数学活动 面积与代数恒等式 & 数学活动 认识算两次-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（华东师大版2024）

数学活动面积与代数恒等式 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是 一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化 (1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来 D y1 图1 图2 图3 图4 公式①：(x+y)2=(x-y)2+4xy;公式②：(x十y)2=x2+2xy+y2;公式③：x2-y2=(x+y)(x一 y);公式④：(x-p)(x-q)=x2-（p十q)x十q. 图1对应公式 ,图2对应公式 ,图3对应公式 ,图4对应公式 .(填 序号) (2)如图3，若p=3,q=6,且空白部分的面积为70，求大正方形ABCD的边长x. 为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示的位置，则空白部分的面积可表示为(x一 3)(x一6).小敏运用“整体思想”，设x一3=a,x一6=b,结合公式①，可计算出a十b的值，从而求出 边长x.请根据材料，写出小敏的解答过程。 (3)如图6，若p=q,空白部分的面积为121，且正方形ABCD与正方形EFGH的面积之和为241，求 正方形ABCD与正方形EFGH的面积之差， 4k6 D B B 图5 图6 46一本·HDSD版初中数学八年级上册 数学活动认识算两次 把同一个量用两种不同的方法计算两次，进而建立等量关系解决问题，这种方法在数学上称为算 两次。 例如，在学习整式乘法过程中，我们用两种不同的方法计算如图1所示的最大的正方形的面积，验证 了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2. (1)将长为m、宽为的四个大小、形状完全相同的小长方形按如图2所示的方式拼成一个大正方形， 用两种不同的方法计算阴影部分的面积可以得出等式： (2)如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体 ①剩余部分按如图3所示继续切割为甲、乙、丙三个长方体，它们的体积可以用含x,y的整式分别表 示为 ②利用①中的结果以及算两次的方法，分解因式x3一y3; ③若x-3x一1=0，求x是的值。 m 丙 0 6 n 图1 图2 图3 第11章整式的乘除4722.-623.12a+14b 24.(1)a(a+2b)(a-2b)(2)3m(a-3)2 (3)(2x-y)(3a+1)(3a-1) 25.c26B27 28.-829.430.2或4 数学活动面积与代数恒等式 解：(1)②③④① (2)因为x-3=a,x-6=b, 所以a十b=x-3十x-6=2x一9， a-b=x-3-(x-6)=3. 由题意，得(x一3)(x一6)=70，所以ab=70. 由公式①，得(a十b)2=(a-b)2十4ab, 即(2x-9)2=32十4×70，所以(2x-9)2=172, 所以2x-9=17或2x9=-17, 解得x=13或x=一4（舍去）， 所以大正方形ABCD的边长x为13. (3)209 数学活动认识算两次 (1)(m十n)2-4mn=(m-n)2 (2)Dxy2-y3 x2y-xy2 x-xy ②(x-y)(x2+xy+y2)③36 第12章全等三角形 12.1命题、定义、定理与证明 1.命题 1.①②④⑤ 2.两个角是等角的余角这两个角相等 3.解：(1)如果两条直线平行于同一条直线，那么这两 条直线互相平行. (2)如果已知一个三角形两条边上的高线，那么这两 条高线长的比等于这两条边长的比 (3)如果x为任意实数，那么x2≥0. 4.D5.假6.-1（答案不唯-）7.D8.②③ 9.(1)∠DFE EM FN (2)该命题是真命题.理由略 2.定义、定理与证明 1.①②③④2.C3.40°同角的余角相等 4.解：(1)能写出两个真命题，分别是 命题1：条件①②，结论③；命题2：条件②③，结论①， (2)选择命题1. 证明：，AB∥CD,∴.∠B+∠C=180°. :∠B+∠1+∠2=180°，∠C=∠1+∠2， ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180°. :∠1=∠2，∠3=∠4， .∠2+∠3=90°，AE⊥ED. 或选择命题2. 证明：AE⊥ED,.AED=90°， ∴.∠2+∠3=90°. :∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180° 又∠B=180°-∠1-∠2，∠C=180°-∠3-∠4， ∴.∠B+∠C=180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4 360°-（∠1+∠2+∠3+∠4）=180°，.AB∥CD. 5.解：(1)证明：，AB∥DE,BC∥DF, ∴∠B=∠CGE,∠D=∠CGE,∠B=∠D (2)∠B+∠D=180°.理由略 12.2三角形全等的判定 1.全等三角形的判定条件 1.c2.B3.100°4.65°5.A6.C7.D 8.②③9.B10.A11.6012.5013.②③④⑤ 14.(1)20°(2)AF∥DC.理由略 15.(1)16(2)52或60 2.边角边 1.OB=OC 2.证明：∠BAE=∠CAD,∴.∠BAE+∠CAE= ∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD. (AB-AE, 在△ABC与△AED中，∠BAC=∠EAD, AC-AD, ∴.△ABC≌△AED(SAS) BC=DE, 3.解：(1)证明：在△ABC和△ADE中，∠B=∠D, AB=AD, ∴.△ABC≌△ADE(SAS). (2)60 4.B 5.石凳M到石凳E,F的距离ME,MF相等.理由略 6.82° 2取号 8.解：(1)以点D为圆心，AC的长为半径作孤，交BC 于点E,连结DE,此时点E的位置可能有两个，SSA 不能判定两个三角形全等， (2)证明：，AB∥CD,∴∠B=∠ECD. CE=BA, 在△ECD和△ABC中，∠ECD=∠B, CD=BC, ∴.△ECD≌△ABC(SAS). 9.解：(1)证明：，△ABC和△ADE是等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=90°， ,.∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE, 即∠BAE=∠CAD. (AE-=AD, 在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD, AB=AC, ,∴.△ABE≌△ACD(SAS). (2)DC⊥BE.理由略 答案5·