方法归纳专题13 构造全等三角形的常用辅助线-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（华东师大版2024）

方法归纳专题13 构造全等三角形的常用辅助线 方法1利用“角平分线”构造全等三角形 3.如图，OF是∠AOB的平分线，D为OA上的 1.如图，P为定角∠AOB的平分线上的一个定 一点，且CD=CE,求证：∠ODC+∠OEC= 点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕 180°. 点P旋转的过程中，其两边分别与OA,OB相 交于M,N两点，求证：PM=PN. D M 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, [拓展] BE平分∠CBA交AC于点D,过点C作 OM+ON的值是否会发生变化？请说明理由. CE⊥BD交BD的延长线于点E.若CE=3,求 △BDC的面积. 2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线， E,F分别为AB,AC上的点，且∠AED+ ∠AFD=180°.求证：DE=DF. 74一本·HDSD版初中数学八年级上册 方法2截长补短法 7.如图，已知C为射线AD上一点，∠A=∠B, 5.如图，在四边形ABDF中，AD平分∠BAF, PA=PB,AP与BC交于点M.若∠APB= DE⊥AB于点E,且BD=DF.求证：AE= 2∠CPA,求证：BM=AC+CM. AF+BE. D 6.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC= 8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD, 90°，AD=DC,若BD=8cm,求四边形ABCD ∠ABC+∠ADC=180°.若点E在CB的延长 的面积. 线上，点F在CD的延长线上，且EF=BE+ FD,请写出∠EAF与∠DAB之间的数量关 系，并说明理由. D A 第12章全等三角形75 9.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=58°，11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E是 ∠D=109°，∠ACD=42°，∠ACB=80°，CE是 CD的中点，AB⊥AE,垂足为A,且AB=4, △ABC的高，AD=10,EB=3,求AB的长. AE=5,求四边形ABCD的面积. 方法3倍长中线法 10.如图，AD是△ABC的中线，延长AD至点12.如图，AD是△ABC的中线，△ABE与 E,使ED=AD,连结CE. △ACF均为等腰直角三角形，∠BAE= (1)补全图形，并证明：△ABD≌△ECD; ∠FAC=90°，请写出线段AD与EF的数量 (2)若AB=8,AC=4,设AD=x,可得x的 和位置关系，并加以证明. 取值范围是 76一本·HDSD版初中数学八年级上册4.证明：如图，延长BA,CD相交于点Q. :∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°， ∴.∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°， ∴.∠ACQ=∠ABE. ∠ABE=∠ACQ, 在△ABE与△ACQ中，AB=AC, ∠BAE=∠CAQ, .△ABE≌△ACQ(ASA), ∴.BE=CQ. ,BD平分∠ABC,∴.∠QBD=∠CBD. ∠BDC=90°，∴.∠BDC=∠BDQ=90°. ∠QBD=∠CBD, 在△QDB与△CDB中，BD=BD, ∠BDQ=∠BDC, ∴.△QDB≌△CDB(ASA), ∴CD=DQ, .BE=CQ=2CD. 5.证明：解法1（裁长法）：如图1，在BC上取一点1 使BE=BA,连结DE. B 图1 BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD. (AB=EB, 在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠EBD, BD=BD, .△ABD≌△EBD(SAS), .∠BED=∠BAC=108°， ∴∠DEC=72. AB=AC,.∠C=∠ABC=36°， ∴.∠CDE=72°， ∠CDE=∠CED=72°，∴.CD=CE, ∴.BC=BE+EC=AB+CD. 解法2（补短法）：如图2，延长BA至点E,使BE BC,连结DE. 图2 ,AB=AC,.∠ABC=∠C. :∠BAC=108°，∴∠C=36°，∠EAD=72 .BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD. (EB=CB, 在△EBD和△CBD中，∠ABD=∠CBD, BD=BD, .△EBD≌△CBD(SAS), .DE=DC,∠E=∠C=36°， ∴.∠EDA=∠EAD=72°， ∴.ED=EA,.CD=DE=AE， ∴.BC=BE=AB+AE=AB+CD 6.20° 7.证明：如图，在AC上截取AE=AB,连结DE. AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC. (AE=AB, 在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EAD, AD-AD, .△ABD≌△AED(SAS), ∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE,BD=DE. ∠B=2∠ADB,∠AED=2∠ADB. :∠BDA+∠ADE=∠BDE=2∠ADB, .∠BDE=∠AED,∠CED=∠EDC, .'.CD-CE,..AC=AE+CE=AB+CD. 8.4.5 方法归纳专题13构造全等三角形的常用辅助线 1证明：如图，过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB 于点F,则∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF十 ∠AOB=180. M B ,∠MPN+∠AOB=180°，.∠EPF=∠MPN, .∠EPM=∠FPN. OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,∴PE=PF I∠EPM=∠FPN, 在△PEM和△PFN中，PE=PF, ∠PEM=∠PFN, ∴.△PEM≌△PFN(ASA),.PM=PN. 【拓展】OM+ON的值不会发生变化.理由略 2.证明：如图，在AE上截取AP=AF,连结DP,记 ∠BAD为∠1，∠CAD为∠2. AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2. 答案11· (AP=AF, 在△ADP和△ADF中，∠1=∠2， AD=AD, ∴.△ADP≌△ADF(SAS), ∴.∠APD=∠AFD,DP=DF, .180°-∠APD=180°-∠AFD. :∠AED+∠AFD=180°，∠DPE+∠APD=180°， ∴.∠AED=∠DPE, DE=DP,∴DE=DF 3.证明：如图，在OB上截取OG=OD,连结CG. ,OF是∠AOB的平分线，.∠COG=∠COD. OD=OG, 在△OCD和△OCG中，∠COD=∠COG, OC=OC, ∴.△COD≌△COG(SAS), ∴.∠ODC=∠OGC,CD=CG CD=CE,CG=CE,∴∠CGE=∠OEC. :∠0GC+∠CGE=180°， ∴.∠ODC+∠OEC=180°. 4.9 5.证明：如图，延长AF至点C,使AC=AE,连结DC. ,DE⊥AB,∴∠AED=∠DEB=90°. AD平分∠BAF,.∠CAD=∠EAD. .AE=AC,AD=AD, ∴.△ACD≌△AED(SAS), ∴.DC=DE,∠C=∠AED=90°=∠DEB. ,DF=BD,∴.Rt△FCD≌Rt△BED(HL), .FC=BE,.'.AE=AC=AF+CF=AF+BE. 6.32cm 7.证明：如图，在BC上截取BG=AC,连结PG. (AP=BP, 在△ACP和△BGP中，∠A=∠B, AC=BG, ∴.△ACP≌△BGP(SAS), ∴.∠CPA=∠GPB,PC=PG. ∠APB=2∠CPA,.∠APB=2∠GPB, ∴.∠GPA=∠GPB=∠CPA. PC=PG 在△CPM和△GPM中 ∠CPM=∠GPM, PM=PM, .△CPM≌△GPM(SAS),∴.CM=GM, ∴.BM=BG+GM=AC+CM. 8.2∠EAF+∠DAB=360°.理由略9.16 10.解：(1)补全图形如图所示 D 证明：AD是△ABC的中线，∴BD=CD. (AD=ED, 在△ABD和△ECD中，∠ADB=∠CDE, DB=DC, ∴.△ABD≌△ECD(SAS). (2)2<x<6 11.20 12.解：EF=2AD,AD⊥EF. 证明：如图，延长AD至点Q,使得DQ=AD,连结 BQ,延长DA交EF于点P,则AQ=2AD. ,AD是△ABC的中线，.BD=CD BD=CD, 在△BDQ和△CDA中，∠BDQ=∠CDA, DQ=DA, ∴.△BDQ≌△CDA(SAS), ∴.∠DBQ=∠DCA,BQ=CA :△ABE与△ACF均为等腰直角三角形，∠BAE= ∠FAC=90°， ..AB=AE,AC=AF,..BQ=AF. ∠DBQ=∠DCA,∴.AC∥BQ, ∴.∠BAC+∠ABQ=180°. '∠BAE=∠FAC=90°， ∴.∠BAC+∠EAF=180°，.∠ABQ=∠EAF. (AB=EA, 在△ABQ和△EAF中，∠ABQ=∠EAF, BQ=AF, ∴.△ABQ≌△EAF(SAS), ∴.∠BAQ=∠AEF,AQ=EF .AQ=2AD,∴.EF=2AD. ∠BAE=90°， ∴.∠BAQ+∠EAP=90°， ∴.∠AEF+∠EAP=90°， 答案12· ∴.∠APE=90°，∴.AD⊥EF 综上，EF=2AD,AD⊥EF. 12.4逆命题和逆定理 1.互逆命题和互逆定理 1.A2.同位角相等，两直线平行 3.如果x2≥1，那么x≥1假4.A5.D 6解：有逆定理.逆定理是“两直线平行，同旁内角互 补”. 7.D8.C 9解：逆命题是“一个三角形两边上的高相等，则这个 三角形是等腰三角形”是真命题， 已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,CE⊥AB 于，点E,且BD=CE. B 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：，BD⊥AC,CE⊥AB, ∴.∠BDC=∠CEB=90°. 在Rt△BCD和Rt△CBE中，BC=CB, (BD=CE, .Rt△BCD≌Rt△CBE(HL), ,∴.∠BCD=∠CBE,∴.AB=AC, 即△ABC是等腰三角形. 2.线段垂直平分线 1.A2.D3.40°4.(1)12(2)30°5.B6.c7.2 8.BE=CE.理由略9.C10.55 11.(1)垂直平分线平分线(2)25 12.解：(1)△ABD为等腰三角形. 理由：，AC的垂直平分线交BC于点D, AD=CD,∠C=∠CAD, ∴.∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C. ∠B=2∠C,∴∠ADB=∠B,∴AD=AB, ∴△ABD为等腰三角形. (2)10 13.解：(1)如图，点P即为所求. (2)如图，连结点P和各顶点，以及AC ,PA=PB,∴∠PAB=∠PBA. 同理可得∠PAC=∠PCA. :∠BAP+∠PAC=∠BAC=66°， .∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=132. ,∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，∠PAB+ ·答多 ∠PBA+∠PAC+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°， ∴.∠BPC=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA= 132°. 3.角平分线 1.B2.33.6 4.证明：BD是∠ABC的平分线， ∠ABD=∠CBD (AB=BC, 在△ABD和△CBD中，∠ABD=∠CBD, BD=BD, ∴.△ABD≌△CBD(SAS),∴.∠ADB=∠CDB. PM⊥AD,PN⊥CD,∴.PM=PN. 5.D6.B7.D 8.证明：如图，过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥CD于 点F. SAPAB-SAPCD,AB=CD,PE=PF. PE⊥AB,PF⊥CD,.OP平分∠AOD 9.A10.B 11.解：(1)证明：如图，连结AD,BD. D B DP垂直平分AB,AD=BD. ,DE⊥BE,DF⊥AC,CD平分∠ACE, ∴.∠AFD=∠BED=90°，DE=DF (AD=BD, 在Rt△ADF和Rt△BDE中， DF-DE, ∴.Rt△ADF≌Rt△BDE(HL),∴.AF=BE. (2)2 变式微专题2与角平分线有关的面积问题 1.3：2:42.103.5 方法归纳专题14证明线段相等的基本方法 1证明：∠AED=∠BEC, ∴.∠AED+∠DEC=∠DEC+∠BEC, 即∠AEC=∠BED. .E是AB的中点，∴.AE=BE ∠A=∠B, 在△AEC和△BED中，AE=BE, ∠AEC=∠BED, ∴.△AEC≌△BED(ASA),∴.CE=DE. 2.证明：.CD⊥AB,.∠BDC=∠CDA=90° :∠ABC=45°，.△BDC是等腰直角三角形， .'BD=CD. 13·