的一个根，不解方程，回答以下问题 (1)m2-2m= (2)2m2-4m= (3)-3m2+6m-10= (4)m3-m2-7m-1= (5)-2m3+2m2+14m-5= (6)当n也是原方程的另一个根时，则m2-3m-n-8= 例5：(1)若矩形ABCD的两邻边边长分别为一元二次方程x2-7x+12=0的两 个实数根，则矩形ABCD的对角线长为 (2)若Rt△ABC的两边长是方程x2-10x+24=0的两个根，则Rt△ABC的 斜边长为 (3)已知菱形ABCD的边长是一元二次方程x2一12+35=0的一个根 ①若BD=10,则菱形ABCD的面积为 ②若两条对角线长的和为14，则菱形ABCD的面积为 (4)已知关于x的一元二次方程：x2-(2k+k+4k-)=0: ①求证：这个方程总有两个实数根； ②若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根， 求△ABC的周长