3.2用频率估计概率（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 3.2用频率估计概率 第三章 概率的进一步认识 学 习 目 标 1.掌握用频率估计概率的原理与方法，能够区分两种概率求解方法的适用条件；（重点） 2.理解 “频率的稳定性”，能够设计科学的模拟试验，会根据试验数据合理估计概率.（难点） 知识回顾 1 1. 必然事件是概率为_______的事件、不可能事件是概率为_______的事件、随机事件是概率______________的事件． 2. 古典概型的核心特征是试验结果_______且每个结果发生的可能性_______. 3. 树状图与列表法的应用局限性：试验结果数量_______，难以全部列举、试验具有_______或不满足___________时，树状图和列表法不再适用. 0 在0和1之间 有限 相等 极多 破坏性 等可能性 情境引入 问题： 400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？300个同学呢？ 可有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同.”你同意这种说法吗？与同伴交流. 新知探究 探究一：“生日巧合”的概率之谜 情境回顾 1.回顾情境中的内容，400个学生一定有两个学生的生日相同，因为一年最多366天，400＞366，是______________，概率为_______；300个同学几乎必然，但非绝对，因为300接近366. 必然事件 1 2.若想计算50个同学中生日相同的概率，_______（能/不能）用树状图或列表法. 因为50个同学的生日组合数为，数据庞大，古典概型失效.因此只能尝试_____________________. 不能 通过大量数据统计频率. 新知探究 议一议 1.小组合作，设计实验 （1）课前准备：每个学生调查10个人的生日（记录“月/日”，如“10/1”，避免年份影响），全班40个学生共收集400个生日数据 （2）① 样本抽取：用随机数生成器从全班生日数据库中选取50个生日； ② 记录结果：判断这50个生日中是否有“月/日”相同的情况； ③ 重复试验：每组完成10次抽取，记录每组“成功”的次数； 新知探究 2. 将统计出的数据记录在下列表格： 试验总次数 50 100 150 200 250 … “有两个人生日相同”的次数 _____ _____ _____ _____ ____ … “有两个人生日相同”的频率 _____ _____ _____ ____ _____ … 43 88 135 178 223 0.8600 0.8800 0.9000 0.8900 0.8920 2.随着试验次数增加，频率逐渐稳定在_______左右，50人中有生日相同的理论概率约为97.037%，模拟结果虽略低，但趋势一致.因此，50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同的说法是_______的 0.9 正确 新知探究 用频率估计概率的步骤： 知识归纳 当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以用大量重复试验下的稳定频率估计概率 确定事件→设计试验→大量重复→计算频率→估计概率 新知探究 1. 下列关于“频率”与“概率”的说法，正确的是（ ）（多选） A. 频率是试验中事件发生的“次数/总次数”，随试验次数变化而变化 B. 概率是事件本身的固有属性，是一个常数 C. 当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近 D. 频率就是概率，两者没有区别 2.某超市想估计“顾客购买矿泉水”的概率（即100个顾客中购买矿泉水的人数），但无法统计所有顾客的购物情况。请你设计一个用频率估计概率的试验方案. ABC 新知探究 解：（参考方案） 样本选取：随机选取100个顾客（如在一天的不同时段记录）； 记录结果：统计这100个顾客中购买矿泉水的人数； 重复试验：重复上述步骤5次（共500个顾客），记录每次的“购买人数”； 计算频率：用“每次购买人数/100”计算频率，取5次频率的平均值，作为“顾客购买矿泉水”的概率估计值 新知探究 探究二：用频率估计概率 —— 摸球中红白球比例的估计 问题1：一个口袋中有3个红球、7个白球，除颜色外都相同。从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是多少？ 想一想 解：根据____________概率公式P(红球)= _______；因为试验结果______________，红球3个，白球7个，总10个，每个球被摸到的______________，因此可以用______________公式 古典概型 0.3 有限且等可能 概率相等 古典概型 新知探究 问题2：一个口袋中有红球、白球共10个，除颜色外都相同。如果不将球倒出来数，你能设计一个试验方案，估计其中红球和白球的比例吗？ 分析：问题2不能用古典概型，不知道红球数量m，无法计算. 无法直接计数，需用频率估计概率：通过大量重复摸球试验，计算“摸到红球”的频率，用频率稳定值作为红球概率的估计，从而得到红球与白球的比例. 新知探究 解：方案设计 ①摸球：从口袋中摸出一个球，记录颜色，放回后摇匀，重复 ②保证每次试验条件相同：放回后，口袋中球的数量和比例不变；摇匀后，每个球被摸到的概率相等，保证随机性 ③频率稳定需要大量重复，建议每组摸50次 ④表格记录：摸球次数、红球次数、白球次数 ⑤计算红球、白球出现的频率，并根据的出的频率去估计概率 ⑥得出结论并验证：根据概率得出红球与白球的数量，并打开口袋，验证所求数目于实际数目是否相同. 新知探究 你还能提出并解决哪些与问题（2）类似的问题？ 示例： （1）估计池塘中鱼的数量 方法：（标记重捕法）捕100条鱼，标记后放回，再捕100条，统计带标记的鱼的频率，估计总数量； （2）估计产品的次品率 方法：从一批产品中随机抽取100件，统计次品次数，用频率估计次品率 （3）估计种子的发芽率； 方法：种100粒种子，统计发芽次数，用频率估计发芽率 新知探究 用频率估计比例的步骤：： 知识归纳 ① 设计试验：确定随机试验的方法，保证随机性； ② 大量重复：进行足够多次试验，记录事件发生的次数； ③ 计算频率：用“事件发生次数÷总试验次数”计算频率； ④ 估计比例 注：结果有合理误差是正常的，因为频率是估计值，与实际值可能有小幅偏差，但试验次数越多，误差越小 新知探究 一个不透明的袋子里装有黄球和蓝球共 20 个，这些球除颜色外都相同。现在通过重复摸球试验来估计黄球和蓝球的比例，每次摸出 1 个球后放回并摇匀。某小组进行了 200 次摸球试验，其中摸到黄球 120 次。 （1）估计摸到黄球的概率是多少？ （2）请估计袋子里黄球和蓝球的个数分别是多少，以及它们的比例。 袋子中的黄球到底有多少个？ 新知探究 解：（1）已知总试验次数为200次，摸到黄球120次 因此： 估计摸到黄球的概率=0.6 （2）黄球个数估计： 总球数 × 估计的黄球概率. 总球数为20个，黄球概率估计为0.6 因此： 黄球个数≈20×0.6=12 蓝球个数估计：总球数 - 黄球个数. 蓝球个数≈20−12=8 (个) 黄球与蓝球的比例：黄球个数 : 蓝球个数，即12:8=3:2. 典例分析 一个不透明的盒子里装有若干个除颜色外完全相同的黄球和蓝球，小明为了估计黄球和蓝球的数量，进行了大量重复摸球试验。每次摸出1个球，记录颜色后放回并摇匀，共摸球200次，其中摸到黄球120次。已知盒子里球的总数为50个，估计黄球和蓝球各有多少个. 例1 【分析】本题属于“用频率估计概率，进而反推数量”的类型。先通过大量重复试验得到摸到黄球的频率，再利用频率稳定后趋近于概率的原理，结合球的总数来计算黄球和蓝球的数量. 典例分析 【解答】首先，计算摸到黄球的频率：摸到黄球的频率＝摸到黄球的次数/摸球总次数0.6。 因为试验次数足够多，所以摸到黄球的频率可近似看作摸到黄球的概率. 已知球的总数为50个，设黄球有x个，根据概率公式P(摸到黄球)等于黄球在总体中被摸到的概率 可得＝0.6，解得x＝30（个） 那么蓝球的个数为50－30＝20（个） 典例分析 某林业部门要估计一片树林中某种珍稀鸟类的数量。他们先捕捉了 50 只这种鸟，做上标记后放回树林。过了一段时间，又捕捉了 200 只这种鸟，其中有标记的鸟有 10 只。请估计这片树林中这种鸟的总数 例2 【分析】本题属于“标记重捕法”的数学模型。利用有标记鸟在第二次捕捉中的频率，估计其在整个树林中的概率，进而推算鸟的总数. 【解答】有标记鸟的数量第二次捕捉鸟的总数==0.05. 设树林中这种鸟的总数为x只，最初标记了50只 根据概率关系可得=0.05，解得x=1000（只） 故这片林子里大概有一千只鸟 巩固练习 基础巩固题 B 1.下列关于频率和概率的说法，正确的是（ ） A. 频率就是概率 B. 试验次数足够大时，频率稳定在概率附近 C. 概率是随机的，与试验次数无关 D. 频率是理论值，概率是试验值 2.适合用“频率估计概率”的是（ ） A. 抛一枚均匀硬币，求正面朝上的概率 B. 掷一枚均匀骰子，求点数为6的概率 C. 估计池塘中鱼的数量 D. 求从装有3个红球、2个白球的袋子中摸出红球的概率 C 巩固练习 基础巩固题 B 3.某小组做“摸球试验”：共摸100次，摸到红球70次，则摸到红球的频率是（ ） A. 0.3 B. 0.7 C. 3 D. 7 4.抛掷啤酒瓶盖1000次，“凸面向上”频率为0.44，则概率约为（ ） A. 0.22 B. 0.44 C. 0.50 D. 0.56 B 巩固练习 基础巩固题 C 5.估计一批灯泡的使用寿命，适合的方法是（ ） A. 树状图法 B. 列表法 C. 用频率估计概率，通过抽样试验统计 D. 直接统计所有灯泡寿命 6.当试验次数很大时，某事件发生的频率会稳定在______附近。 7.某射手射击100次，击中靶心80次，则频率是______，概率约为______. 概率 0.8 0.8 巩固练习 基础巩固题 8.设计模拟试验估计“6个人中有2人生肖相同”的概率时，可用12个标有12生肖的球，每次摸出1个后______________. 9.盒子有9个黄球，摸球试验中频率稳定在30%，估计盒子中小球总数。 放回并摇匀 解：设总数x，则=0.3，解得x=30. 答：小盒子中有球30个 课堂小结 用频率求概率 频率与概率的关系 当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在该事件的概率附近，这是 “用频率估计概率” 的理论依据 本质区别与联系 频率是试验后的数据结果，随试验次数变化；概率是事件本身的固有属性，不随试验变化 频率是概率的 “估计值”，试验次数越多，频率对概率的估计越精确. 作业布置 1.必做题：随堂练习 2.探究性作业：习题3.4第2题。 感谢聆听! $