专题02 整式及其加减（8清单+12常考题型+5易错+6方法）（期中知识清单）七年级数学上学期新教材华东师大版

专题02 整式及其加减（8知识&12题型&5易错&6方法清单） 【清单01】代数式 代数式的定义：用基本的运算符号（加，减，乘，除，乘方，开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 注意：1）代数式中不含有=，＜，＞，≠，≥，≤等表示相等或不等关系的符号. 2）单独的一个数或一个字母也是代数式. 3）代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号. 代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义. 【清单02】列代数式 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 代数式的书写要求： 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把带分数化为假分数. 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.反之，可直接写单位. 【清单03】代数式的值 定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，并按照代数式中的运算关系计算所得的结果，叫做代数式的值. 求代数式的值的步骤： 1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 【清单04】单项式的相关概念 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 注意：1）单独的一个数或一个字母也是单项式； 2）单项式中只含乘除运算，不含加减运算； 3）分母中含有字母的代数式不是单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 注意：1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； 2）[易错]圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 注意：1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏，例如：a； 2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关. 3）一个单项式的次数是几次就叫做几次单项式，如中a，b的指数的和为7，则它是七次单项式. 【清单05】多项式的相关概念 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 注意：1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； 2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 整式的定义：单项式与多项式统称为整式. 【清单06】同类项与合并同类项 同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 合并同类项的一般步骤： 1）准确找出同类项，当项数较多时，通常在同类项下面作上相同的标记； 2）利用加法交换律把同类项放在一起，在交换位置时，连同项的符号一起交换. 3）利用同类项法则合并同类项，写出合并后的结果. 【清单07】去括号法则 去括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反； （简记：去括号时“-”全变“+”不变） 【清单08】整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【知识解读】1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的最后结果中： ①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列. 【题型一】代数式的基础 1．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）在，0，π，，，，中，代数式的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）对代数式“”可以赋予实际意义：如果一天读书页，那么表示天读书的总页数．请你对代式“”赋予一个实际意义： ． 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）请你用实例解释下列代数式的意义： (1)； (2)． 【题型二】已知字母的值求代数式的值 5．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 6．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且，则的值为（    ） A．或5 B．或5 C．1或 D．1或 7．（20-21七年级上·江苏宿迁·期末）如果、的绝对值相等，且代数式的值为0，那么的值为 ． 8．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）已知当：时，代数式的值为7，则当时，代数式的值为 ． 【题型三】已知式子的值求代数式的值 9．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知，则的值等于(    ) A．1 B． C．4049 D． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知实数，，满足，则当时，多项式的值是（  ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则多项式的值为（　　） A． B． C．1 D．3 12．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知与互为相反数，与互为倒数，是位于数轴正半轴上且到原点距离为2的数，是最小的正整数．求的值． 【题型四】程序流程图与代数式求值 13．（24-25七年级上·青海西宁·期中）按如图所示的运算程序，当时输出的结果为（   ） A． B．6 C．5 D．7 14．（24-25七年级上·重庆·期中）按如图所示的运算程序，若输入m的值是2，则输出的结果是(   ) A． B．3 C． D．7 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，这是一个数值运算程序： (1)若输入的是，经历程序运算2次，求第2次输出的结果． (2)若输入的是，经历程序运算2025次，求第2025次输出的结果． 【题型五】利用多项式的概念求参数 16．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 17．（24-25七年级上·山东滨州·期末）已知关于x的多项式不含三次项和一次项，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 18．（24-25七年级上·天津·期末）已知关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是 ． 19．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）已知多项式，． (1)若A是二次二项式，则k的值为 ； (2)若k为最大的负整数时，化简． 【题型六】已知同类项求参数 20．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（   ） A．2 ，2 B．3 ，2 C．2 ，0 D．3 ，0 21．（24-25七年级上·广东东莞·期末）若单项式与的和为0，则 ． 22．（24-25七年级上·全国·期末）已知，则的值为 ． 23．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）先化简，再求值：已知与是同类项，求的值． 【题型七】整式的加减 24．（24-25七年级上·云南·期末）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如果多项式减去的差为，那么多项式为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·四川德阳·期中）化简： (1)； (2)． 27．（24-25七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． (3) (4)． 28．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【题型八】整式的化简求值 29．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：，其中x，y满足． 30．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，且． (1)求多项式C． (2)当时，求C的值． 31．（24-25七年级上·全国·期末）已知，． (1)若，的值等于 ； (2)当互为相反数时，的值恰好等于8，求m的值． 【题型九】带有字母的绝对值化简问题 32．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是(   ) A．1 B． C． D． 34．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 35．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)________，________，________； (2)化简：． 【题型十】与整式加减有关的新定义问题 36．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 37．（24-25七年级上·河南郑州·期中）我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求代数式的值． 38．（24-25七年级上·浙江台州·期末）在实数范围内定义运算“”： ，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求x的值． (3)若，求的值． 39．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）给出定义如下：对于有理数对，我们称使等式成立的一对有理数为“有趣数对”． 如：，，所以数对，都是“有趣数对” (1)有理数对和，其中是“有趣数对”的为______； (2)若是“有趣数对”，求x的值； (3)若是“有趣数对”，求的值． 【题型十一】数字类规律探索 40．（24-25七年级上·全国·期末）观察下列一组数：根据其中的排列规律，则第n个数应该是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 42．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式：，…．根据你发现的规律回答：的结果的个位数字是 ． 43．（24-25七年级上·全国·阶段练习）计算：． 【题型十二】图形类规律探索 44．（24-25七年级上·贵州·期末）下列图案是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（        ）． A． B． C． D． 45．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）如图所示的图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第① 个图形中一共有4个小圆圈，第② 个图形中一共有10个小圆圈，第③ 个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑩个图形中小圆圈的个数为（　　） A．136个 B．166个 C．196个 D．199个 46．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）观察下图，计算( )×( )=( )． 47．（24-25七年级上·北京·期中）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是_____； (2)第n个结构式的分子式是_____； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． (4)请你根据找到的规律再创造一个新的化合物． 【题型一】整式的识别 1．（24-25七年级上·海南海口·期中）下列各式中：，，，，，单项式有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．（24-25七年级上·全国·期末）下列叙述中不正确的个数是（　　） 不是单项式； 的系数是，次数是4；代数式三次四项式，其中二次项是； 不是整式，而是整式； 是单项式． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数是3，次数是3 B．单项式的系数是，次数是2 C．是二次多项式 D．多项式的常数项是3 4．（24-25七年级上·全国·期中）则下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是 B．多项式的次数是5 C．不是整式 D．多项式是五次二项式 5．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 【题型二】识别同类项 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列选项中的两个代数式，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．（24-25七年级上·北京·期中）下列各单项式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·北京房山·期末）写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①与是同类项；②系数和次数互为相反数．这个单项式是 ． 【题型三】去括号时符号处理错误 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列去括号正确的是：（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·山东济宁·期中）化简等于 ． 【题型四】合并同类项时计算错误 12．（24-25七年级上·全国·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型五】整体代入求值时忽略符号或漏乘 14．（24-25七年级上·山东聊城·期中）把看成一个整体，式子可以化简为 ． 15．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简． 解：原式， 参照本题阅读材料的做法进行解答： （1）若把看成一个整体，合并的结果是 ； （2）已知，，，求的值为 ． 17．（24-25七年级上·北京·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_________； (2)已知，求的值． 18．（24-25七年级上·吉林长春·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是________． (2)①已知，则________． ②已知当时，代数式的值为5，求当时，则代数式的值为________； (3)已知，，求代数式的值． 【题型一】整式加减的应用（无关型问题） 解题思路】若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值. 1．（24-25七年级上·北京·期中）已知，，且的值与y的值无关，求的值 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 3．（24-25七年级上·重庆江北·期末）已知，有7个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)当时，大长方形的面积为______，阴影图形的面积为______； (2)请说明阴影与阴影的周长的和与小长方形的边长的取值无关． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）已知多项式的值与字母的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当时，代数式的值10，求当时，代数式的值． 【题型二】整式加减的应用（不含型问题） 1．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知：关于，的多项式不含二次项，求的值． 2．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）已知多项式化简后不含项．回答下列问题： (1)求的值； (2)求代数式的值． 3．（24-25七年级上·山东德州·期中）已知关于的多项式，．其中，（，为有理数），若的结果不含项和项，求的值． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）多项式与多项式A的和为．式子不含一次项（t为常数）． (1)求多项式A． (2)求t的值． 【题型三】整式加减的应用（整除型问题） 【解题思路】判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）为了研究哪些三位数能被11整除，小安用由特殊到一般的思想进行研究，发现以下三位数能被11整除：121，253，374，385，… (1)请再写一个能被11整除的三位数：_______； (2)设是一个三位数，且a，c均为不大于5的整数．请探索当a，b，c满足什么数量关系时，这个三位数能被11整除？并说明理由． 2．（24-25七年级上·江西九江·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图1所示的数阵．如果用方框任意圈住四个数，如图2，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被 4 整除． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）三个连续正整数的和能被3整除吗？为什么？ 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）观察下列的规律：证明：因为，所以代数式能被5整除． 试证明：一个两位数，其十位数字为，个位数字为，其中一个新的两位数是这个两位数交换十位数字与个位数字的组成，试判断这个两位数与新的两位数字之差能被9整除． 【题型四】整式加减的应用（比较整式的大小问题） 【解题思路】多项式比较大小常用的方法为作差法.作差法实质上是把两个式子的大小比较转化为一个式子（或数）与0的大小比较. 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）我们规定一种新运算“”：对于任意有理数和，规定，如：． (1)求的值； (2)化简； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 2．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 3．（24-25七年级上·全国·期末）定义新运算“”与“”：． (1)计算的值． (2)若，，比较A和B的大小． 【题型五】整式加减的应用（错解问题） 【解题方法】整式加减中的解错问题是常考题之一，它是命题者根据常见的解题错误而编写的一类试题.这类题或给出抄写错误，或给出运算错误，要求求出正确的答案.解题时，要看清题中的说明，有的要求把正确的算式进行化简、计算，有的要求根据错误的算式求出正确的答案. 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 2．（24-25七年级上·吉林·单元测试）有一道题目“当，时，求多项式的值．”甲同学做题时把“”错抄成“”，乙同学没抄错，但他们做出的结果一样，你知道是怎么回事吗？ 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）小丽在求解一道数学题，已知两个多项式A，B，计算“”时，却将错写成，此时求得的结果是，其中，求多项式A． 【题型六】整式加减的应用（整式的加减与几何图形问题） 【解题方法】在几何图形问题中，整式加减的核心应用场景是用含字母的整式表示图形的边长、周长、面积、体积等数量关系，再通过整式的加减运算（去括号、合并同类项）求解未知量、比较大小或验证规律。 37．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示（单位：m）． (1)用含x的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，π取时，阴影部分的面积约是多少?(精确到0.1) 38．（24-25七年级上·河南许昌·期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的叠放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的长为，宽为，且，． (1)长方形的面积为__________（用含，的式子表示）； (2)求（用含，的式子表示）； (3)当，，求的值． 39．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某中学新校区有一块长为a米，宽为b米的长方形活动区域需要放置花坛，向全校同学征集花坛设计方案．如图是最终选出的两种方案（阴影部分为花坛），方案一中有3个半径为米的圆形花坛，方案二中花坛的总面积是方案一中花坛总面积的．    (1)请分别求出这两种方案中空地的面积； (2)方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大多少平方米？ 40．（2025七年级下·全国·专题练习）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）若代数式的值为10，求代数式的值． （3）当时，的值为9，当时，求代数式的值． 【拓展探索】 （4）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式及其加减（8知识&12题型&5易错&6方法清单） 【清单01】代数式 代数式的定义：用基本的运算符号（加，减，乘，除，乘方，开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 注意：1）代数式中不含有=，＜，＞，≠，≥，≤等表示相等或不等关系的符号. 2）单独的一个数或一个字母也是代数式. 3）代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号. 代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义. 【清单02】列代数式 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 代数式的书写要求： 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把带分数化为假分数. 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.反之，可直接写单位. 【清单03】代数式的值 定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，并按照代数式中的运算关系计算所得的结果，叫做代数式的值. 求代数式的值的步骤： 1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 【清单04】单项式的相关概念 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 注意：1）单独的一个数或一个字母也是单项式； 2）单项式中只含乘除运算，不含加减运算； 3）分母中含有字母的代数式不是单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 注意：1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； 2）[易错]圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 注意：1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏，例如：a； 2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关. 3）一个单项式的次数是几次就叫做几次单项式，如中a，b的指数的和为7，则它是七次单项式. 【清单05】多项式的相关概念 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 注意：1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； 2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 整式的定义：单项式与多项式统称为整式. 【清单06】同类项与合并同类项 同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 合并同类项的一般步骤： 1）准确找出同类项，当项数较多时，通常在同类项下面作上相同的标记； 2）利用加法交换律把同类项放在一起，在交换位置时，连同项的符号一起交换. 3）利用同类项法则合并同类项，写出合并后的结果. 【清单07】去括号法则 去括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反； （简记：去括号时“-”全变“+”不变） 【清单08】整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【知识解读】1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的最后结果中： ①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列. 【题型一】代数式的基础 1．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序． 根据代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略． 【详解】解：代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．故A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 2．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）在，0，π，，，，中，代数式的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的概念．代数式即用运算符号把数与字母连接起来的式子，根据这一概念逐个进行判定即可． 【详解】解：在，0，π，，，，中， 代数式有：0，π，，，，，共6个， 故选：C． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）对代数式“”可以赋予实际意义：如果一天读书页，那么表示天读书的总页数．请你对代式“”赋予一个实际意义： ． 【答案】已知一支钢笔元，一块橡皮擦元，购买支钢笔和块橡皮擦共计元（答案不唯一，合理即可）． 【分析】本题主要考查了代数式的实际意义，理解代数式的特点是解题关键． 根据代数式写成符合式子的实际意义，合理即可． 【详解】解：已知一支钢笔元，一块橡皮擦元，购买支钢笔和块橡皮擦共计元． 故答案为：已知一支钢笔元，一块橡皮擦元，购买支钢笔和块橡皮擦共计元（答案不唯一，合理即可）． 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）请你用实例解释下列代数式的意义： (1)； (2)． 【答案】(1)一个笔记本5元，一支钢笔10元，购买a本笔记本和b支钢笔需要多少钱？ (2)衣服刚开始每件售价x元， 后面每件售价下降，现在每件售价多少元？ 【分析】本题考查了代数式的实际意义． （1）根据代数式的表达，可得代数式现实的意义； （2）根据代数式表示，赋予实际意义即可． 【详解】（1）解：一个笔记本5元，一支钢笔10元，购买a本笔记本和b支钢笔需要多少钱？（答案不唯一） （2）解：衣服刚开始每件售价x元， 后面每件售价下降，现在每件售价多少元？（答案不唯一） 【题型二】已知字母的值求代数式的值 5．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 6．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且，则的值为（    ） A．或5 B．或5 C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】此题考查的是绝对值的意义、乘方的意义、乘法法则和代数式求值，掌握绝对值的意义、乘方的意义、乘法法则是解决此题的关键． 根据绝对值和有理数的乘方求出，的值，根据，得到，异号，分两种情况分别计算即可． 【详解】解：∵，， ，， ， ，异号， 当，时，； 当，时，． 综上所述，的值为1或． 故选：D． 7．（20-21七年级上·江苏宿迁·期末）如果、的绝对值相等，且代数式的值为0，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了根据绝对值的定义和代数式求值，解题的关键是分情况讨论和两种可能性． 根据、绝对值相等，分和两种情况，代入代数式，分别求解的值． 【详解】因为、的绝对值相等， 所以或． 当时，将代入，得 ， 即， 解得． 当时，将代入，得 ， 即， 解得． 所以的值为或． 8．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）已知当：时，代数式的值为7，则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值问题，在解题时要根据题意找出数量关系是解题的关键． 本题需先把代入代数式得出的值来，再把和代入代数式，即可求出答案． 【详解】解：时，代数式， ∴； 当时，代数式 将代入上式得， ， 故答案为：． 【题型三】已知式子的值求代数式的值 9．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知，则的值等于(    ) A．1 B． C．4049 D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质；根据绝对值与偶次幂的非负性，求得，，代入计算，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知实数，，满足，则当时，多项式的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求代数式的值，将代入可得到，再将已知整体代入计算即可．利用整体代入的思想解决问题是解题的关键．也考查了有理数的乘方． 【详解】解：当时， ， ∵， ∴， 即当时，多项式的值是． 故选：D． 11．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则多项式的值为（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数、倒数的意义、代数式求值等知识点，由相反数、倒数的定义得到是解题的关键． 利用相反数、倒数的定义求出的值，再对所求多项式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数， ∴， ∴． 故选：B． 12．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知与互为相反数，与互为倒数，是位于数轴正半轴上且到原点距离为2的数，是最小的正整数．求的值． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，有理数的分类，得到，，，，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得，，，，， ． 所以的值是4． 【题型四】程序流程图与代数式求值 13．（24-25七年级上·青海西宁·期中）按如图所示的运算程序，当时输出的结果为（   ） A． B．6 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，根据可得输出结果为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故选：D． 14．（24-25七年级上·重庆·期中）按如图所示的运算程序，若输入m的值是2，则输出的结果是(   ) A． B．3 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，理解题意掌握代数式求值的方法是解题的关键．根据题意，再将代入中即可求解． 【详解】解：， 将代入中得： ， 故选：B． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，这是一个数值运算程序： (1)若输入的是，经历程序运算2次，求第2次输出的结果． (2)若输入的是，经历程序运算2025次，求第2025次输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，求代数式的值，数字类规律探索，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）根据题意列式计算得出规律运算每次一个循环，即可得解． 【详解】（1）解：若输入的是，运算次后结果为， 运算次后结果为，即第2次输出的结果为； （2）解：若输入的是， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， …， 故运算每次一个循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为． 【题型五】利用多项式的概念求参数 16．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数和项数定义，根据三次三项式的定义，多项式需满足最高次数为3且共有三个项。通过分析各项的次数及存在性，确定有理数m的值，进而求出常数项． 【详解】解：∵多项式是三次三项式， ∴且， ∴且， 解得：． ∴该多项式的常数项为． 故选：B． 17．（24-25七年级上·山东滨州·期末）已知关于x的多项式不含三次项和一次项，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项和次数．根据题意可知三次项和一次项的系数为，，，据此求出a与b的值，再代入进行解题即可． 【详解】解：∵多项式不含三次项和一次项， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B 18．（24-25七年级上·天津·期末）已知关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，理解多项式次数和项数的概念，掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．根据多项式的项数和次数的概念列方程求得m和n的值，从而代入求值． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴，， ∴， ∴ ∴这个多项式为， ∴当时，原式， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）已知多项式，． (1)若A是二次二项式，则k的值为 ； (2)若k为最大的负整数时，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减、多项式的次数等知识． （1）根据题意得到，即可求出； （2）k为最大的负整数时，得到，即可得到，再计算即可． 【详解】（1）解：∵是二次二项式， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵k为最大的负整数时， ∴ ∴，， ∴ 【题型六】已知同类项求参数 20．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（   ） A．2 ，2 B．3 ，2 C．2 ，0 D．3 ，0 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项及同类项的定义，如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．根据同类项的定义得出关于m，n的方程，计算求出m，n即可． 【详解】解：∵单项式与可以合并同类项， ∴． ∴． 故选：A． 21．（24-25七年级上·广东东莞·期末）若单项式与的和为0，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查同类项、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 22．（24-25七年级上·全国·期末）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查同类项定义及合并同类项．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键．由题意得：和是同类项，根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，进行求解即可． 【详解】解：， ∴和是同类项， ∴， 故答案为：2． 23．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）先化简，再求值：已知与是同类项，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟知同类项的定义是解答的关键．先根据整式的加运算法则化简原式，再根据同类项的定义求得a、b值，然后代值求解即可． 【详解】解： ， ∵与是同类项， ∴， 解得，， 原式 ． 【题型七】整式的加减 24．（24-25七年级上·云南·期末）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项．熟练掌握合并同类项是解题的关键． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所加的结果作为系数，字母和指数不变．根据合并同类项的法则对每个选项进行分析即可判断． 【详解】解： A．，并非，故该选项错误； B．和指数不同，无法合并同类项，故该选项错误； C．，符合合并同类项的法则，故该选项正确； D．，指数不同，无法合并同类项，故该选项错误； 故选：C． 25．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如果多项式减去的差为，那么多项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的加减，根据题意可得到，利用整式的加减运算的法则进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 26．（24-25七年级上·四川德阳·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据合并同类项法则合并同类项即可； （）去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．（24-25七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； （3）去括号，合并同类项即可； （4）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 28．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，正确计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 【题型八】整式的化简求值 29．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减——化简求值，偶次方以及绝对值的非负性，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键．根据整式的加减运算法则将原式化简，然后根据非负性得出的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵x，y满足， ∴且， ∴，， ∴原式． 30．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，且． (1)求多项式C． (2)当时，求C的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算—化简求值： （1）先把变形为，再把代入，然后化简即可； （2）把代入（1）中的结果，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：当时， ． 31．（24-25七年级上·全国·期末）已知，． (1)若，的值等于 ； (2)当互为相反数时，的值恰好等于8，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值、相反数、绝对值的非负性等知识，熟练掌握整式加减的运算法则是解题关键． （1）将，代入，计算整式的加减法化简，再根据绝对值和偶次方的非负性求出的值，代入计算即可得； （2）先根据相反数的定义可得，则可得，代入可得的值，然后根据的值恰好等于8求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵互为相反数， ∴，即， 由（1）已得：， ∴， ∵的值恰好等于8， ∴， ∴． 【题型九】带有字母的绝对值化简问题 32．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值，整式的加减运算；由数轴上，，对应的点可得，，，即可得出，，再根据绝对值的性质进行化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ，， 则，， ． 故选：C． 33．（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是(   ) A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，绝对值以及整式的加减，理解数轴表示数的意义以及绝对值、合并同类项的法则是正确解答的关键．根据，两数在数轴上的位置，判断代数式，，的符号，再根据绝对值的意义计算即可． 【详解】解：由，两数在数轴上的位置，可知，，，且， ，，， ， 故选：B． 34．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查数轴，化简绝对值，整式的加减．根据数轴上点的位置判断出绝对值里的式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为： 35．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)________，________，________； (2)化简：． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了根据数轴判断式子的正负，化简含绝对值的代数式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据数轴判断出，，的正负即可； （）根据绝对值的性质化简，然后进行合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由（）得，，， ∴ ． 【题型十】与整式加减有关的新定义问题 36．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减混合运算．掌握新定义运算法则是解题关键． （1）根据新定义运算法则结合有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则结合整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（24-25七年级上·河南郑州·期中）我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求代数式的值． 【答案】(1)①③ (2)24 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值； （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴数对是“和积等数对”， ∵， ∴不是“和积等数对”， ∵， ∴数对是“和积等数对”， 故答案为：①③； （2）解： ， ∵是“和积等数对” ∴， ∴原式 ． 38．（24-25七年级上·浙江台州·期末）在实数范围内定义运算“”： ，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求x的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算、整式加减的化简求值和解一元一次方程，解题关键是理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，把，的值代入进行计算即可； （2）根据已知条件中的新定义得到关于的方程，解方程求出即可； （3）根据已知条件中的新定义把所求式子进行化简，并化成含有的形式，最后把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：（1），，， ； （2）解：，， ， ， ， ， ； （3）解：，， ． 39．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）给出定义如下：对于有理数对，我们称使等式成立的一对有理数为“有趣数对”． 如：，，所以数对，都是“有趣数对” (1)有理数对和，其中是“有趣数对”的为______； (2)若是“有趣数对”，求x的值； (3)若是“有趣数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，整式的加减运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“有趣数对”的定义进行分析，即可作答． （2）根据“有趣数对”的定义列出方程，得，解得，即可作答． （3）根据是“有趣数对”，得出，整理，即可作答． 【详解】（1）解： ，， 有理数对不是“有趣数对”； ，， 有理数对是“有趣数对”； 故答案为：； （2）解：是“有趣数对”， ， 解得； （3）解：是“有趣数对”， ， ． 【题型十一】数字类规律探索 40．（24-25七年级上·全国·期末）观察下列一组数：根据其中的排列规律，则第n个数应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出分子、分母的规律． 本题分别归纳出该组数字分子、分母的规律，进行作答，即可求解． 【详解】解：∵第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， ……， ∴第个数是， 故选：B； 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律的探索．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第3、4个数字为下面的两个数的积； 第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ∵， ∴该校的密码a是324880； 故选D． 42．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式：，…．根据你发现的规律回答：的结果的个位数字是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查尾数的特征，正确得出数字变化规律是解题关键． 根据前6个数的个位数字，寻找规律，利用周期性规律进行求解即可． 【详解】解：根据结果个位数的规律可知，个位数具有周期规律，周期为4， ∴， ∴的结果的个位数字是3． 43．（24-25七年级上·全国·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是找出计算方法． 首先找出计算方法：，，，以此类推可得，然后再提出2，进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推得： 原式， ， ， ． 【题型十二】图形类规律探索 44．（24-25七年级上·贵州·期末）下列图案是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（        ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．观察图形可知第一个图案为个窗花；第二个图案为个窗花；第三个图案为个窗花；……由此得到：第n个图案所贴窗花数，即可求解． 【详解】解：第一个图案为个窗花； 第二个图案为个窗花； 第三个图案为个窗花； …… 由此得到：第n个图案所贴窗花数为个． 故选：D． 45．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）如图所示的图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第① 个图形中一共有4个小圆圈，第② 个图形中一共有10个小圆圈，第③ 个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑩个图形中小圆圈的个数为（　　） A．136个 B．166个 C．196个 D．199个 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律． 【详解】解：观察图形可知： 第①个图形中一共有4个小圆圈，即； 第②个图形中一共有10个小圆圈，即； 第③个图形中一共有19个小圆圈，即； ， 按此规律排列下去， 第个图形中小圆圈的个数为： ； 所以第⑩个图形中小圆圈的个数为： ． 故选：B． 46．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）观察下图，计算( )×( )=( )． 【答案】 【分析】此题考查了规律题，将算式中的平方转化成图形的面积计算，几个正方形的面积之和等于拼成的大长方形的面积，由此规律即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ， ， ， 故答案为： 47．（24-25七年级上·北京·期中）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是_____； (2)第n个结构式的分子式是_____； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． (4)请你根据找到的规律再创造一个新的化合物． 【答案】(1) (2) (3)分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物 (4)（答案不唯一） 【分析】本题考查了图形规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律是解题的关键． （1）由图可知：第n个结构式中有n个C和个H，分子式是，据此即可求解； （2）由（1）中的结论即可求解； （3）令，计算即可判断； （4）按照（2）的规律写出一个新的化合物即可． 【详解】（1）解：由图可知：第n个结构式中有n个C和个H，分子式是； ∴第6个结构式的分子式是， （2）由(1)可知:第n个结构式的分子式是， 故答案为: ； （3）令，， ∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物． （4）（答案不唯一）． 【题型一】整式的识别 1．（24-25七年级上·海南海口·期中）下列各式中：，，，，，单项式有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的定义判断即可求解，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ，中，单项式有，，，共3个， 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）下列叙述中不正确的个数是（　　） 不是单项式； 的系数是，次数是4；代数式三次四项式，其中二次项是； 不是整式，而是整式； 是单项式． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式及多项式．利用单项式及多项式的定义判断即可． 【详解】解： 是单项式，原来的说法不正确，符合题意； 的系数是π，次数是3，原来的说法不正确，符合题意； 代数式是三次三项式，原来的说法不正确，符合题意； 不是整式，而是整式，说法正确，不符合题意； 是单项式，说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数是3，次数是3 B．单项式的系数是，次数是2 C．是二次多项式 D．多项式的常数项是3 【答案】C 【分析】此题考查了单项式、多项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式、多项式的知识，逐选项进行判断，然后即可求解； 【详解】解：单项式的系数是，次数是3，A选项错误； 单项式的系数是，次数是2，B选项错误； 是二次多项式，C选项正确； 多项式的常数项是，D选项错误． 故选：C． 4．（24-25七年级上·全国·期中）则下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是 B．多项式的次数是5 C．不是整式 D．多项式是五次二项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的次数和系数，单项式的系数，根据单项式和多项式的定义解答即可. 【详解】解：因为的系数为，所以A不正确； 因为多项式的次数是次，所以B正确； 因为是多项式，所以C不正确； 因为多项式是三次二项式，所以D不正确. 故选：B. 5．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 【答案】①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式与多项式统称整式，据此求解即可． 【详解】解：单项式：（①②⑦⑨）； 多项式：（③④⑤⑧）； 整式：（①②③④⑤⑦⑧⑨）． 故答案为：①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨． 【题型二】识别同类项 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列选项中的两个代数式，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的判断，解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，注意：两个单独的数是同类项． 【详解】解：A．与是同类项，故此选项不符合题意； B．与是同类项，故此选项不符合题意； C．与是同类项，故此选项不符合题意； D．与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项符合题意． 故选：D． 7．（24-25七年级上·北京·期中）下列各单项式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，逐一判断即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：、所含字母的指数不相同，不是同类项，该选项不合题意； 、所含字母的不相同，不是同类项，该选项不合题意； 、所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，该选项符合题意； 、所含字母的指数不相同，不是同类项，该选项不合题意； 故选：． 8．（24-25七年级上·北京房山·期末）写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①与是同类项；②系数和次数互为相反数．这个单项式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同类项，单项式，相反数．根据同类项的定义、单项式的系数、次数的定义解答即可． 【详解】解：满足条件的单项式是， 故答案为：． 【题型三】去括号时符号处理错误 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号法则的应用，能熟记去括号法则是解此题的关键．根据去括号法则逐个进行判断即可． 【详解】A、，但选项写为，错误，不符合题意； B、，但选项结果为，符号错误，不符合题意； C、，但选项写为，系数缺失，错误，不符合题意； D、，与选项一致，正确，符合题意； 故选：D． 10．（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列去括号正确的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式加减运算中的去括号，需根据去括号法则逐一验证各选项．括号前为“+”时，直接去掉括号且符号不变；括号前为“−”或系数为负数时，需改变括号内各项的符号． 【详解】解：选项A：，与选项一致，正确． 选项B：，但选项写为，符号错误，故错误． 选项C：．选项写为，符号错误，故错误． 选项D：，但选项写为，符号错误，故错误． 故选：A． 11．（24-25七年级上·山东济宁·期中）化简等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减、去括号法则．熟记去括号法则和熟练运用合并同类项的法则是解题的关键． 先按照去括号法则去掉整式中的括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【题型四】合并同类项时计算错误 12．（24-25七年级上·全国·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 13．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选A． 【题型五】整体代入求值时忽略符号或漏乘 14．（24-25七年级上·山东聊城·期中）把看成一个整体，式子可以化简为 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．把把看成一个整体合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并后，将已知等式整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 故选：B． 16．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简． 解：原式， 参照本题阅读材料的做法进行解答： （1）若把看成一个整体，合并的结果是 ； （2）已知，，，求的值为 ． 【答案】 / 6 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）把看成一个整体，然后利用合并同类项法则进行化简即可； （2）先利用已知条件，得到，，即，再把它们的值整体代入计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），，， ，即，，即， 则 ． 故答案为：6． 17．（24-25七年级上·北京·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_________； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，代数式求值，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． （1）把看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可； （2）把变形，得到，再根据整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则 ； 故答案为：； （2）∵， ∴原式． 18．（24-25七年级上·吉林长春·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是________． (2)①已知，则________． ②已知当时，代数式的值为5，求当时，则代数式的值为________； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①2026；②2 (3) 【分析】本题考查了整式的运算，整体代入是解答本题的关键． （1）把看成一个整体，提取公因式进行化简即可； （2）①将式子化为，然后代入求解即可；②先将代入代数式求出，再将代入代数式化为然后代入求解即可； （3）将代数式化为代入求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）①， ， 故答案为：2026； ②时， ， ， 当时， ， 故答案为：2； （3），， ． 【题型一】整式加减的应用（无关型问题） 解题思路】若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值. 1．（24-25七年级上·北京·期中）已知，，且的值与y的值无关，求的值 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据整式的加减法则计算，进而得到含y的项的系数为0，即可求解． 【详解】解： ， ∵的值与y的值无关， ∴，， ∴，． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式加减的实质是去括号、合并同类项是解答此题的关键． （1）根据列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据 列出代数式，去括号合并同类项求出结果，再根据的值与x的取值无关，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ； （2） ， 的值与x的取值无关， ， 3．（24-25七年级上·重庆江北·期末）已知，有7个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)当时，大长方形的面积为______，阴影图形的面积为______； (2)请说明阴影与阴影的周长的和与小长方形的边长的取值无关． 【答案】(1)，； (2)见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （）求出长方形的长，然后利用长乘以宽求出面积即可，再求解阴影图形的长与宽，再计算面积即可； （）求出阴影的周长，再求出周长和即可说明； 【详解】（1）解：当，时，大长方形的长为， ∴大长方形的面积为， 阴影图形的面积为：； （2）证明：阴影的周长为， 阴影的周长为， ∴阴影与阴影的周长的和为： ， ∴阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）已知多项式的值与字母的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当时，代数式的值10，求当时，代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值： （1）先去括号，然后合并同类项计算出多项式的化简结果，再根据多项式的值与字母的取值无关，得到，，即可求解； （2）代入得到，当时，整体代入即可． 【详解】（1）解：原式 ； 因为多项式的值与字母的取值无关，所以，， 则，； （2）解：当时，原式， ， 当时，原式． 【题型二】整式加减的应用（不含型问题） 1．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知：关于，的多项式不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减是解题的关键．先对多项式进行合并同类项，然后再根据不含二次项可求解a、b的值，进而代入求解即可． 【详解】解： ， ∵不含二次项， ∴，， ∴，， ∴． 2．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）已知多项式化简后不含项．回答下列问题： (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了整式的加减中和无关型，代数式求值，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）先化简，再根据不含项，即项的系数为0，得关于m的方程，求解即可； （2）把m的值代入多项式计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵不含项， ∴， ∴． （2）解：当时， ． 3．（24-25七年级上·山东德州·期中）已知关于的多项式，．其中，（，为有理数），若的结果不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算以及不含某项的问题，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据整式的减法运算法则求出，然后根据的结果不含x项和项，令x项和项的系数为零列出方程求解即可． 【详解】解： ， ∵的结果不含x项和项， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）多项式与多项式A的和为．式子不含一次项（t为常数）． (1)求多项式A． (2)求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． （1）根据题意列出算式即可求出答案； （2）令多项式中含有x的一次项系数之和为零即可求出t的值． 【详解】（1）解： ； （2）， ∵不含一次项， ∴， ∴． 【题型三】整式加减的应用（整除型问题） 【解题思路】判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）为了研究哪些三位数能被11整除，小安用由特殊到一般的思想进行研究，发现以下三位数能被11整除：121，253，374，385，… (1)请再写一个能被11整除的三位数：_______； (2)设是一个三位数，且a，c均为不大于5的整数．请探索当a，b，c满足什么数量关系时，这个三位数能被11整除？并说明理由． 【答案】(1)132；（答案不唯一） (2)当时，能被11整除，见解析 【分析】本题主要考查了数字规律、整式的四则混合运算等知识点，理解题意、归纳规律成为解题的关键． （1）根据题意模仿写出符合条件的数字即可； （2）根据题意可得并进行推导即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，当三位数中百位数字与个位数字的和等于十位数字时能被11整除的规律可得，如：121符合条件（答案不唯一）． 故答案为：121（答案不唯一）． （2）解：当时，能被11整除，理由如下： ∵ ∴能被11整除， ∴当时，能被11整除． 2．（24-25七年级上·江西九江·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图1所示的数阵．如果用方框任意圈住四个数，如图2，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被 4 整除． 【答案】这四个数的和为，能被4整除，理由见解析 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，整式的加减，用含a的代数式表示方框中四个数，然后求和即可解决问题． 【详解】解：方框中的四个数分别为，，，， 这四个数的和为： 为整数 这个和能被4整除． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）三个连续正整数的和能被3整除吗？为什么？ 【答案】三个连续正整数的和能被3整除．理由见解析 【分析】本题主要考查整式的运算，可以把三个连续正整数用含有字母的式子表示出来，计算出它们的和，判断能否被3整除． 【详解】解：三个连续正整数的和能被3整除．理由如下： 设三个连续正整数为：， 它们的和为：， ， 即三个连续正整数的和能被3整除． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）观察下列的规律：证明：因为，所以代数式能被5整除． 试证明：一个两位数，其十位数字为，个位数字为，其中一个新的两位数是这个两位数交换十位数字与个位数字的组成，试判断这个两位数与新的两位数字之差能被9整除． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先用代数式将这个两位数和新的两位数表示出来，再根据整式的加减求出它们之差，由此即可得证． 【详解】证明：由题意得：这个两位数为，新的两位数为， 则这个两位数与新的两位数之差为 ， 所以这个两位数与新的两位数字之差能被9整除． 【题型四】整式加减的应用（比较整式的大小问题） 【解题思路】多项式比较大小常用的方法为作差法.作差法实质上是把两个式子的大小比较转化为一个式子（或数）与0的大小比较. 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）我们规定一种新运算“”：对于任意有理数和，规定，如：． (1)求的值； (2)化简； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减运算； （1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可； （2）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可； （3）对，进行化简，再计算比较即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； ， ∴． 2．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 【答案】(1)，， (2) (3)60 【分析】本题考查了整式化简求值，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答． （2）根据，，列式，再结合，即可作答． （3）根据，，列式由（1）得，再把，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）解：由（1）得，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）得，， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴图1与图2中长方形的周长之和为60． 故答案为：60． 3．（24-25七年级上·全国·期末）定义新运算“”与“”：． (1)计算的值． (2)若，，比较A和B的大小． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，有理数的混合运算等知识点， (1)原式利用题中的新定义计算即可得到结果； 和利用题中的新定义化简，判断即可； 熟练掌握题中的新定义的含义进行计算是解决此题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知： ； （2）解：， ， ， ． 【题型五】整式加减的应用（错解问题） 【解题方法】整式加减中的解错问题是常考题之一，它是命题者根据常见的解题错误而编写的一类试题.这类题或给出抄写错误，或给出运算错误，要求求出正确的答案.解题时，要看清题中的说明，有的要求把正确的算式进行化简、计算，有的要求根据错误的算式求出正确的答案. 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算： （1）先把原式去括号，然后合并同类项化简得到，再根据绝对值相同的两个数的平方的结果相等即可得到结论； （2）先根据题意求出，再计算出即可． 【详解】解：（1） ， ∵a取正负2时，的结果相等，b取正负1时，的结果相等， ∴把，错看成“，”，最后计算的结果相同，都是正确的； （2）由题意得，， ∴ ， ∴ ． 2．（24-25七年级上·吉林·单元测试）有一道题目“当，时，求多项式的值．”甲同学做题时把“”错抄成“”，乙同学没抄错，但他们做出的结果一样，你知道是怎么回事吗？ 【答案】见解析 【分析】根据整式的化简，先去括号，合并同类项，化简后，通过结果中没有a可知结果与a的值无关，即可求解． 本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 【详解】解： ， 可知此多项式化简后不含字母， 即这道题的结果与的取值无关， 因此甲、乙两名同学做出的结果是一样的． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）小丽在求解一道数学题，已知两个多项式A，B，计算“”时，却将错写成，此时求得的结果是，其中，求多项式A． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 根据=，计算出多项式A． 【详解】解：由题意可得=， ∵， ∴ ． 【题型六】整式加减的应用（整式的加减与几何图形问题） 【解题方法】在几何图形问题中，整式加减的核心应用场景是用含字母的整式表示图形的边长、周长、面积、体积等数量关系，再通过整式的加减运算（去括号、合并同类项）求解未知量、比较大小或验证规律。 37．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示（单位：m）． (1)用含x的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，π取时，阴影部分的面积约是多少?(精确到0.1) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值、圆的面积公式等知识，正确地列出代数式是正确解答的前提． （1）根据阴影部分与其它部分面积之间的关系列出代数式即可； （2）代入数值计算即可． 【详解】（1）解：由图形中各个部分面积之间的关系，得 ． （2）当，取时， ． 38．（24-25七年级上·河南许昌·期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的叠放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的长为，宽为，且，． (1)长方形的面积为__________（用含，的式子表示）； (2)求（用含，的式子表示）； (3)当，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减运算以及代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先用含a和b的式子表示出长，然后求得矩形的面积； （2）根据长方形的面积公式列式，然后再去括号，合并同类项进行化简； （3）将，代入（2）的式子即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：当，时， ． 39．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某中学新校区有一块长为a米，宽为b米的长方形活动区域需要放置花坛，向全校同学征集花坛设计方案．如图是最终选出的两种方案（阴影部分为花坛），方案一中有3个半径为米的圆形花坛，方案二中花坛的总面积是方案一中花坛总面积的．    (1)请分别求出这两种方案中空地的面积； (2)方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大多少平方米？ 【答案】(1)方案一中的空地面积是平方米，方案二中的空地面积是平方米 (2)方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大平方米 【分析】本题主要考查了列代数式和整式加减运算的应用，正确运用整式运算法则是解题关键． （1）方案一中的空地面积为长方形面积减去3个圆的面积，方案二中的空地面积是方案一中花坛总面积的，再利用长方形面积公式以及半圆面积求法用字母表示出来即可； （2）根据（1）中的结果，由题意列式整理即可． 【详解】（1）解：已知长方形的长为米，宽为米， 则长方形面积为平方米， 且方案一中有3个半径为米的圆形花坛， 方案一中的空地面积是平方米， 又方案二中花坛的总面积是方案一中花坛总面积的， 方案二中的空地面积是平方米． （2）解：， 方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大平方米． 40．（2025七年级下·全国·专题练习）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）若代数式的值为10，求代数式的值． （3）当时，的值为9，当时，求代数式的值． 【拓展探索】 （4）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 【答案】（1）9；（2）；（3）6；（4）128 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减应用，解决本题的关键是运用整体代入思想． （1）将，整体代入计算即可； （2）由题意得，再将代数式变形为，再整体代入计算即可； （3）根据题意得，故当时，代数式为，变形为，再整体代入计算即可； （4）设大正方形边长为x，四个相同的小正方形边长为y，根据，有，解得，再列式计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）由题意得， ∴， ∴ ； ∴代数式的值为； （3）∵当时，的值为9， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； （4）设大正方形边长为x，四个相同的小正方形边长为y，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图②中的阴影部分面积为128． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $