专题05 二次根式及运算（9大题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题05 二次根式及运算 题型1 判断是否为二次根式（常考点） 题型6 二次根式的混合运算（常考点） 题型2 判断是否为最简二次根式 题型7 二次根式中的新定义型问题（重点） 题型3 判断是否为同类二次根式 题型8 二次根式中的分母有理化（重点） 题型4利用同类二次根式求参数 题型9 二次根式中的规律探究问题（难点） 题型5 利用二次根式的性质化简（难点） 题型一 判断是否为二次根式（共5小题） 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，是二次根式，故不符合题意；     B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；     C．不是二次根式，故不符合题意；     D．是二次根式，故符合题意． 故选D． 4．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析判断即可， 【详解】A． 是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意； B． ，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C． 是二次根式，故该选项符合题意； D． 是三次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的判断，根据二次根式的定义：形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意； 故选：D． 题型二 判断是否为最简二次根式（共5小题） 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）下列式子中，为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、中被开方数含有分母，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、中被开方数含有分母，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有能开方的因数，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 7．（24-25八年级下·广西百色·期中）下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式，直接利用最简二次根式的定义，进而分析得出答案． 【详解】解：A．，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D．，在分母中，不是最简二次根式，不符合题意， 故选：B． 9．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列式子中是最简二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，该选项不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，该选项不是最简二次根式，不符合题意； D．，该选项不是最简二次根式，不符合题意． 故选B． 10．（24-25八年级下·福建福州·期中）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的识别，解题的关键是掌握：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．是最简二次根式，故此选项符合题意； C．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 题型三 判断是否为同类二次根式（共5小题） 11．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式．判断是否为同类二次根式，需将各选项化简为最简二次根式后，比较被开方数是否相同．据此即可求解． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 12．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式和化为最简二次根式．将各项化为最简二次根式，然后找出被开方数为3的最简二次根式即可得出答案． 【详解】解：A、，不能与合并，故本选项不符合题意； B、，能与合并，故本选项符合题意； C、，不能与合并，故本选项不符合题意； D、，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：B． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义以及最简二次根式，解题的关键是将二次根式进行化简． 判断二次根式是否为同类，需将各选项化简为最简二次根式后比较被开方数． 【详解】A：：，无平方因子，已是最简形式，该选项不符合题意； B：：，可化简为，该选项符合题意； C：：，无平方因子，已是最简形式，该选项不符合题意； D：：，可化简为，被开方数为，该选项不符合题意； 故选：B． 14．（24-25九年级下·重庆忠县·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．判断同类二次根式需将各选项化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同，根据同类二次根式的概念逐个判断即可． 【详解】A： 已是最简形式， 是整数，不是二次根式，故该选项不符合题意； B： 和 的最简形式分别为 和 ，被开方数不同，故该选项不符合题意； C：，，两者化简后均为的倍数，被开方数均为3，是同类二次根式，故该选项符合题意；   D：，，被开方数分别为和，不同，故该选项不符合题意； 故选：C． 15．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判定、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同成为解题的关键．先运用二次根式的性质化简，然后根据同类二次根式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：① ，为整数，不是二次根式； ② 与的被开方数相同，与是同类二次根式； ③与的被开方数不同，与不是同类二次根式； ④与的被开方数相同，与是同类二次根式． 综上，与是同类二次根式的是②和④． 故选：C． 题型四 利用同类二次根式求参数（共5小题） 16．（24-25八年级下·吉林·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义和同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并， ∴，解得：， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·天津南开·期末）已知最简二次根式与二次根式可以合并，则x的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，根据二次根式的性质把化简，再根据同类二次根式的概念列式计算即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式可以合并， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于m的方程，解出即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得：， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式可以合并的条件是化简后被开方数相同．化简，根据二次根式可以合并的条件进行计算即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出题干所给的两个二次根式是同类二次根式是解题的关键； 根据题意可得与是同类二次根式，进而可得关于a的方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得； 故答案为：3. 题型五 利用二次根式的性质化简（共5小题） 21．（24-25九年级上·海南海口·期中）当时，化简： 【答案】/ 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式，根据绝对值的意义，二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：． 22．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式化简．利用二次根式性质把被开方式分成偶次方与余下部分积，再化为最简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 23．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 先利用有理数的性质得到，，则利用二次根式的性质化简得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ． 故答案为：． 三、解答题 24．（24-25八年级上·四川巴中·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)<；>；> (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根． （1）由数轴可得：，，，从而即可得解； （2）由（1）可得，，再根据绝对值的性质、二次根式的性质、立方根化简即可得解． 【详解】（1）解：由图可知，，， 则，， 故答案为：<；>；>； （2）解：∵，，， ∴，， ∴ ． 25．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 题型六 二次根式的混合运算（共5小题） 26．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）化简求值： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算减法即可； （2）化简二次根式再合并同类二次根式即可； （3）利用平方差公式计算即可； （4）先计算二次根式的加法，再计算除法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 27．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，混合运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了二次根式的混合运算．在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质是解题的关键，混淆完全平方公式及平方差公式是解题的易错点． （1）先计算二次根式的除法和化简二次根式，再计算加、减； （2）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再相加、减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （3）根据二次根式的混合运算法则、平方差公式进行计算即可； （4）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握二次根式的混合运算． 30．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． （1 ）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质进行计算即可； （2 ）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． （3 ）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算，最后算除法即可； （4 ）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型七 二次根式中的新定义型问题（共5小题） 31．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 32．（24-25八年级下·江西赣州·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 33．（24-25九年级上·福建漳州·期中）我们定义新运算：，例如：． (1)计算：________； (2)若a为实数，试化简． 【答案】(1) (2)时，原式；时，原式． 【分析】本题考查了实数的运算． （1）根据新规定运算法则计算即可； （2）先根据新规定运算法则计算，再讨论a的取值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 当，即时，原式； 当，即时，原式． 34．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ； （3）解：与是关于12的共轭二次根式， ， ． 35．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）根据对偶式的定义即可得； （2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得． 【详解】（1）解：的对偶式为， 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ∴ ． 题型八 二次根式中的分母有理化（共5小题） 36．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如： ． (1)分母有理化的结果是 ，分母有理化的结果是 ． (2)利用以上知识计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意、正确计算是解题的关键． （1）由题干例子即可完成； （2）由题干例子把各项化为分母不含二次根式的式子，再利用二次根式的加减法则即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 37．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式化简时，形如、这样的式子可以进一步化简： ；； 以上化简过程称为分母有理化，其中与，与互为有理化因式． (1)的有理化因式是 ；的有理化因式是 ； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化以及二次根式的混合运算； （1）根据题意求得和的有理化因式，即可求解； （2）分子分母都乘以即可； （3）分子分母都乘以即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是；的有理化因式是， 故答案为：；． （2）解：； （3）解： 38．（24-25八年级下·北京·期中）在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）把二次根式分母有理化即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ，即， ， ． 39．（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 【答案】(1) (2) (3) (4)44 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可； （4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：根据材料可知，，， ∵， ，即． （4）解： ． 40．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）1；（4） 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）直接分母有理化即可； （2）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可； （3）先将两边进行分母有理化后观察对比即可得出结果； （4）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），， ∵， ∴， ∴； 故答案为：＞； （3）∵ ， ∴， ，是有理数， ，且， ； 故答案为：1； （4）∵ ， ∴ ． 题型九 二次根式中的规律探究问题（共5小题） 41．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； (2)你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； (3)按此规律，若（，为正整数），则的值为_____． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：有“穿墙”现象的数为，验证如下： ； （2）解： ∴； （3）解：∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 42．（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题∶ ， ， ， (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_________________________． (2)观察以上规律，请写出第n个等式：_________________________(n为正整数)． (3)利用上面的规律，计算 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中式子即可得到答案； （2）根据题中式子即可得到答案； （3）先进行分母有理化，然后再合并同类二次根式，解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：第5个等式：； （2）解：由题意可得：第n个等式：； （3）解：原式 ， ， ， ． 43．（24-25八年级下·广西南宁·期中）小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律. （1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例1： 特例2： 特例3： 用含n的式子表示为：， 故答案为：； （3）解：． 44．（24-25八年级下·河南周口·期中）观察下列运算： 由，得； 由，得； 由，得； … (1)通过观察得________； (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察题目所给的式子得到规律即可得到答案； （2）根据对原式进行裂项，得到，由此求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …… ∴可以得到规律， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行分母有理化，解题的关键在于正确理解题意找到规律求解． 45．（24-25八年级下·山东泰安·期中）在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； (3)【应用规律】计算：． 【答案】(1)，验证见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 验证：. （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解： ． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05二次根式及运算 题型归纳·内容导航 题型1判断是否为二次根式（常考点） 题型6二次根式的混合运篁（常考点） 题型2判断是否为最简二次根式 题型7二次根式中的新定义型问题（重点） 题型3判断是否为同类二次根式 题型8二次根式中的分母有理化（重点） 题型4利用同类二次根式求参数 题型9二次根式中的规律探究问题（难点) 题型5利用二次根式的性质化简（难点） 题型通关·靶向提分 题型一判断是否为二次根式（共5小题） 1.(24-25八年级下·云南昆明期中)下列各式是二次根式的是() A.√4 B.5 C.√2-π D.阿 2.(24-25八年级下·福建厦门期中)下列各式中是二次根式的是() A.5 B.8 C.x D.√F7 3.(24-25八年级下.甘肃定西阶段练习)下列各式中，一定是二次根式的是() A.√E B.5 C.3 D. 4.(23-24八年级下山东泰安期中)下列各式中，属于二次根式的是() A.I B.2x+1 C.5 D.6 x 5.(24-25八年级上·甘肃张掖期末)下列式子一定是二次根式的是() A.√F B.x+2 C.x2-2 D.2 题型二判断是否为最简二次根式（共5小题） 6.(24-25八年级下·福建福州期中)下列式子中，为最简二次根式的是() B.2 C.0.3 D.V⑧ 7.(24-25八年级下·广西百色·期中)下列根式是最简二次根式的是() A.V0.2 B.2 C.√3 D.4 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(24-25八年级上·江苏苏州期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.√20 B.√21 C. 1 V2 D. 9.(24-25八年级下·广西南宁.期中)下列式子中是最简二次根式的是() A.V25 B.√6 C. 3 V2 D..4 10.(24-25八年级下福建福州期中)下列根式是最简二次根式的是() A.⑧ B.3 1 c.5 D.12 题型三判断是否为同类二次根式（共5小题） 11.（24-25九年级上·甘肃天水期中)下列与23是同类二次根式的是() A3得 B.3√2 C.24 D.√75 12.(24-25八年级下·安微阜阳·期中)下列二次根式中，能与√5合并的是() A.3W2 品得 c.√8 D.√24 13.(24-25八年级下·湖北武汉·期中)下列各式中，与√5是同类二次根式的是() A.V10 B.√20 C.30 D.√40 14.(24-25九年级下·重庆忠县·期中)下列各组二次根式中，是同类二次根式的为() A.5和√9 B.√a和√2a cE和得 D.√a2b和√ab 15.(24-25八年级下浙江绍兴期中)二次根式：①√4；②√8；③√12；④18中，与√2是同类二次根 式的是() A.①和② B.①和③ C.②和（④ D.③和④ 题型四利用同类二次根式求参数（共5小题） 16.(24-25八年级下·吉林·期中)若4w√2与最简二次根式3V3-2a可以合并，则a= 17.(24-25八年级下·天津南开期末)己知最简二次根式√2x+1与二次根式√⑧可以合并，则x的值为. 18.(24-25八年级下·安微合肥期中)若最简二次根式√2m与√6是同类二次根式，则m=一。 2/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.(24-25八年级下·浙江杭州期中)已知最简二次根式√a-3与√18可以合并，则a的值为。 20.(24-25八年级下·宁夏石嘴山期中)已知最简二次根式3a+2与，0a-19可以合并，则a的值 为 题型五利用二次根式的性质化简（共5小题） 21.（24-25九年级上海南海口期中)当x<0时，化简：x+√x2-2x+1= 22.(24-25八年级下.四川绵阳期中)化简：√25ab2c3(b>0,c>0= 23.(24-25八年级下湖北武汉·期中)已知a+b=-11,ab=5,则b, 三、解答题 24.(24-25八年级上四川巴中.期中)实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如下图所示. c b0 a (1)用“><”或=”填空：b0,a-C0,a+b0: 2)化简：la+c+Vb-a2+a. 25.(24-25八年级上·福建漳州期中)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写 成另一个式子的平方，如3+2√2=1+√2)2，善于思考的小明进行了以下探索： 若设a+b√2=(m+n√2)2=m2+2n2+2mn√2（其中a、b、m、均为整数)， 则有a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法，请你仿照小 明的方法探索并解决下列问题： (1)若a+b6=(m+nV6)2,当a、b、m、均为整数时，用含m、的式子分别表示a、b,得：a=, b=; (2)若a+6V5=(m+nV5)2,且a、m、均为正整数，求a的值： 3)化简：V5-V17+2万+V5+V17+2W万· 题型六二次根式的混合运算（共5小题） 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 26.(24-25八年级上·甘肃兰州期中)化简求值： (1)V27×√5-4 a25+-得 (3)(5-√7)(W5+√7)+2 (④i⑧+ 3 √2 27.(24-25八年级上江苏苏州期中)计算： (1)27-2+5; (②)V2⑧-5)+V30÷5 28.（24-25八年级下·湖北十堰期中)计算： 0c-6i+6y5 (2)(5-√2)2+(5+2)5-2). 29.(25-26八年级上全国·期中)计算： 0质+y, 245-25 √5 3 (3)(3+2√2)2√2-3)： ④24-46 600 3 30.(23-24八年级上，宁夏银川期中)计算： 05厚4w两 (2)4V5+√45-V8+4V2; (3548-645+4v20÷5; 5 4 2 ④4-而-73+万· 题型七二次根式中的新定义型问题（共5小题） 31.（24-25八年级下·青海海东·期中)定义新运算：对于任意实数a、b,都有a⊕b=aa-b)+1,例如 4/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2⊕5=2×(2-5+1=-5. ①)求7+3⊕（万+1的值： 2)求(5-⊕(3⊕的值. 32.（24-25八年级下江西赣州期中)对于实数a,b定义一种新运算“o”,规定a○b=a2-√2b, 如302=32-√2×2=9-25， (1)201= ,(-6)02= (2)若V100x=8,求x的值. 33.(2425九年级上福建漳州期中)我们定义新运算：a*b=√a2+b2-2,例如：1*2=VP+22-2=V5 (1)计算：1*(-3)= (2)若a为实数，试化简(a-2)*(1*√3) 34.(24-25八年级下浙江杭州期中)定义：若两个二次根式a,b满足a·b=c,且c是有理数，则称a与 b是关于c的共轭二次根式. (1)若3√2与√2是关于c的共轭二次根式，则c= (2)若a与√5-√5是关于4的共轭二次根式，求a的值： (3)若3+√3与6+√5m是关于12的共轭二次根式，求m的值. 35.(24-25八年级下福建福州期中)定义：我们将Va+V万)与(a-万)称为一对“对偶式”. 因为a+B)(a-b)=a-(b)=a-b,所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将(Va+b)和 (-)中的“√厂“去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如 2+V2 (2+2 =3+2√2，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根 2-√2 (2-2)2+2 号中的分母化去，叫做分母有理化. 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (①)请直接写出√万+√2的对偶式； 2+3,求m-n 1 2已知m=2-5’” m'n+mn 的值： 5/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型八二次根式中的分母有理化（共5小题） 36.(24-25八年级上·甘肃兰州期中)我们知道，（√2)2=2，(3+√2)3-√2)=32-(V2)2=7,,如果两 个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如 3+√2与3-√2互为有理化因式，√5+2与√5-√2互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有 二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化.例如： 1221 5+2 5+2=3+25-2 22×22'3-2(3-25+2)(-2-1 5 1 (①)店分母有理化的结果是-6+V万分母有理化的结果是_ 1 1 1 1 (2)利用以上知识计算： 1+2+2+V5+5+V4+…+V2023+V2024 37.(24-25八年级上江苏苏州期中)阅读下列材料，然后回答问题： 2 在进行二次根式化简时，形如万、+这样的式子可以进一步化简： 25-12(3- 22x2=23+1(5+3-(W3-1 =√5-1： 以上化简过程称为分母有理化，其中√2与√2，√3+1与√3-1互为有理化因式. ()√万的有理化因式是_；√5+√2的有理化因式是-： 2化简：7-5 (3)化简： V5+1 5- 1 38.(24-25八年级下，北京期中)在解决问题“己知a= 2+5’求2a-8a+1的值时，小蓝是这样分析与 解答的： 1 2-√5 :a 2+5(2+32- =2-5， a-2=-5, ∴(a-2)2=3,a2-4a+4=3, .a2-4a=-1, .2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×-1)+1=-1. 6/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： ①)化简： 2 3-√7 (②若a1-V2,求3a+6a-4的值. 39.(24-25八年级下·广东惠州·期中)阅读下列材料，并回答问题 2-1 2-1=2-1: 2+1(2+12-(2-1 5-V2 √-V2 w5jA可5， √4-5 √4-V5 4+5(4+54-(4-(列 =4-5: 1 (1)填空： 7+6 1 ②观察上述算式，请写出第式+1+石n是正整数)的结果： (3)试比较√12-与√1-0的大小： ④计第：2+十5+V5+4+5+…+2025+2024 (提示：452=2025). 40.(23-24八年级下山东潍坊期中)【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取 长补短，威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的好搭档，如5+3(5-3=-4， (5+V)(5-√②)=1，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个 是另一个的有理化因式. 于层，二衣根式隆法可以这样解：如--以5.5，÷6-242+7+45.餐这群 5=5x3’2-5(2-5)(2+5 通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化 【解决问题】 1 (1)将下列式子分母有理化： 3-V6 1 1 (2)比较大小：6-2—5-5 (用“><”或“=”填空)； 7/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【能力提升】 4m n (3)已知有理数m,n满足 5+35-2 =5,则m=； 2 2 (4)计算： 3+55V3+3w5+7W5+5V7+ 99V97+97√99 题型九，二次根式中的规律探究问题（共5小题） 41.(23-24八年级下湖南长沙期中)先来看一个有趣的现象： 这里根号里 的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数 还有许多，如： (1)请你写一个有“穿墙现象的数，并验证； (2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； (3)按此规律，若 88 =ab (a,b为正整数)，则a+b的值为· 42.(24-25八年级下·广东东莞·期中)观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (2+12-1=1, (+2)5-2=1, (4+54-5=1, (5+4)(5-4)=1 (1)观察以上规律，请写出第5个等式： (②)观察以上规律，请写出第n个等式： (n为正整数). 1 1 1 1 (3)利用上面的规律，计算2+十5+2+4+5+…+ V100+√99 43.(24-25八年级下·广西南宁期中)小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法， 发现二次根式有以下的运算规律. 下面是小明的探究过程，请补充完整. (1)具体运算，发现规律 特例1： 1+1=3+1 1 特例2： 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 特例3： 特例4： (请写一个符合上述运算特征的例子) (2)观察、归纳，得出猜想 如果n为正整数(n≥)，用含n的等式表示上述的运算规律为 (3)应用运算规律化简： V2024+,×v402 2026 44.(24-25八年级下·河南周口期中)观察下列运算： 5+川5-=1,9=5-1 5+06--1.将555-5. +j-=1,将g5-5, 1 (1)通过观察得 vn+l+√n 1 2利用（1)中你发现的规律计第：2+十5+万+4+5+…+2025+V2024 一十 45.(24-25八年级下山东泰安·期中)在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经 验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： 11,.11,1 +*1+ -=1。; 11+12 11 V2t3=1+) ②，1 11 1 1+22+16 1.1 ③，1+ 11,1 V+3+4京=1+3 -=1 33+112 …… 11 ()请你根据上面三个等式提供的信息，猜想√+京+京的结果，并验证： (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第n个等式(n为正整数)； (3)【应用规律】计算： ++++++ 1 1 V+20232+2024· 9/9