精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

黄梅县育才高级中学9月月考 高二数学试题 注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 如图，在正方体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合向量加减法的几何意义有，即可知所表示的向量. 【详解】∵，而， ∴， 故选：B 2. 已知向量，，并且，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标公式即可得出答案. 【详解】由可得. 故选：C 3. 在空间中，，，，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出，再求出，，，即可由求出. 【详解】，，， , , ,, ， ，. 故选：D. 4. 已知点为线段上一点且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设,根据C为线段上一点且，由求解. 【详解】设为线段上一点且， ， 即. 故选：C 【点睛】本题主要考查空间向量的共线定理的应用，属于基础题. 5. 设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 6. 设，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和，可分别求出的值，再根据向量的模长公式即可求解. 【详解】因为，所以即，解得， 因为，所以，解得， 所以，， 所以. 故选：B. 7. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A， 即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况， 则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×= 故选B. 8. 三个元件正常工作的概率分别为，且是相互独立的．如图，将两个元件并联后再与元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若电路不发生故障，则满足正常工作，至少有一个正常工作 【详解】记正常工作为事件 记正常工作为事件 记正常工作为事件 则，， 电路不发生故障，则满足正常工作，至少有一个正常工作 则至少有一个正常工作，概率为 则电路不发生故障的概率 故选 【点睛】本题主要考查了概率知识及实际应用能力，考查了相互独立事件同时发生的概率的计算，关键是确定不发生故障时满足的条件． 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用相等向量的定义即可求解． 【详解】解：在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，与向量相等的向量有3个， 分别是，，． 故选：BC． 10. 若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据空间向量加法法则、数量积的运算律、向量数乘法则和共线向量定理分别判断各选项． 【详解】由向量加法的平行四边形法则，只有，即时，都有，A不成立； 由数量积的运算律有，，与不一定相等，B不成立； 向量数乘法则，C一定成立； 只有共线且时，才存在，使得，D这成立． 故选：ABD． 11. 在三棱锥中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若G为的重心，则 C. 若，，则 D. 若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】作出三棱锥直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】 对于A ，由已知，即，则，故A错误； 对于B，由G为的重心，得，又，，，，即，故B正确； 对于C，若，，则，即，即，故C正确； 对于D， ，又，，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，，，，，用基底表示向量_________. 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量加减数乘的几何意义，将用表示出来，即可得答案. 【详解】. 故答案为： 13. 已知，，．若、、三向量共面，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，存在实数x，y，使，列出方程组，即可求得答案. 【详解】因为不平行，且、、三向量共面， 所以存在实数x，y，使， 所以，解得， 故答案为： 14. 某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则体对角线的长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量运算表示出,求出模长即可. 【详解】由题意, 因为以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是， 所以, 所以， 即. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共60分. 15. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）用，，表示； （2）求的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的首尾相连原则及图形可得答案； （2）由（1）及计算模公式可得答案. 【小问1详解】 由图形及向量相加的首尾相连原则，； 【小问2详解】 由题可得，. 则 ，则，即的长为. 16. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； 【答案】（1）或；（2）5. 【解析】 【分析】 （1）由于可设，从而得，再由，可得，可求出的值，从而可求出向量； （2）由向量与互相垂直，可得，进而可求的值 【详解】解：∵空间中三点，，， 所以， ， ∴， （1）∵，且，设， ∴， ∴，∴， ∴或； （2）∵，， 且向量与互相垂直， ∴，解得， ∴的值是5. 17. 如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离. 【答案】. 【解析】 【分析】利用空间向量的加法的三角形法则得到，两边平方，再利用向量的数量积公式计算，开方求解即可. 【详解】因为平面，平面，所以 ， ，所以与的夹角为， 因为，， 所以 ，所以，即A，D两点间的距离为. 【点睛】本题主要考查了空间向量的三角形法则、数量积公式，用空间向量的运算意义和运算解决立体几何问题. 18. 南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表： 分组 男生人数 2 16 19 18 5 3 女生人数 3 20 10 2 1 1 若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”. （1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少? （2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动. ①求男生和女生各抽取了多少人； ②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率. 【答案】(1)700人；(2) ①男生抽取4人，女生抽取1人．② 【解析】 【分析】（1）100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出7000名学生中“锻炼达人”的人数． （2）①100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人． ②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率． 【详解】（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为（人） （2）①由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人． 从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人． ②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，则5人中随机抽取2人的所有结果有：男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果，且每种结果发生的可能性相等．记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，故． 【点睛】本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若，点在边上，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合三角恒等变换公式化简计算即可得； （2）借助向量及模长与数量积关系可得与、有关等式，再利用余弦定理表示出、，利用可得与、有关等式，结合计算即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 因为，所以，即， 又因为，所以，故； 【小问2详解】 由知，， 则有， 即，化简得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，则， 则，化简得， 则，即，则（负值舍去）， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄梅县育才高级中学9月月考 高二数学试题 注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 如图，在正方体中，（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，并且，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 3. 在空间中，，，，则大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点为线段上一点且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A. B. C. D. 8. 三个元件正常工作的概率分别为，且是相互独立的．如图，将两个元件并联后再与元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 10. 若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 在三棱锥中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若G为的重心，则 C. 若，，则 D. 若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，，，，，用基底表示向量_________. 13. 已知，，．若、、三向量共面，则实数______． 14. 某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则体对角线的长度是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共60分. 15. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）用，，表示； （2）求的长. 16. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； 17. 如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离. 18. 南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表： 分组 男生人数 2 16 19 18 5 3 女生人数 3 20 10 2 1 1 若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”. （1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少? （2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动. ①求男生和女生各抽取了多少人； ②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率. 19. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若，点在边上，，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $