专题02 二次函数综合19题型（期中专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题02 二次函数综合 题型1线段最值问题（常考点） 题型11等腰三角形存在性问题（常考点） 题型2线段存在倍数关系（或等线段）问题（重点） 题型12直角三角形存在性问题（难点） 题型3二次函数与倍角问题（难点） 题型13等腰直角三角形存在性问题（难点） 题型4线段和最小问题（常考点） 题型14相似/全等三角形存在性问题（常考点） 题型5线段和最小问题（重点） 题型15平行四边形存在性问题（常考点） 题型6线段差最大（或最小）问题 题型16矩形存在性问题（难点） 题型7周长最值问题（常考点） 题型17菱形存在性问题（难点） 题型8面积最值问题（常考点） 题型18正方形存在性问题（难点） 题型9建桥选址问题（重点） 题型19其它存在性问题（难点） 题型10角度存在性问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 线段最值问题（共3小题） 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交BC于点E． (1)若，求点D的坐标； (2)求的最大值． 2．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 题型二 线段存在倍数关系（或等线段）问题（共3小题） 4．（浙江省杭州市2024－2025学年九年级上学期期末独立作业数学试卷）如图，抛物线交x轴于两点，过y轴正半轴上一点C作x轴的平行线交该抛物线于D，E两点（点D在左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若，求点E的坐标． 5．（2023年浙江省温州市第二十三中学中考三模数学试题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B，与y轴交于点．轴交抛物线于点D．    (1)求b，c的值． (2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交于点F，G，且，求点E的坐标． 6．（浙江省杭州市西湖区公益中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，与直线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是轴上的点，且，求点的坐标． 题型三 二次函数与倍角问题（共3小题） 7．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 8．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 9．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为抛物线上任意一点，过点作轴于点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，当点在第二象限时，求面积的最大值； (3)是否存在这样的点，使得？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型四 线段和最小问题（共3小题） 10．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标； (2)根据图象回答：当取何值时，与？ (3)在该抛物线的对称轴上有一动点，连接和．试问：是否存在的最小值？如有，求出点的坐标． 11．（2025·江西新余·模拟预测）抛物线 与y轴相交于点 与x轴相交于点 、，点 D 是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上有一点 P，求出使的值最小时点 P 的坐标，并求出此时 的最小值； (3)在（2）的条件下，在第四象限中的抛物线上是否存在一点 E，过点E作轴 交x轴于点 F，使 与 相似？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2025·重庆开州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； (3)将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 题型五 线段差最大（或最小）问题（共3小题） 13．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 14．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 15．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 题型六 周长最值问题（共3小题） 16．（22-23九年级上·河南漯河·阶段练习）如图①，抛物线与x轴交与、两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段长度的最大值： 17．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)在对称轴上是否存在一点P，使得周长最小，若存在则求出P点坐标，若不存在请说明理由． (2)在直线下方的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 题型七 面积最值问题（共3小题） 19．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 20．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 21．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时x的值； (3)如图2，在抛物线上是否存在一点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在请说明理由． 题型八 建桥选址问题（共2小题） 22．（2025·重庆开州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当有最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点是新抛物线上的一点，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标． 23．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接．当有最大值时，求的最小值； (3)如图2，在轴上取点，将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与轴交于点，交轴于点点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 题型十 角度存在性问题（共3小题） 24．（2025九年级上·浙江·专题练习）抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 25．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的面积与的面积相等时，求点P的坐标； (3)是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 26．（22-23九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标； (3)对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十一 等腰三角形存在性问题（共2小题） 27．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知点在抛物线上． (1)求m的值； (2)在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 题型十二 直角三角形存在性问题（共2小题） 29．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 30．（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点P作垂直y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接，当线段的长度最短时，求出点P的坐标． 题型十三 等腰直角三角形存在性问题（共2小题） 31．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 32．（2023·四川广安·二模）如图①，已知抛物线的图象经过点、，其对称轴为直线，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当m为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由． 题型十四 相似/全等三角形存在性问题（共2小题） 33．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于，的两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点的坐标； (2)是否存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B两点，其中，与y轴交于点．    (1)求抛物线解析式； (2)如图，连接，过点B作x轴垂线，在该垂线上取点P，使得与相似（包括全等），请求出点P坐标． 题型十五 平行四边形存在性问题（共2小题） 35．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； (2)若点N为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． (1)求，两点坐标； (2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 题型十六 矩形存在性问题（共2小题） 37．（2023·广东·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴上一点，点E是平面内任意一点，当以点A、C、P、E为顶点的四边形是矩形时，求点P的坐标． 38．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在第二象限内是否存在一点M，使得四边形为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型十七 菱形存在性问题（共2小题） 39．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值． (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 40．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十八 正方形存在性问题（共2小题） 41．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式及点的坐标； (2)点为抛物线上一点，过作轴交直线于点，点为轴上一点，点为坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标． 42．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 题型十九 其它存在性问题（共4小题） 43．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 44．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过，两点，直线交轴于点，交抛物线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在直线上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若，，三点到同一条直线的距离分别是，，，问是否存在直线，使？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 45．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． (1)请直接写出 ， ． (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 46．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． $专题02 二次函数综合 题型1线段最值问题（常考点） 题型11等腰三角形存在性问题（常考点） 题型2线段存在倍数关系（或等线段）问题（重点） 题型12直角三角形存在性问题（难点） 题型3二次函数与倍角问题（难点） 题型13等腰直角三角形存在性问题（难点） 题型4线段和最小问题（常考点） 题型14相似/全等三角形存在性问题（常考点） 题型5线段和最小问题（重点） 题型15平行四边形存在性问题（常考点） 题型6线段差最大（或最小）问题 题型16矩形存在性问题（难点） 题型7周长最值问题（常考点） 题型17菱形存在性问题（难点） 题型8面积最值问题（常考点） 题型18正方形存在性问题（难点） 题型9建桥选址问题（重点） 题型19其它存在性问题（难点） 题型10角度存在性问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 线段最值问题（共3小题） 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交BC于点E． (1)若，求点D的坐标； (2)求的最大值． 【答案】(1)点D的坐标为或 (2)的最大值为 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是对二次函数性质的应用． （1）根据抛物线解析式求出B，C坐标，再用待定系数法求直线的解析式，设，则，然后根据得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可； （2）根据（1）中关于m的解析式和m的取值范围，由二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴的最大值为． 2．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为．此时 (3)为直角三角形时，点M的坐标为：或 【分析】（1）把点坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求线的解析式，设点的横坐标为，再用的代数式表示的长度建立二次函数求解即可； （3）先求直线BE的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）由题意得，解得：． 则抛物线的解析式为：； （2）过点P作轴于点H，交于点G 当时，，解得或3， ∴ 设直线的解析式为：， 则 解得： ∴ 设点（），则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． ∴当时，取得最大值为．此时． （3）在上存在点M，使为直角三角形． 抛物线顶点，设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴． 设 ， ①∵，∴，不可能为直角； ②当时，则  ∴轴， 则，∴，∴． ③当时，过点M作轴于点F． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∵，∴不合题意，应舍去，∴ ∴ 综上所述，为直角三角形时，点M的坐标为：或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数综合、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法求解即可； （2）设点的坐标为，则，，易得点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，设点的坐标为，则，，易得、、，由等边三角形的性质可得为等边三角形，即，则、，据此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像过点、， 故将代入，得， 将代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线的图像上， ∴点的横坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为， 设点的坐标为，点的坐标为，则，， 则， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：或（不合题题意舍弃）， ∴， 点的坐标为． 题型二 线段存在倍数关系（或等线段）问题（共3小题） 4．（浙江省杭州市2024－2025学年九年级上学期期末独立作业数学试卷）如图，抛物线交x轴于两点，过y轴正半轴上一点C作x轴的平行线交该抛物线于D，E两点（点D在左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为 【分析】本题主要考查了求函数解析式、抛物线与y轴的交点、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入求得a、b的值即可解答； （2）先求得抛物线得对称轴是直线x＝，设，则可得，再根据列方程求得m的值，最后代入抛物线解析式即可解答． 【详解】（1）解：把代入， ，  解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为， ∴该抛物线得对称轴是直线x＝． 设，则， ∴， ∵， ∴，解得：． 把代入，解得：， ∴点E的坐标为． 5．（2023年浙江省温州市第二十三中学中考三模数学试题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B，与y轴交于点．轴交抛物线于点D．    (1)求b，c的值． (2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交于点F，G，且，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将、，代入得，，计算求解即可； （2）由（1）可得，，对称轴为直线，则，设，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：将、，代入得，， 解得， ∴，； （2）解：由（1）可得，， ∴对称轴为直线， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．（浙江省杭州市西湖区公益中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，与直线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）令，得，得到，，由待定系数法即可求函数表达式； （2）当时，此时，点是的中点，即可求解； （3）当点在轴正半轴上时，则，得到进而求解；当点在轴负半轴上时，则，得到，进而求解． 【详解】（1）解：令，得：， 解得，， ，， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ，解得：， 直线的解析式为：； （2）解：如图，设点的坐标为（其中）， 则，． 当时，此时，点是的中点， 则， 解得：（负值已舍去）， 即点； 当时， 此时，不符合题意，舍去， 综上，； （3）解：直线与轴交于点， 点坐标为． 分两种情况： ①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为． 在中，， 在中，， ，， ， ． 又，， ， ， ． 连接，点，点为抛物线上的对称点， 轴， ，，， ． ． 点的坐标为； ②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作，垂足为， 在中，， 在中，， ，， ． 又，， ， ， ． 由①可知，． ，， ． ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 题型三 二次函数与倍角问题（共3小题） 7．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设与y轴交于点E，设，则，，运用勾股定理可求得，得出，再利用待定系数法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：如图，设与y轴交于点E， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，得， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得 ， ∴， 设所在直线表达式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题是与二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题关键． 8．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3) 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 9．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为抛物线上任意一点，过点作轴于点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，当点在第二象限时，求面积的最大值； (3)是否存在这样的点，使得？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，面积的最大值为8． (3)或． 【分析】（1）先将点和点代入二次函数的解析式，然后求得和的值，最后得到二次函数的表达式； （2）先求出点的坐标，然后求得直线的解析式，将与的交点记为点，过点作于点，然后求得的面积，最后根据二次函数的性质求得的面积最大值； （3）分两种情况讨论：当在轴的上方时，记与轴的交点为点，由轴得到，然后由得到，从而得到，然后设，通过直角三角形中的勾股定理列出方程求得的值得到点的坐标，最后求得直线的解析式，可得的坐标与，当在轴的下方时，结合，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ， 解得：， 二次函数的表达式为． （2）解：将代入得，， 点， 设直线所在直线的表达式为，则 ， 解得：， 直线的表达式为， 如图，设与线段交于点， 设， 轴交于点， ， ， 过点作，则，， ， ， 当时，有最大值，面积的最大值为8． （3）解：如图，设与轴交于点，连接，，，当在轴上方时， ∵轴， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 设所在直线表达式为， ， 解得：， 直线的表达式为． 令， 解得：，， 当时，， ∴； 此时：，， ∴， 当在轴下方时，如图， 设，而， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上： 或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，锐角三角函数的应用，面积问题，角度问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型四 线段和最小问题（共3小题） 10．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标； (2)根据图象回答：当取何值时，与？ (3)在该抛物线的对称轴上有一动点，连接和．试问：是否存在的最小值？如有，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)当时， (3)有， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）观察图象得：当时，，即可； （3）作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线 可得方程组 ，解得：， 所以函数表达式为 ，                    当时，， 解得； 另一个交点B的坐标为； （2）解∶观察图象得：当时，； （3）解: 如图，作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点． 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数式为， ∵抛物线对称轴为直线， 当时，， 即点． 11．（2025·江西新余·模拟预测）抛物线 与y轴相交于点 与x轴相交于点 、，点 D 是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上有一点 P，求出使的值最小时点 P 的坐标，并求出此时 的最小值； (3)在（2）的条件下，在第四象限中的抛物线上是否存在一点 E，过点E作轴 交x轴于点 F，使 与 相似？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点 P，待定系数法求出直线的表达式为 ，再求出点 P 的坐标为，最后求出最小值即可； （3）设 ，则，得出，，，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与y轴相交于点，与x轴相交于点、， ∴把点A，点B，点C 的坐标代入 得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点 P，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即的值最小， ∵点B 的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴顶点坐标， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为 ， 当时，， ∴点 P 的坐标为； 则最小值为：； （3）解：在第四象限中的抛物线上存在点 E，使与相似； 理由如下：设 ，则， ∴，，，， ①当时， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 此时点； ②当时， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 此时点； 综上所述，点E坐标为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数的解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 12．（2025·重庆开州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； (3)将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】本题为二次函数综合题，考查了解直角三角形，图像的平移，线段和的最值问题，分类求解是解题的关键． （1）将点和点代入，解方程组即可； （2）将点沿平行于的方向平移个单位，得，连接，当，，三点共线时，，即可求解； （3）当点在的右侧时，构造等腰中，求出直线为，进而联立抛物线与直线解析式，即可求解；当点在的左侧时，同理可得． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得到：， 解得：， 所以抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式为，将，，代入， 得到，解得 直线的解析式为， 设， 轴交于 则， ， 其中，函数图像开口向下，对称轴为， 当时，， ， 将点沿平行于的方向平移个单位，因为直线斜率为1，所以相当于将点向右平移2个单位，向上平移2个单位，得，连接，如图： 当，，三点共线时， ∴． （3）解：存在，理由： 将抛物线沿射线平移个单位，相当于抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， 则新抛物线的表达式为：， 当点在右侧时， 设将绕点逆时针旋转得，作射线交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴由旋转可得：点， ∴由点，的坐标得直线的表达式为：， 联立直线和新抛物线得， 解得：（负值已舍去），即点， 当点在的左侧时， 同理可得：点，直线的表达式为：， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 综上所述：存在点，使得，它的坐标为或． 题型五 线段差最大（或最小）问题（共3小题） 13．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由题意可得， ，解方程可求a、b的值，再结合图象可求x的取值范围； （2）根据点平移的特点，分别求出， ， ，再结合题意即可求m、n的值； （3）当时最小值为0，此时点P为抛物线与线段的中垂线的交点，求出线段的中垂线的解析式为，再求直线与抛物线的交点即为P点． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，； （2）解：由题可知， ， ，， ∵，关于直线对称， ∴， ∴， ∴点在抛物线上， ∴； （3）解：存在点P，使得最小，理由如下： ∵最小值为0， ∴，即点P为抛物线与线段的中垂线的交点， ∵， ∴线段的中垂线的解析式为， 由， 解得x， ∴点P的坐标为或， ∴满足条件的点有或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，点平移的特点，最短距离的求法是解题的关键． 14．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． （1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出最小时，，建立方程求解即可得出结论； 【详解】（1）解：对于， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵点C在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最小， ∴， ∴， ∴， 设点， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴点． 15．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 题型六 周长最值问题（共3小题） 16．（22-23九年级上·河南漯河·阶段练习）如图①，抛物线与x轴交与、两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段长度的最大值： 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出C点坐标为：和抛物线可得其对称轴为：，利用待定系数法求出直线的解析式为：，连接，，，，利用勾股定理可得，则的周长为：，根据A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上，可得，即，即当点、、三点共线时，可得到的周长最小，将代入直线的解析式中，即可求出点坐标； （3）根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且，则可得点坐标为：，结合图象，根据题意有：，即，整理得：，则问题随之得解． 【详解】（1）解：将、代入中， 有：， 解得：； 即抛物线解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 令，即有：，则C点坐标为：， 由可得其对称轴为：， 设直线的解析式为：， 代入、有： ，解得：， 直线的解析式为：， 如图，连接，，，， ∵、，， ∴， ∴的周长为：， ∵A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， 即当点、、三点共线时，有最小，且为， 此时即可得到的周长最小，且为， 如图， ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴将代入直线的解析式中， 有：， 即Q点坐标为：； （3）解：根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且， ∵轴， ∴点、的横坐标相同，均为m， ∵点在抛物线上， ∴点坐标为：， 结合图象，根据题意有：， ∴， 整理得：， ∵，且， ∴当时，， 即的最大值为：． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解二次函数关系式，勾股定理，二次函数的图象与性质等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 17．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)在对称轴上是否存在一点P，使得周长最小，若存在则求出P点坐标，若不存在请说明理由． (2)在直线下方的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)存在，，过程见解析 (2)存在，，过程见解析 【分析】（1）分别令，，求得点A、B、C的坐标．求得抛物线的对称轴，然后根据点A、点B关于抛物线对称轴直线对称的特点可知，对称轴与直线的交点即是P，即是满足的周长最小的点． （2）依据题意可知，当过点D且平行于直线的直线与抛物线只有一个交点时，的面积最大，据此设出过点D的且与直线平行的直线解析式，然后联立抛物线解析式，消去y，令关于x的二次方程的判别式为0，即可求解． 【详解】（1）解：存在， ∵抛物线与x轴交于A、B两点， ∴令，得， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵抛物线与y轴交于点C． 令，得， ∴点C的坐标是，    ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴设直线的解析式为，可得， 解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点P是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得：， ∴点P的坐标是； （2）解：存在． 如图，过下方的抛物线上的点D作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，点D到的距离最大，从而使得的面积最大． 设过点D的直线的解析式为， 联立方程组， 消去y并整理得：， 此时， ∴， 故点D的横坐标，纵坐标， ∴． 【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标、求三角形周长的最小值与面积的最大值、求直线的解析式、一元二次方程根的判别式等知识点，解题的关键是画出图形有助于发挥“数形结合”直观思维，从而有利于问题的解决． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在，最大值为12 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答本题的关键. （1）利用解方程求出函数与坐标轴的交点坐标； （2）由题意可知设P，点P在x轴上方，得到的取值范围，然后分，，三种情况表示矩形的周长，求出最值即可； （3）分和两种情况讨论函数图象的增减性即可解题． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴，     ∴； （2）∵P点横坐标为m， ∴P， ∵当点P在x轴上方， ∴，， ①当时，此时构造产生的图形为一条线段，不存在矩形，舍去 ②当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴不在范围内， 在内，L随m的增大而增大， ∴当时，； ③当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴在范围内， ∴当时，此时； ∵， ∴当时，此时； ∴当时，； 综上所述，矩形的周长 当m＝时，此时矩形的周长L有最大值为12； （3）∵抛物线的对称轴为直线， 当时，时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 当时，由（1）知抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 当时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 综上所述：或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大． 题型七 面积最值问题（共3小题） 19．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）把、两点的坐标代入抛物线的解析式可得和的值，即可求得抛物线的解析式； （2）当时，解方程得到点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，过点作垂直于轴交于点，设点坐标为，则，，得到关于的二次函数解析式，进而根据二次函数的性质可得面积的最大值． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得到，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，即，解得，， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 如图所示，过点作垂直于轴交于点， 设点的坐标为，则， ， ， ， 抛物线的开口向下， 当时，， 即面积的最大值为． 20．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 21．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时x的值； (3)如图2，在抛物线上是否存在一点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)时，取得最大值4 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）作轴，设点，表示出、、的长，根据列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出最值情况； （3）若要使是以为斜边的等腰直角三角形，则点P在线段的中垂线上，据此可先求出线段中垂线的解析式，结合二次函数解析式从而求得中垂线与抛物线的交点坐标，再根据勾股定理逆定理判断此时的交点能否使是以为斜边的直角三角形，从而得出答案． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：如图1，过点E作轴于点D， 设点， 则，，， ∴ ， 则当时，取得最大值4； （3）解：不存在， 如图2，设的中垂线交轴于点， ∵点，， ∴，，， ∵的中垂线交于点， ∴，设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴点的坐标为， ∵点，， ∴的中点F的坐标为， 设所在直线解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴所在直线解析式为， 由得或， 若点P坐标为， ∵ ，， ∴，即不是等腰直角三角形，舍去； 若点P坐标为， ∵ ，， ∴，即不是等腰直角三角形，舍去； 综上，这样的点P不存在． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键． 题型八 建桥选址问题（共2小题） 22．（2025·重庆开州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当有最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点是新抛物线上的一点，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为，设，则，表示出，由二次函数的性质可得当时，最大为，此时，将点沿方向平移个单位长度（即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度）得到，连接，，由平移的性质可得，，，得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，结合得出的最小值为，即可得解； （3）求出，，再分两种情况：当点在直线的上方时；当点在直线的下方时，作点关于直线的对称点为，作直线交抛物线于，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为，此时，即； 如图：将点沿方向平移个单位长度（即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度）得到，连接，， 由平移的性质可得，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位（即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度）得新抛物线，则； ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，当点在直线的上方时， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得：， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故此时点的横坐标为，此时点的纵坐标为； 当点在直线的下方时，作点关于直线的对称点为，作直线交抛物线于， 由轴对称的性质可得：，， ∴， 设，则的中点坐标为在直线上， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—线段周长问题，二次函数综合—角度问题，平移的性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 23．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接．当有最大值时，求的最小值； (3)如图2，在轴上取点，将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与轴交于点，交轴于点点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)点的横坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，轴对称的性质，平移的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据题意写成交点式即可得出解析式； （2）先求得直线的解析式为，设，则，，求得，根据二次函数的性质求得点的坐标，将点向左平移个单位，向下平移1个单位得到，得出四边形是平行四边形，进而得出，则当在上时，取得最小值，勾股定理求得，即可求解； （3）根据平移的性质先求得新抛物线解析式，根据解析式得出是等腰直角三角形，根据直线与直线所成夹角为，则和平行，或和和平行，分别画出图形，求得的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线解析式为 （2）解：当时，，则， 设直线的解析式为，代入 ， 解得： ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴ 当时，有最大值， 当时，，此时 如图，将点向左平移个单位，向下平移1个单位得到， ∴ ∴ ∵，且在直线上，将向左平移个单位，向下平移1个单位得到 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当在上时，取得最小值， 最小值为 （3）解： ∵，， ∴ ∴ 将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与轴交于点， 原抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴将点平移到点，即向左平移个单位，向上平移个单位得到， 而平移方向与水平方向的夹角的正切为 ∴平移方向沿射线平移， ∴将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，平移后的新抛物线与轴交于点， ∴新抛物线解析式为 ， 当时， ∴ 当时， ∴， ∴重合， 又∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵直线与直线所成夹角为 ∴和平行，或和和平行， ∵， ∴ ∴， 当和平行，如图，过点作轴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵折叠， ∴ ∴，则 ∴ 设直线的解析式为 则 ∴ ∴ 联立 即： 解得：或（舍去） ∴点的横坐标为； 当和和平行，如图， 同理可得，，直线的解析式为 联立 即： 解得：或（舍去） ∴点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 题型十 角度存在性问题（共3小题） 24．（2025九年级上·浙江·专题练习）抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，； (3)点N的坐标为或或或． 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理的应用和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出N点坐标是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可； （2）首先求出：，：，令，即可求出M点坐标即可； （3）①若，则，②若，则，③若，则，分别求出N点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：存在． 如图1，当时， ， 由（1）可得抛物线， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴：， ∵，∴：， ∴， ∴（舍）， ， ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ①如图2，若，则，即， ∴， ∴解得：， ∴点N的坐标为或； ②若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； ③若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 综上，点N的坐标为或或或． 25．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的面积与的面积相等时，求点P的坐标； (3)是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点P的坐标为 (3)存在，点P的横坐标为或7． 【分析】（1）根据一次函数求出A、C两点坐标，代入解析式求解即可得到答案； （2）根据A、B、C点坐标即可得到，求出的面积，分点P在下方或上方两类列方程即可得到答案； （3）由（2）得，作的垂直平分线交于一点F，求得，即，过点作，过点作交于点，得到，即点在直线上，求得直线的解析式，根据一次函数与二次函数交点问题联立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，故， 当时，，，故， 将，代入解析式得， ，解得：， ∴； （2）解：①点P在下方时，如图所示，连接，设， ∴ ， 当，解得：，， 故， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，即， ∵，无解， ②当点P在上方时，如图所示，连接，设， ∴ ， ∵的面积与的面积相等， ∴ ∴（与B重合，舍去），， 当时，， ∴； （3）解：∵,，， ∴ ∴， ∴是直角三角形， ∴， 如图所示，作的垂直平分线交于一点F，连接，则， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，则， ∵， 在中，， 即， 解得：，则 ∴ ∴ 如图所示，过点作，过点作交于点， 则 即，即点在直线上， ∵ ∴， 在中，, ∴ 过点作轴， 则 ∴， ∴,， ∴ 设直线的解析式为 即 ∴ 即， 联立 解得：（舍去）， 同理可得 设直线的解析式为 则 解得： ∴ 联立 解得：（舍去）， 综上，点P的横坐标为或7． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 26．（22-23九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标； (3)对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出的值，也就得出了抛物线的解析式． （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出点的坐标，也就求出了的长，根据的面积可求出点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出点的坐标，然后根据点在抛物线对称轴的右边来判断得出的点是否符合要求即可． （3）根据点坐标可求出直线的解析式，由于，由此可求出点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出点的坐标．求的面积时，可先求出，的长度即可求出的面积． 【详解】（1）解：函数的图像与轴相交于， ， ， ， （2）解：假设存在点，过点作轴于点， 的面积等于6， ， 当， ， 解得：或3， ， ， 即， 解得：或（舍去）． 又顶点坐标为： 1.5，． ， 轴下方不存在点， 点的坐标为：； （3）解：点的坐标为：， ，， 当， ， 设点横坐标为：，则纵坐标为：， 即， 解得 或（舍）， 在抛物线上仅存在一点 ． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图像交点、图像面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键． 题型十一 等腰三角形存在性问题（共2小题） 27．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知点在抛物线上． (1)求m的值； (2)在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形性质，分类讨论，熟练掌握是解题的关键．分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。（1）可将点代入抛物线中，可得到m的值；（2）假设存在点P，接下来根据是等腰三角形分情况讨论即可求解. 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴． （2）解：存在． ∵， ∴． ∴． ∵是等腰三角形， ∴当时， ∴． 当时， ∵点A在第一象限平分线上， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 当时，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点P的坐标为或或或． 28．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，先求出直线的解析式，进而得到，则点M在运动过程中的长保持不变，故要使的面积最大，则最大，即要使最大，进一步推出当最大时，最大，即此时的面积最大，求出，则，再用m表示出，然后结合二次函数的性质求解即可； （3）设，根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当m为2时，的面积最大，理由如下： 如图，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F， 设直线的解析式为， 把，代入得∶ ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴点M在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大， ∵， ∴当最大时，最大，即此时的面积最大， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，即此时的面积最大； （3）解：设， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 题型十二 直角三角形存在性问题（共2小题） 29．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先求解，的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可． （2）设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．可得，结合，再建立方程求解即可． （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，表示，，，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴当时，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数为：． （2）解：由（1）得：，， ∴， 设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴． （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴， ， ， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查的是求解抛物线的解析式，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，抛物线与特殊三角形，清晰的分类讨论是解本题的关键． 30．（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点P作垂直y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接，当线段的长度最短时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标是或 (3)点P的坐标是或 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）将，两点代入列方程计算即可； （2）分、两种情况，分别求解即可； （3）为矩形，则，，据此计算最小值即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在． 理由：如图所示： ①当时，设直线交轴于点，则 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． ∵联立， 解得（舍去）， ∴． ②当时，设直线交轴于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． ∵联立， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，P的坐标是或． （3）解：如图2所示：连接． ∵， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． 设点，则点 则， ∵，故有最小值，此时， 即点， 将代入得到：， 解得， 故点P的坐标是或． 题型十三 等腰直角三角形存在性问题（共2小题） 31．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据二次函数经过点和两点，代入到解析式中计算即可得出结果； （2）由题意可知，面积为，分别计算出和的长度即可得出结果； （3）首先，在等腰中，利用勾股定理得到点到或点的距离，然后，运用两点距离公式建立等式，计算得到点横坐标，由于点横坐标与点横坐标相等，所以将坐标代入二次函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：二次函数，过点，点， 点坐标代入解析式可得： ， 解得： ， 二次函数解析式为． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， 当时，点坐标为， 将点和代入到直线中可得， ，， 直线． 直线， 令，代入直线可得， 同理，代入二次函数中得到， ，， 面积为． （3）设直线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形， 点和，由两点距离公式可知， ， 在等腰中，应用勾股定理可知， ， ， 利用两点距离坐标公式可知， ， ， 将可得， ， 将式代入式可得， ， 整理得： 解得：或． 点横坐标为或， 点与点横坐标相同， 点横坐标为或， 分别代入二次函数解析式可得， 或， 点的坐标为或． 【点睛】求解本题的关键是掌握勾股定理（在直角三角形中，两条直角边长平方的和等于斜边长的平方），两点距离坐标公式（例如，点和，则两点间距离为）． 32．（2023·四川广安·二模）如图①，已知抛物线的图象经过点、，其对称轴为直线，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当m为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形的面积最大，最大值为 (3)点P的坐标为：或或或． 【分析】（1）将、代入，并结合对称轴为，列出方程组，即可求解； （2）点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，设，先证明是等腰直角三角形，得到，以及，过点P作轴交于点Q，结合，利用二次函数的性质求得最值； （3）分点P在x轴下方和x轴上方两种情况，利用等腰直角三角形的性质构建全等三角形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵、在抛物线上，对称轴为， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m， ∴设， ∵是的平分线，， ∴． 又∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点P作轴交于点Q， ∴， ∵， ∴ ， ， 当时，四边形的面积最大，最大值为． （3）解：①当点P在x轴下方时，如图， 过点P作x轴的平行线分别交y轴和直线l于点R、S， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 则，， 故点， 将点P的坐标代入抛物线表达式得： 解得：； 故点P的坐标为：或； ②当点P在x轴上方时， 同理可得：点， 则， 解得， ∴点或 综上，点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 题型十四 相似/全等三角形存在性问题（共2小题） 33．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于，的两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点的坐标； (2)是否存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，或 【分析】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． （1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）根据点的坐标利用两点之间的距离公式和勾股定理逆定理即可判定为直角三角形，且， ， ．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 解得 ∴抛物线所对应的函数关系式， ∴抛物线的顶点为； （2）存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似；理由如下： ∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形，． （Ⅰ）如图2，若，则， 即， 整理，得， 解得，（舍去）． ∴． （Ⅱ）如图3，若， 则， 即 整理，得， 解得，（舍去）． ∴ 故符合条件的点的坐标为或 34．（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B两点，其中，与y轴交于点．    (1)求抛物线解析式； (2)如图，连接，过点B作x轴垂线，在该垂线上取点P，使得与相似（包括全等），请求出点P坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点，点代入，即可求解； （2）①当时，，得到，即可求解；②当时，，由，得到，即可求解． 【详解】（1）将点，点代入， 得 ∴解得 ∴抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ①当时，，    ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：与相似时，P点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用三角形相似的判定与性质和分类求解是解题的关键． 题型十五 平行四边形存在性问题（共2小题） 35．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； (2)若点N为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，其对称轴为直线 (2) 存在，或或 【分析】 （1）将点，代入，可得，，即可求解； （2）分四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形时平行四边形三种情况，分别求解即可． 【详解】（1） 解：将点，代入，得 ． 解得， 故该抛物线的解析式为，其对称轴为直线． （2） 解：存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 由题得，，，设，， ①四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； ②四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； ③四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； 综上所述：或或． 【点睛】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 36．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． (1)求，两点坐标； (2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最大值为 (3)存在，点的横坐标为，或 【分析】此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）解方程得到，，即可得到答案； （2）求出直线的表达式为，设，则，求出，，则当时，的最大值为； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：令，代入得：， 解得，， ∴； （2）设直线的表达式为，把、代入得： ，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴当时，的最大值为． （3）①当为平行四边形的边时，． ∴，关于直线对称 ∵ 点的横坐标为或． ②当为平行四边形的对角线时，设点，则点， ∵点在抛物线上 ∴ 解得， ∵点在第三象限 ∴点在第一象限 ∴点的横坐标为 综上所述：点的横坐标为，或． 题型十六 矩形存在性问题（共2小题） 37．（2023·广东·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴上一点，点E是平面内任意一点，当以点A、C、P、E为顶点的四边形是矩形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由抛物线与x轴交于，两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当为矩形对角线时，当为对角线时，如图，再结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，当为矩形对角线时， ∵，，矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，如图， 由矩形可得， 此时，重合， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，矩形的性质与判定，利用数形结合的方法解题是关键． 38．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在第二象限内是否存在一点M，使得四边形为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点C作的平行线，过点A作的平行线，两条直线相交于M，根据点A，B，C的坐标判断三角形为直角三角形，再根据作图可得四边形为矩形，根据直线平移的性质可求得直线和直线的解析式，再联立方程组，解方程组即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：存在． 过点C作的平行线，过点A作的平行线，两条直线相交于M，则M即为所求． 在中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得：， ∴点M坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的判定，解题的关键是判断为直角． 题型十七 菱形存在性问题（共2小题） 39．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值． (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的面积的最大值为 (3)存在，P 【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式； （2）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值； （3）先设出点的坐标，再求出的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入解析式， 得：， 解得：， 二次函数得表达式为； （2）过点作轴的平行线与交于点，    设， 设直线的函数关系式为，则 ，解得： 得直线的解析式为， 则， ， 当时，的面积最大， 此时，点的坐标为，的面积的最大值为． （3）存在点，使四边形为菱形，如图，    设，交于点， 若四边形是菱形，则， 连接，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作轴的平行线或轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值． 40．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或或． 【分析】（1）由一次函数求出B，C两点的坐标，代入二次函数中可求出b，c，从而可求出二次函数的解析式； （2）当以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，讨论画出所有的情况，再利用菱形的四边相等，求解对应m的值，从而得到点M的坐标． 【详解】（1）解：将代入一次函数得：， ∴点C坐标， 将代入一次函数得：， ∴点B坐标， 将点B、C代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线． （2）存在，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况： 由（1）可得，点，，， ， 当时，，解得（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，，解得或0（0舍去）， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得（舍去），（舍去），此时点M的坐标为； 综合上述，存在，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，考查待定系数法，考查一次函数和二次函数图象上的点的特点，考查菱形的性质，解题的关键是结合图形分情况讨论，考查计算能力和分类讨论的思想，属于较难题． 题型十八 正方形存在性问题（共2小题） 41．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式及点的坐标； (2)点为抛物线上一点，过作轴交直线于点，点为轴上一点，点为坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）直接将点的坐标代入关系式，求出解可得关系式，再令，可求出点C的坐标； （2）先求出直线的关系式，可表示出，分为边和对角线时，求出坐标即可． 【详解】（1）解：∵的图象与轴交于，， ∴， 解得， ∴． 当时， ∴； （2）解：设M点的坐标为， 将点和代入，得 ， 解得， 所以直线的关系式为． 当时，， 则点N的坐标为， ∴的长度为 ①当为边时，可知， ∴E，F均在x轴上， ∴M，N点到x轴的距离为，即． ∵为正方形， ∴， 即， 解得， ， 当时，M点为A点，应舍去， ∴M点可为； ②当是对角线时， 得到，此时E点为的垂直平分线与x轴的交点 且为直角等腰三角形，故的长度应该为M到x轴的距离的2倍， 得到 解得，，， 同理时应舍去， 故M点可为，， 故综上M点坐标可为，，． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数关系式，正方形的判定，待定系数法求一次函数关系式等．注意：分情况讨论，不能丢解． 42．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 题型十九 其它存在性问题（共4小题） 43．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的面积为定值，其面积为2 【分析】（1）将代入，即可求出答案； （2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线； （3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线对应的函数表达式为， ∵为中点， ∴． 又∵， ∴， 解得， ∴直线对应的函数表达式为． ∵点在抛物线上，所以， ∴ 解得，或． 又∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴满足直线对应的函数表达式， ∴点在直线上，即三点共线； （3）解：的面积为定值，其面积为2．理由如下： 如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线． 设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等， ∴的面积不为定值．      如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离， ∴的面积小于的面积，则的面积不为定值． 又∵中存在面积为定值的三角形， ∴的面积为定值， 在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为， 联立， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为2， 综上所述，的面积为定值，其面积为2． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键． 44．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过，两点，直线交轴于点，交抛物线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在直线上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若，，三点到同一条直线的距离分别是，，，问是否存在直线，使？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，，； (3)存在，，，． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）平行四边形可能有多种情形，如答图1所述，需要分类讨论：①以为一边的平行四边形，有2个；②以为对角线的平行四边形，有1个，此时点和点必关于点成中心对称． （3）画出图形，先证明为等腰直角三角形，求出，的长，再分两类共4种情况，结合，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得： ； （2）点在抛物线上，点在直线上， 设点的坐标为，点的坐标为． 如图1，点， ． ①当为一边时， ，且， ， 解得：，． ，； ②当为对角线时，则点和点必关于点成中心对称，故． ， 解得：， ． 当，，时，，，，为顶点的四边形是平行四边形． （3）存在． 如图2所示，连接，过点作于点． 由题意得，，， ，，， 为等腰直角三角形． ． ， ． ①， 过点且平行于的直线满足条件． 作直线于点，直线于点，设交直线于点． ，即：． 则，，即， ， ． ，即； ②如图2，在外作直线，延长交于点，使， ； ③如图3，过，作直线，作于点，于点，于点． 由①可知，，则，即：． ， ． 作轴于点， ， ， ． 的面积， ； ④如图3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线，同理可得： ，． 综上所述，存在直线，使．的值为：，，． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图像与性质、待定系数法、平行四边形、相似三角形、勾股定理等知识点，难度较大．第（2）问考查平行四边形的判定及分类讨论的数学思想，第（3）问是存在型问题，存在4条符合条件的直线，需要分类讨论，避免漏解． 45．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． (1)请直接写出 ， ． (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5；2； (2)； (3)，或，或，或． 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得b的值； （2）设，则，由，可得，解出t的值可得P的坐标为； （3）过M作轴交直线于K，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出m的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：5；2； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为，设，则，， ∵， ∴， 解得或（此时P不在直线上方，舍去）； ∴P的坐标为； （3）解：抛物线上存在点M，使的面积等于面积的一半；理由如下： 过M作轴交直线于K，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 解得或 ∴M的坐标为，或，或，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，坐标与图形，解一元二次方程，三角形面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 46．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）过点P作轴于点Q，交于点M，求出直线解析式为．设，则，可求出，再根据，结合二次函数的性质求解即可； （3）由（2）同理可得，，即可求出，，结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点Q，交于点M， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为8； （3）解：同（2）可知，， ∴，． ∵， ∴． 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为； 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为． 综上可知存在点，使，点的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． $