13.1.2 直角三角形的判定 & 13.1.3 反证法-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（华东师大版2024）

(AD-ED. 在△ACD和△EBD中，∠ADC=∠EDB, CD=BD, '.△ACD≌△EBD(SAS), ∴.BE=AC,∠DAC=∠DEB :AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD, ∴.∠BAD=∠BED,∴.AB=BE,∴.AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形. 4.4或55.40°或100°6.49°或38 7.115°或65或25° 第13章勾股定理 13.1勾股定理及其逆定理 1.直角三角形三边的关系 第1课时勾股定理及其证明 1.c2.4×2b(6-a2c23.c4.B5.c 6.(1)13(2)24(3)a=24,b=32 7.258.√3或√59.D10.1011.20 12.(1)AC=4 cm,SAABC=6 cm2 (2)CD=2.4 cm 13.证明：如图，连结BD,过点B作BF⊥DE,交DE 的延长线于点F,则BF=b-a. 1 :'S五边特ACBED=S#形ACBE十S△ADE= 2(a+b)6+ 2ab, 1 1 S玉进5ACBD=SAACB十SaAn十S△DE=乞ab十2c2十 1 2a(b-a), ∴a+b6+b-b+0+7w-a 1 1 1 ∴a2+b2=c2. 第2课时勾股定理的简单应用 1.C2.C3.C4.1005.66.187.208.13 9.解：设旗杆的高度为xm,那么绳长为(x十0.8)m. 由勾股定理，得x2十42=(x十0.8)2，解得x=9.6. 答：旗杆的高度为9.6m. 10.B11.412.513.10114.5015.3m 16.樱桃批发市场E应建在离A村20km的位置才 能符合要求 2.直角三角形的判定 1.A2.C3.C4.直角三角形5.606. 6 7.证明：由题图，得AB2=62+42=52,AC2=22+ 32=13,BC2=12+82=65,∴.AB2+AC2=BC2, ·答多 ∴.△ABC为直角三角形. 8.(1)90°(2)96m9.B10.D11.4012.D 13.1214.12015.4516.37 17.解：(1)证明：如图，连结BE. A ,DE为边AB的垂直平分线，AE=BE. .CB2=AE2-CE2 ,..CB2=BE2-CE2, .'.CB2+CE2=BE2, ∴△BCE为直角三角形，且∠C=90°. (2)4 18.有一边长为5的直角三角形的另外两条边长分别 为12,13或3,4 3.反证法 1.D2.B3.m≤n 4证明：假设∠B,∠C至少有一个不是锐角. AB=AC,∴∠B=∠C, .假设∠B,∠C都不是锐角， 即∠B,∠C为直角或钝角. ①当∠B,∠C都是直角时，∠B十∠C=180°， 与三角形内角和定理相矛盾； ②当∠B,∠C都是钝角时，∠B十∠C>180°， 与三角形内角和定理相矛盾. 综上，假设不成立，.∠B,∠C必为锐角. 5.A6.假设一个三角形中至少有两个内角是钝角 7.三角形中三个内角都小于60°三角形的内角和 是180° 8.③④①② 9.证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC. 在△ABP和△ACP中， .AB=AC,AP=AP,BP=CP, .△ABP≌△ACP(SSS),∴.∠APB=∠APC, 这与∠APB≠∠APC相矛盾，因而PB=PC不成立， ∴.PB≠PC. 13.2勾股定理的应用 第1课时勾股定理在现实生活中的应用 1.D2.c3.134.2/61m5.486.1.57.7m 8.C9.B10.511.9cm 12.(1)A(2)20(3)2368 第2课时勾股定理在数学中的应用 1.C2.直角三角形 3.解：(1)15m (2)证明：：CD=8m,AD=17m,AC=15m, .AD2=CD2十AC2, ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，∴AC⊥CD. 16·2.直角三月 A知识分点练 夯基础 知识点1勾股定理的逆定理 1.(教材P126练习T1变式)下列各组数中，不能作为 直角三角形的三边长的是 ( A.2,3,4 B.1,1,√2 C.1,√3,2 D.8,15,17 2.(教材P126练习T3变式)已知在△ABC中，a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C的对边，下列条件不能 判定△ABC是直角三角形的是 A.∠A:∠B:∠C=1:2:3 B.a2=(b+c)(b-c) C.∠A=2∠B=3∠C D.a:b:c=3:4:5 3.(教材P126练习T1变式)在△ABC中，AB=5, BC=12,CA=13,则下列说法正确的是( A.△ABC是锐角三角形 B.△ABC是直角三角形，且∠C=90° C.△ABC是直角三角形，且∠B=90° D.△ABC是钝角三角形 4.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且这三边 长满足(a一6)2+√b-10十|c一8=0，则 △ABC的形状是 5.已知一个三角形的三边长分别为8,15,17，则 这个三角形的面积是 6.(2025·宿迁宿城区期末)如图，已知等腰三角形 ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点，且 CD=4,BD=3,则AD的长为 角形的判定 7.如图，网格中每个小正方形的边长均为1， △ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点） 上.求证：△ABC为直角三角形 8.(2025·揭阳期中)如图，某村有一条笔直的公路 AB,水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方 便公路上的人用水，拟从C处铺设水管CD(可 穿过沼泽地)到公路上.已知AB=200m, AC=160m,BC=120m.求： (1)∠ACB的度数； (2)铺设水管的最短长度， 知识点2勾股数 9.下列各组数中，是勾股数的是 () A.1,2,3 B.5,12,13 C.0.3,0.4,0.5 D.4,6,8 10.有下列几组数：①9,12,15；②8,15,17；③7， 24,25;④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整 数)其中是勾股数的有 ) A.1组B.2组 C.3组 D.4组 11.若9,41，m是一组勾股数，则m的值 为 第13章勾殷定理95 B能力综合练 练思维 12.已知a,b,c是△ABC的三边长，则下列条件 不能判定△ABC是直角三角形的是() A.a=2,b=√5，c=3 B.∠A+∠B=∠C C.(a+b)2+(a-b)2=2c2 D.∠A:∠B:∠C=2:3:4 13.已知一个三角形的三边长分别为15cm, 20cm,25cm,则这个三角形最长边上的高是 cm. 14.已知一个三角形的三边长之比是5：12：13， 且周长是60，则它的面积是 15.如图，∠BAC=90°，AB=4,AC=4,BD=7, DC=9,则∠DBA= 16.(2025·徐州邳州期中)勾股定理最早出现在《周 髀算经》的“勾广三，股修四，经隅五”.观察下 列勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；….这类 勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差1.柏拉 图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股 数，如6,8,10；8,15,17；….若柏拉图研究的这 类勾股数的勾为12，则其弦是 17.(2025·南京金陵中学期中)如图，在△ABC中，边 AB的垂直平分线DE与AB,AC分别交于 点D,E,且CB2=AE2-CE2. (1)求证：∠C=90°； C 96一本·HDSD版初中数学八年级上册 (2)若AC=8,BC=6,求CE的长. C拓展探究练 提素养 18.[阅读材料]能够成为直角三角形三条边长的 三个正整数a,b,c,称为勾股数.世界上第一 次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著 1 a=2(m2-n2), 作《九章算术》，其公式为b=mn, c=2(m2+m2), 其中m≥n>0,m,n是互质的奇数. [应用]当n=1时，求有一边长为5的直角三 角形的另外两条边长 3.反 A知识分点练 夯基础、 知识点1反证法的概念及步骤 1.用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时， 第一步应假设这个等腰三角形的底角()》 A.大于90 B.等于90 C.小于90 D.大于或等于90 2.(教材P128例5变式)命题“在同一平面内，垂直于 同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证 明时，最终推出的结论与下列选项相矛盾的 是 () A.两点确定一条直线 B在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直 线只有一条 C.过直线外一点与已知直线平行的直线只有 一条 D,垂直的定义 3.(2025·泰州期中)运用反证法证明某个命题的结 论“m>n”时，第一步应先假设 知识点2利用反证法证明 4.请用反证法证明：等腰三角形的底角必为锐角。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B,∠C必为锐角. 证法 B能力综合练 练思维 5.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有 一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角 三角形中 () A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45 C.两个锐角都不大于45° D.两个锐角都等于45° 6.用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角 是钝角”的第一步是 7.(教材P129例6变式)用反证法证明“三角形中至 少有一个内角不小于60°时，假设“ ”, 这与“ ”矛盾，所以原命题正确。 8.小明在用反证法解答“已知在△ABC中，AB= AC,求证：∠B<90°”这道题时，写出了下面的 四个推理步骤：①又∠A>0°，.∠A十 ∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛 盾；②∴.∠B<90°；③假设∠B≥90°； ④AB=AC,∴.∠B=∠C,.∠C≥90°.请写 出这四个步骤正确的顺序： .(填序号) 9.(教材P133习题T6变式)如图，已知在△ABC中， AB=AC,∠APB≠∠APC,请用反证法证明： PB≠PC. 第13章勾殷定理97