经典模型专题10 利用“角平分线+平行线”证等腰三角形 & 重点题型专题11 分类讨论思想在等腰三角形中的应用-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（华东师大版2024）

经典模型专题10 利用“角 模型展示 条件 结论 1.∠DOC=∠DCO, 1.OC平分∠AOB； ∠DCO=∠COB; D 2.CD∥OB 2.CD=DO,即△OCD 是等腰三角形 1.如图，已知OC是∠AOB的平分线，将直尺 DEMN按如图所示的方式摆放，使边EM与 边OB重合，顶点D落在边OA上，边DN与 OC交于点P. (1)猜想：△DOP是 三角形； (2)证明你的猜想. B 2.如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，过点 D作边BC的平行线EF,分别交∠ACB的平 分线，△ABC的外角∠ACG的平分线于M,N 两点.求证：DM=DN. 70一本·HDSD版初中数学八年级上册 平分线十平行线”证等腰三角形 3.如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分 线交于点O,过点O作BC的平行线分别交 AB,AC于点D,E (1)请直接写出图1中线段BD,CE,DE之间 的数量关系 (2)如图2，在△ABC中，如果∠ABC的平分线 与△ABC的外角∠ACF的平分线交于点O, 过点O作BC的平行线交AB于点D,交AC 于点E,那么BD,CE,DE之间存在什么数量 关系？请写出猜想并证明 (3)如图3，△ABC的外角∠DBC和∠BCE的 平分线交于点O,过点O作BC的平行线分别 交AB,AC的延长线于点D,E,那么BD,CE, DE之间存在什么数量关系？请直接写出你的 猜想（不需要证明） 图2 图3 重点题型专题11分类讨 类型1腰长与底边长的分类讨论 1.已知等腰三角形的两边长分别是6和9，则它 的周长是 [变式]若已知等腰三角形的周长为19，一边 长为8，则该等腰三角形的腰长为 2【新考法·新定义】定义：一个三角形的一边长 是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三 角形”若一个等腰三角形是“倍长三角形”，底 边的长为6，则该三角形的腰长为 3.一个等腰三角形的三边长分别为2x一1，x十 1,3x一2，该等腰三角形的周长是 类型2顶角和底角的分类讨论 4.等腰三角形的一个角为80°，它的另外两个角 的度数分别为 [变式]若将第4题中的80°改为100°，则它 的另外两个角的度数分别是 类型3高位置不确定时，分类讨论 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 52°，则该三角形的底角的度数为 类型4腰上的中线的分类讨论 6.在△ABC中，若AB=AC,AB>BC,AC边上 的中线BD把△ABC的周长分为24cm和 16cm两部分，求△ABC各边的长. 论思想在等腰三角形中的应用 类型5腰的垂直平分线与另一腰所在直线的交 点位置不确定时，分类讨论 7.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与 AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角 ∠B的度数为 类型6等腰三角形的存在性问题 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= 45°，在直线BC上取一点P,使得△PAB为等 腰三角形，则符合条件的点P共有 个. 9.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=40°，点D 在线段BC上运动（点D不与点B,C重合），连 结AD,作∠ADE=40°，DE交边AC于点E. 当△ADE是等腰三角形时，求∠BAD的度数. 第12章全等三角形71.AP=CQ,.'PM=CQ. '∠PDM=∠QDC, 在△DPM和△DQC中，{∠DPM=∠Q, PM=QC, .△DPM≌△DQC(AAS),∴.DP=DQ. (2)2 2.等腰三角形的判定 1.D2.A3.34.4 5.证明：，∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠CBF+∠CFB=∠DBE+∠DEB=90°. BF平分∠ABC,∴∠CBF=∠DBE, ∴∠CFB=∠DEB. 又，∠FEC=∠DEB,∴∠FEC=∠CFB, ∴.CE=CF 6.D7.508.1.6 9证明：，D为AB的中点，AD=BD. ,DE⊥AC,DF⊥BC, ∴.∠AED=∠BFD=90°. 在R△ADE和Rt△BDF中，DE=DF, (AD=BD, .∴.Rt△ADE≌Rt△BDF(HL), .∠A=∠B,∴.AC=BC. AB=AC,∴AB=BC=AC, △ABC是等边三角形. 10.D11.1912.2 13.解：(1)证明：，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. BE=CF, 在△DBE和△ECF中，∠ABC=∠ACB, BD=CE. ∴.△DBE≌△ECF(SAS),'.DE=EF, ∴△DEF是等腰三角形 (2)709 14.解：(1)证明：BD⊥AC,D是边AC的中点， ..AB=CB. EF⊥AB,∴∠ABC+∠E=90°. :∠E=30°，∴.∠ABC=60°， △ABC是等边三角形. (2)AD=CE.理由略 经典模型专题10利用“角平分线十平行线” 证等腰三角形 1.解：(1)等腰 (2)证明：：OC平分∠AOB,∴∠DOP=∠BOP. 由题意可知，DN∥EM, .∠DPO=∠BOP,.∠DOP=∠DPO, ∴OD=PD,△DOP是等腰三角形. 2.证明：，CM平分∠ACB,CN平分∠ACG, .∠ACM=∠BCM,∠ACN=∠GCN. ,EF∥BC, ·答 ∴.∠DMC=∠BCM,∠DNC=∠GCN, ∴.∠ACM=∠DMC,∠ACN=∠DNC, ∴.DC=DM,DC=DN,∴DM=DN. 3.解：(1)DE=BD+CE. (2)猜想：DE=BD一CE. 证明：，∠ABC和∠ACF的平分线交于点O, ∴.∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠FCO. ,DE∥BC,.∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠FCO, ∴.∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO, ∴DO=BD,OE=CE .DE=DO-OE,..DE=BD-CE. (3)DE=BD+CE. 重点题型专题11分类讨论思想在等腰三角形 中的应用 1.21或24【变式】8或5.52.123.10或7 4.80°，20°或50°，50°【变式】40°，40°5.19°或71° 6.AB=AC=16 cm,BC=8 cm 7.65°或25°8.49.60°或30° 方法归纳专题12构造等腰三角形的常用方法 1.证明：如图，过点D作DG∥AE交BC于点G,则 ∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB. G AB=AC,∠B=∠ACB, ∠B=∠DGB,BD=DG. ,CE=BD,∴DG=CE. (∠DFG=∠EFC, 在△DFG和△EFC中，〈∠GDF=∠E, DG=EC, ∴.△DFG≌△EFC(AAS),'.DF=EF」 2.证明：如图，过点D作DM∥BC交CA的延长线于 点M,∴∠M=∠ACB. M AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, ∴∠M=∠ABC. ∠1=∠2，DC=DE, ∴.△DBE≌△CMD(AAS), .MD=BE. ∠M=∠FCE,∠MFD=∠CFE,DF=EF, ∴.△MFD≌△CFE(AAS), ∴.MD=CE,.BE=CE 3.B 案10· 4.证明：如图，延长BA,CD相交于点Q. :∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°， ∴.∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°， ∴.∠ACQ=∠ABE. ∠ABE=∠ACQ, 在△ABE与△ACQ中，AB=AC, ∠BAE=∠CAQ, .△ABE≌△ACQ(ASA), ∴.BE=CQ. ,BD平分∠ABC,∴.∠QBD=∠CBD. ∠BDC=90°，∴.∠BDC=∠BDQ=90°. ∠QBD=∠CBD, 在△QDB与△CDB中，BD=BD, ∠BDQ=∠BDC, ∴.△QDB≌△CDB(ASA), ∴CD=DQ, .BE=CQ=2CD. 5.证明：解法1（裁长法）：如图1，在BC上取一点1 使BE=BA,连结DE. B 图1 BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD. (AB=EB, 在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠EBD, BD=BD, .△ABD≌△EBD(SAS), .∠BED=∠BAC=108°， ∴∠DEC=72. AB=AC,.∠C=∠ABC=36°， ∴.∠CDE=72°， ∠CDE=∠CED=72°，∴.CD=CE, ∴.BC=BE+EC=AB+CD. 解法2（补短法）：如图2，延长BA至点E,使BE BC,连结DE. 图2 ,AB=AC,.∠ABC=∠C. :∠BAC=108°，∴∠C=36°，∠EAD=72 .BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD. (EB=CB, 在△EBD和△CBD中，∠ABD=∠CBD, BD=BD, .△EBD≌△CBD(SAS), .DE=DC,∠E=∠C=36°， ∴.∠EDA=∠EAD=72°， ∴.ED=EA,.CD=DE=AE， ∴.BC=BE=AB+AE=AB+CD 6.20° 7.证明：如图，在AC上截取AE=AB,连结DE. AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC. (AE=AB, 在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EAD, AD-AD, .△ABD≌△AED(SAS), ∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE,BD=DE. ∠B=2∠ADB,∠AED=2∠ADB. :∠BDA+∠ADE=∠BDE=2∠ADB, .∠BDE=∠AED,∠CED=∠EDC, .'.CD-CE,..AC=AE+CE=AB+CD. 8.4.5 方法归纳专题13构造全等三角形的常用辅助线 1证明：如图，过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB 于点F,则∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF十 ∠AOB=180. M B ,∠MPN+∠AOB=180°，.∠EPF=∠MPN, .∠EPM=∠FPN. OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,∴PE=PF I∠EPM=∠FPN, 在△PEM和△PFN中，PE=PF, ∠PEM=∠PFN, ∴.△PEM≌△PFN(ASA),.PM=PN. 【拓展】OM+ON的值不会发生变化.理由略 2.证明：如图，在AE上截取AP=AF,连结DP,记 ∠BAD为∠1，∠CAD为∠2. AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2. 答案11·