专题03 简单事件的概率（期中专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题03 简单事件的概率 题型1随机事件的判断（常考点） 题型7列举法求概率 题型2判断事件发生可能性的大小（重点） 题型8利用树状图/列表法求概率（常考点） 题型3理解概率的意义 题型9用频率估计概率的综合（重点） 题型4根据概率公式计算概率（常考点） 题型10游戏公平性（难点） 题型5已知概率求数量 题型11概率在转盘抽奖中的应用（难点） 题型6几何概率 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 随机事件的判断（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．两个负数的和是正数 B．在一个只装有黑球的袋中摸出白球 C．任意画一个三角形，内角和为 D．抛掷一枚硬币，正面朝上 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列事件中是不可能事件的是（   ） A．抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上 B．今天杭州市最高气温为108℃ C．任意选择某一电视频道，它正在播放体育节目 D．一个三角形三个内角的和等于 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）赵州桥在中国桥梁史上占有举足轻重的地位，被誉为“天下第一桥”，它的图片出现在浙教版九年级上册数学课本第76页．翻开该课本，恰好翻到第76页，这个事件是（   ） A．必然事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．若a是实数，则 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．两数相加，和是正数 D．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 题型二 判断事件发生可能性的大小（共6小题） 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图是5张背面都相同的扑克牌，将其打乱顺序，背面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，抽到的花色可能性最大的是（   ） A．♦ B．♠ C．♥ D．♣ 6．（24-25九年级上·浙江·期末）九年级一班有16名女生和20名男生，数学老师从中随机抽取一名学生回答问题．下列说法正确的是（   ） A．抽到女生的可能性小 B．抽到男生的可能性小 C．抽到女生和男生的可能性一样大 D．抽到女生和男生的可能性大小不能确定 7．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（   ） A．盒子里一定都是红球 B．他第6次摸到的一定还是红球 C．他第6次摸到的可能还是红球 D．盒子里一定还有其他颜色的球 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 9．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是 ． 10．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）比较下列事件发生的可能性大小． ①买一张发行量很大的彩票，恰好中500万；②从单项选择题的四个选项中排除一个错误答案后，猜对答案；③抛掷一枚硬币，落地后反面朝上． 将它们按可能性从小到大的顺序排列： ． 题型三 理解概率的意义（共3小题） 11．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）“明天下雨的可能性为”这句话指的是（   ） A．明天一定下雨 B．的地区下雨，的地区不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天的时间下雨，的时间不下雨 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（   ） A．很有可能中一等奖 B．张奖券中一定有一张是一等奖 C．可能中一等奖，但可能性不是很大 D．个顾客中一定有一人中一等奖 13．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．天气预报说明天下雨的概率是，所以明天一定会下雨 B．某种彩票中奖的概率是，买100张这种彩票一定会中奖 C．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为 D．在只放有红、黄小球的袋子中有可能摸出白球 题型四 根据概率公式计算概率（共5小题） 14．（24-25九年级下·湖北黄冈·开学考试）一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 16．（22-23九年级上·浙江金华·期末）按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（    ） A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大 C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 17．（2024·浙江·中考真题）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 18．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．    题型五 已知概率求数量（共5小题） 19．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 20．（20-21九年级上·浙江·期中）一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 21．（2023·浙江杭州·中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个盒子中有m个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，若取得白球的概率是，则 ． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有个红球，个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： (1)如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值． (2)在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 题型六 几何概率（共4小题） 24．（2020·浙江衢州·中考真题）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（　　） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 27．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为 ． 题型七 列举法求概率（共4小题） 28．（2022·浙江温州·中考真题）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，其中最长边a满，若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 30．（2023·浙江·一模）如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为 ． 31．（2021·浙江嘉兴·中考真题）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为 ． 马匹姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 题型八 利用树状图/列表法求概率（共4小题） 32．（2024·江西·中考真题）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． (1)“学生甲分到A班”的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 33．（2021·甘肃武威·中考真题）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右． （1）请你估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）． 34．（2019·辽宁沈阳·中考真题）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　 　． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率． 35．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 合格频数 合格频率 (1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到）； (2)估计出售件衬衣，其中次品大约有几件． 题型九 用频率估计概率的综合（共3小题） 36．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）． (2)该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 37．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 实验种植数（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 (1)估计该麦种的发芽概率． (2)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种的千粒质量为50g．那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg）？ 38．（22-23七年级下·陕西西安·期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 题型十 游戏公平性（共4小题） 39．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图是两个转盘，每个转盘都被圆的半径三等分，甲转盘的三个扇形上标有数字2，4，6，乙转盘的三个扇形上标有数字1，3，5，小明和小力分别转动甲、乙转盘，每人转动一次，记录转盘停止后指针指向的数字，若指针指在分界线上则重转．    (1)两人分别转动甲、乙转盘后，可能出现的全部可能有哪些？请用列表或画树状图的方法表示． (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小力赢，此游戏公平吗？为什么？ 40．（24-25九年级上·浙江温州·期中）2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． (1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； (2)若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 41．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯， (1)请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率； (2)小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由． 42．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． (1)计算的结果为0的概率； (2)甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 题型十一 概率在转盘抽奖中的应用（共3小题） 43．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 44．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． $专题03 简单事件的概率 题型1随机事件的判断（常考点） 题型7列举法求概率 题型2判断事件发生可能性的大小（重点） 题型8利用树状图/列表法求概率（常考点） 题型3理解概率的意义 题型9用频率估计概率的综合（重点） 题型4根据概率公式计算概率（常考点） 题型10游戏公平性（难点） 题型5已知概率求数量 题型11概率在转盘抽奖中的应用（难点） 题型6几何概率 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 随机事件的判断（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．两个负数的和是正数 B．在一个只装有黑球的袋中摸出白球 C．任意画一个三角形，内角和为 D．抛掷一枚硬币，正面朝上 【答案】D 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，正确理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是解题的关键．根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析各选项，即可得出结论． 【详解】A.两个负数的和是正数，是不可能事件，不符合题意； B.在一个只装有黑球的袋中摸出白球，是不可能事件，不符合题意； C.任意画一个三角形，内角和为，是必然事件，不符合题意； D.抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意； 故选：D 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列事件中是不可能事件的是（   ） A．抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上 B．今天杭州市最高气温为108℃ C．任意选择某一电视频道，它正在播放体育节目 D．一个三角形三个内角的和等于 【答案】B 【分析】本题考查了不可能事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据不可能事件、必然事件、随机事件的定义逐项分析即可． 【详解】解：A. 抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意； B. 今天杭州市最高气温为108℃是不可能事件，故该选项符合题意； C. 任意选择某一电视频道，它正在播放体育节目，是随机事件，故该选项不符合题意； D. 一个三角形三个内角的和等于，是必然事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）赵州桥在中国桥梁史上占有举足轻重的地位，被誉为“天下第一桥”，它的图片出现在浙教版九年级上册数学课本第76页．翻开该课本，恰好翻到第76页，这个事件是（   ） A．必然事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，可能发生，可能不发生的事件为随机事件，进行判断即可． 【详解】解：翻开该课本，恰好翻到第76页，这个事件是随机事件， 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．若a是实数，则 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．两数相加，和是正数 D．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 【答案】A 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件、实数的性质等知识点，熟练掌握必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题关键． 根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义、实数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若a是实数，则，是必然事件，则此项符合题意； B任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，则此项不符合题意； C、任意两数相加，和是正数，是随机事件，则此项不符合题意； D、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，则此项不符合题意． 故选：A． 题型二 判断事件发生可能性的大小（共6小题） 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图是5张背面都相同的扑克牌，将其打乱顺序，背面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，抽到的花色可能性最大的是（   ） A．♦ B．♠ C．♥ D．♣ 【答案】D 【分析】本题考查了可能性的大小，根据各花色的数量以及总的数量分别求出各自的概率，进而判断即可． 【详解】解：根据题意可知一共有5张扑克牌，其中♦有1张，♠有1张，♥有1张，♣有2张， 则抽到♦的概率为：，抽到♠的概率为：，抽到♥的概率为：，抽到♣的概率为：， 故抽到的花色可能性最大的是♣， 故选：D 6．（24-25九年级上·浙江·期末）九年级一班有16名女生和20名男生，数学老师从中随机抽取一名学生回答问题．下列说法正确的是（   ） A．抽到女生的可能性小 B．抽到男生的可能性小 C．抽到女生和男生的可能性一样大 D．抽到女生和男生的可能性大小不能确定 【答案】A 【分析】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答． 【详解】解：九年级一班有16名女生和20名男生， ∴抽取男生的概率为，抽到女生的概率为：， ∴抽到男生的可能性大，女生的可能性小， 故选：A． 7．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（   ） A．盒子里一定都是红球 B．他第6次摸到的一定还是红球 C．他第6次摸到的可能还是红球 D．盒子里一定还有其他颜色的球 【答案】C 【分析】本题考查了可能性，根据可能性大小逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 盒子里不一定都是红球，故该选项不正确，不符合题意；     B. 他第6次摸到的不一定还是红球，故该选项不正确，不符合题意； C. 他第6次摸到的可能还是红球，故该选项正确，符合题意；     D. 盒子里不一定还有其他颜色的球，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是概率的意义，正确理解概率的意义和概率的计算公式是解题的关键．根据概率的意义和概率的计算公式计算即可． 【详解】解：由于硬币质地均匀， 所以小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同，都是． 故选:C． 9．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解题的关键． 由于从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则盒子里面红球的个数小于黄球的个数，据此即可解答． 【详解】解：∵从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性， ∴盒子里面红球的个数小于黄球的个数， ∴． 故答案为：． 10．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）比较下列事件发生的可能性大小． ①买一张发行量很大的彩票，恰好中500万；②从单项选择题的四个选项中排除一个错误答案后，猜对答案；③抛掷一枚硬币，落地后反面朝上． 将它们按可能性从小到大的顺序排列： ． 【答案】①②③ 【分析】根据概率公式得到：①设发行量为（很大），若中万只有一张，可得到概率为；②从单项选择题的四个选项中排除一个错误答案后，猜对答案的概率为；③抛掷一枚硬币，落地后反面朝上的概率为，从而得到答案． 【详解】解：根据题意，题中①②③按可能性从小到大的顺序排列为①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查利用概率公式求事件概率，根据题意求出各个事件概率比较大小即可得到答案． 题型三 理解概率的意义（共3小题） 11．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）“明天下雨的可能性为”这句话指的是（   ） A．明天一定下雨 B．的地区下雨，的地区不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，理解随机事件发生的可能性是可能发生，也可能不发生．根据相关概念判断，即可解题． 【详解】解：“明天下雨的可能性为”这句话指的是明天有很大可能下雨，但也不一定下雨，与地区和下雨时间长短无关，故明天不一定下雨， 故选：C． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（   ） A．很有可能中一等奖 B．张奖券中一定有一张是一等奖 C．可能中一等奖，但可能性不是很大 D．个顾客中一定有一人中一等奖 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义：表示事件发生的可能性大小，理解概率的意义是关键；根据概率的意义去分析判断即可． 【详解】解：一等奖中奖概率为，说明中一等奖的可能性为，显然这个可能性很小，并不意味着一定中奖；故选项C正确，其它选项错误； 故选：C． 13．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．天气预报说明天下雨的概率是，所以明天一定会下雨 B．某种彩票中奖的概率是，买100张这种彩票一定会中奖 C．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为 D．在只放有红、黄小球的袋子中有可能摸出白球 【答案】C 【分析】根据概率的意义、随机事件的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．天气预报说明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性是，不代表明天一定会下雨，因此该选项不符合题意； B．彩票中奖的机会是，买100张彩票也不一定会中奖，因此该选项不符合题意； C．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为，因此该选项符合题意； D．在只放有红、黄小球的袋子中摸出白球，是不可能事件，因此该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查随机事件、概率的意义，掌握随机事件和概率的意义是正确判断的前提． 题型四 根据概率公式计算概率（共5小题） 14．（24-25九年级下·湖北黄冈·开学考试）一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用红球的个数除以球的总数即可得解． 【详解】解：∵一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球， ∴从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：B． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式，有理数的大小比较，理解概率公式是解题关键．先求出抽取1个球是红球的概率，再逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知，从中随机抽取1个球是红球的概率， ， 故选：B． 16．（22-23九年级上·浙江金华·期末）按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（    ） A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大 C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 【答案】D 【分析】先分析小王抽到空白纸条和“主持人”纸条的可能性，再在小王抽到空白纸条的基础上分析小李抽到“主持人”纸条的可能性，注意小李如果没有抽到主持人，则小马必然抽到“主持人”，由此可以求出三人抽到“主持人”的可能性． 【详解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况： 小王抽到“主持人”可能性为， 小王抽到空白纸条的可能性为：，在此基础上，小李抽取情况分为抽到“主持人”或抽到空白纸条， 抽取“主持人”可能性为：， 抽取空白纸条可能性为：（当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”）， 故小李抽到“主持人”的可能性为：， 小马抽到“主持人”的可能性为：， 故选：D． 【点睛】本题考查概率计算，能够根据事件分析出某个事件发生的概率是解决本题的关键． 17．（2024·浙江·中考真题）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 【答案】/ 【分析】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 先找出4的整数倍的个数，再根据概率公式可得答案． 【详解】一共有8张卡片，其中是4的整数倍的有2张， ∴从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是． 故答案为：． 18．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．    【答案】 【分析】直接由概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光， 任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果， 小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比． 题型五 已知概率求数量（共5小题） 19．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 20．（20-21九年级上·浙江·期中）一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在80%左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，×100%=80%， 解得，a=12． 故选：B． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 21．（2023·浙江杭州·中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 【答案】9 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为， ， 去分母，得， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个盒子中有m个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，若取得白球的概率是，则 ． 【答案】 【分析】由于取得白球的概率是，故可利用概率公式求出摸到白球的概率列出等式，求出m的值． 【详解】解：， ∴， 经检验是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有个红球，个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： (1)如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值． (2)在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 【答案】(1)； (2)取走3个白球． 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． （1）根据红球与白球的数量的情况即可求解； （2）设取走个白球，根据概率公式列出关于的方程，解出的值即可． 【详解】（1）解：摸到红球与摸到白球的可能性相等，且， ； （2）解：设取走个白球，放入个红球，则口袋中现在有白球个，红球个， 根据题意得，， 解得， 答：取走3个白球． 题型六 几何概率（共4小题） 24．（2020·浙江衢州·中考真题）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案． 【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键． 25．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，频数（率分布折线图，以及利用频率估计概率，正确理解折线统计图是解题的关键．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为 ，则， 解得：， 估计不规则图案的面积约为． 故选：B． 26．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，再根据落在黑色阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积进行求解即可． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的， ∴黑色阴影区域的面积是， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，二次函数的图象与性质，二次函数与x轴和y轴的交点，几何概率，求出矩形的面积是解题的关键．首先求出，，得到，然后求出，求出矩形的面积为，然后利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴令，即 解得， ∴， ∴ 当时， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴ ∴矩形的面积为 ∵在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个， ∴阴影部分面积的近似值为． 故答案为：． 题型七 列举法求概率（共4小题） 28．（2022·浙江温州·中考真题）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法列出全部可能情况，从中找出是偶数的情况，根据概率公式P(A)=事件包含的结果/总体可能的结果计算即可． 【详解】解：从9张卡片中任意抽出一张，正面的数有1~9共9种可能，其中为偶数的情况有2、4、6、8共4种， 所以正面的数是偶数的概率P=， 故选 ：C． 【点睛】本题考查了概率，需熟练运用列举法进行分析，会使用列表法、树状图法求概率． 29．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，其中最长边a满，若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先根据题意找到满足条件的三角形个数，再找到其中是直角三角形的个数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵的三边a，b，c（）均为整数且周长为24， ∴或或或或或或或或或或或，一共12种情况， ∵是直角三角形的有，只有1种情况， ∴从这样的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率是． 故选：A． 30．（2023·浙江·一模）如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为 ． 【答案】 【分析】列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式，即可求解． 【详解】解：由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数有：369、396、639、693、936、963，一共6中情况； ∴一次就能打开行李箱的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比． 31．（2021·浙江嘉兴·中考真题）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为 ． 马匹姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 【答案】 【分析】利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6； 而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种 ∴田忌能赢得比赛的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 题型八 利用树状图/列表法求概率（共4小题） 32．（2024·江西·中考真题）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． (1)“学生甲分到A班”的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】(1) (2)甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【详解】（1）解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 33．（2021·甘肃武威·中考真题）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右． （1）请你估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）． 【答案】（1）1个；（2） 【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案； （2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右， ∴估计摸到红球的概率为0.75， 设白球有个，依题意得 解得，． 经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以箱子里可能有1个白球； （2）列表如下： 红 红 红 白 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） 或画树状图如下： ∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有： （红，白）、（红，白）、（红，白）、（白，红）、（白，红）、（白，红）共6种． ∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率． 【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键． 34．（2019·辽宁沈阳·中考真题）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　 　． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率． 【答案】（1）；（2）见解析，. 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝； （2）列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率 35．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 合格频数 合格频率 (1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到）； (2)估计出售件衬衣，其中次品大约有几件． 【答案】(1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率为； (2)估计出售件衬衣，其中次品大约有件 【分析】（1）根据频率可靠性可知总数越大时频率越稳定，故总数为1000时所得频率即为每一件衬衣的合格率； （2）利用总量乘以即可求解． 【详解】（1）解：估计任抽一件衬衣是合格品的概率为； （2）解：∵估计任抽一件衬衣是合格品的概率为； ∴（件）， 答：估计出售2000件衬衣，其中次品大约有100件． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率的应用，解答此题关键是估计出任取1件衬衣是次品的概率． 题型九 用频率估计概率的综合（共3小题） 36．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）． (2)该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①估计这种花卉成活9000棵；②估计还要移植100000棵 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用10000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）①（棵）， 答：估计这种花卉成活9000棵； ②（棵）， 答：估计还要移植100000棵． 37．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 实验种植数（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 (1)估计该麦种的发芽概率． (2)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种的千粒质量为50g．那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg）？ 【答案】(1)该麦种的发芽概率约为95%； (2)约需麦种790千克 【分析】（1）利用频率估计麦种的发芽率，大数次实验，当频率固定到一个稳定值时，可根据频率公式=频数÷总数计算即可； （2）设约需麦种x千克，根据x千克转化为克×1000，再转为颗粒÷50×1000，根据发芽率再×95%，根据芽转苗再×80%，等于三公顷地需要的苗总数，例方程x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，解方程即可 【详解】（1）解：根据实验数量变大，发芽数也在增大，2850÷3000×100%=95%， 故该麦种的发芽概率约为95%； （2）解：设约需麦种x千克， x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3， 化简得15200x=12000000， 解得x=789， 答：约需麦种790千克 【点睛】本题考查用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题，掌握用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题的方法与步骤是解题关键． 38．（22-23七年级下·陕西西安·期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【答案】(1)0.58，118； (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率频数样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.58，118； （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是0.6． 故答案为：0.6； （3）解：(个)， 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 题型十 游戏公平性（共4小题） 39．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图是两个转盘，每个转盘都被圆的半径三等分，甲转盘的三个扇形上标有数字2，4，6，乙转盘的三个扇形上标有数字1，3，5，小明和小力分别转动甲、乙转盘，每人转动一次，记录转盘停止后指针指向的数字，若指针指在分界线上则重转．    (1)两人分别转动甲、乙转盘后，可能出现的全部可能有哪些？请用列表或画树状图的方法表示． (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小力赢，此游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)游戏是公平的 【分析】本题主要考查根据列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键． （1）将所有情况放入表格即可； （2）找出满足条件的结果分别求出概率即可得到答案． 【详解】（1）解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 小明 小力 2 4 6 1 2，1 4，1 6，1 3 2，3 4，3 6，3 5 2，5 4，5 6，5 共有9种不同结果，即． （2）解：将题（1）出现的结果相加，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，P（小明胜）， P（小力胜）， 因此游戏是公平的． 40．（24-25九年级上·浙江温州·期中）2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． (1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； (2)若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 【答案】(1)见解析 (2)原来有红球个，白球有个 【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题． （1）根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平； （2）根据题意摸出红球的概率为，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵个红球与个白球 ∴摸出的是红球的概率为 摸出的是白球的概率为， ， ∴这个办法不公平 （2）解：依题意， 解得： 是原方程的解， 则， ∴原来有红球个，白球有个 41．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯， (1)请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率； (2)小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由． 【答案】(1) (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键． （1）根据题意列表格，然后求概率即可； （2）分别求出小亮胜，小芳胜的概率，进行比较，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，列表格如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表可知，共有种等可能的结果，甲、乙二人在同一层楼出电梯共有4种等可能的结果， ∵， ∴甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率为； （2）解：游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，小亮胜的概率为； 则小芳胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 42．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． (1)计算的结果为0的概率； (2)甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，理由见详解；公平的游戏规则见详解 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率等知识． （1）画树状图得到共有12种的等可能结果，其中的结果为0的共有2种等可能结果，根据概率公式即可求解； （2）分别计算出甲胜的概率为，乙胜的概率为，据此即可得到游戏规则不公平；新的游戏规则只要保证甲胜和乙胜的概率相等即可符合题意． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图得共有12种的等可能结果，其中的结果为0的共有2种等可能结果， ∴的结果为0的概率是； （2）解：由树状图得共有12种的等可能结果，其中共有2种等可能结果，所以甲胜的概率为；共有4种等可能结果，所以乙胜的概率为； ∵ ∴游戏规则不公平； 公平的游戏规则为：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜． 此时甲胜和乙胜的概率都是， ∴此游戏规则公平． 题型十一 概率在转盘抽奖中的应用（共3小题） 43．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，共有9种等可能的结果 (3)会选择方案二；理由见解析 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图即可解决； （3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果； （3）解：会选择方案二． 理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 44．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一比较实惠 【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可； （2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表格如下： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） ∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种， ∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． （2）解：∵， ∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为： （元）， ∵， ∴选择方案一比较实惠． 【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图，熟练掌握概率的基本公式． $