2.3.2两点间的距离公式 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕两点间距离公式展开，涵盖公式推导（勾股定理、向量法）、斜率相关扩展形式及坐标法几何应用，构建从基础到应用的递进式知识支架。 其亮点在于以数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）为核心，如坐标法证明平行四边形定理锻炼逻辑推理，正方形内点距离不等式培养几何直观。学生提升问题解决能力，教师获得系统资源与多样化实例。

2.3.2 两点间的距离公式 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式. 2.通过求解两点间的距离，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养. 学习目标： 问题1：已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 、P2的距离| P1 P2 |呢? (1) x1≠x2, y1=y2 (2) x1 = x2, y1 ≠ y2 P1(x1,y1) P2(x2,y2) P2(x2,y2) x y o 探究新知： (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 Q (x2,y1) y x o P1 P2 (x1,y1) (x2,y2) 2 2 | | y x OP + = 特别地,原点O与任一点P(x,y)的距离： 法二：平面向量 勾股定理法 小结：平面中两点之间的距离 距离公式的扩展 例1.已知点 A(－1，2)，B(2， )，在 x 轴上找一点 P，使 |PA|＝|PB|，并求 |PA|的值. 解：设所求点为 P(x，0)，则 |PA|＝ ＝ , |PB|＝ ＝ . 由 |PA|＝|PB|，得 x2＋2x＋5＝x2－4x＋11. 解得 x＝1. 所以，所求点为 P(1，0)，且 |PA|＝ ＝2 . 例题分析： 2.已知 A(a,－5)与 B(0,10)两点间的距离是17，求 a 的值. 课堂练习 1.求下列两点间的距离： (1) A(6,0),B(-2,0); (2) C(0,-4),D(0,-1); (3) P(6,0),Q(0,-2); (4) M(2,1),N(5,-1). |AB|=8 |CD|=3 |PQ|= |MN|= 例2、用坐标法证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. y x o (b,c) (a+b,c) (a,0) (0,0) A B D C 解：如右图,以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系， 有A(0,0). 设B(a,0),D(b,c), 由平行四边形的性质，得 C(a+b,c). 例题分析： |AB|²=|CD|²=a²， |AD|²=|BC|²=b²+c²， |AC|²=(a+b)²+c² 由两点间的距离公式，得 |BD|²=(b-a)²+c² y x o (b,c) (a+b,c) (a,0) (0,0) A B D C ∴ |AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=2(a²+b²+c²)， |AC|²+|BD|²=2(a²+b²+c²)， ∴ |AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=|AC|²+|BD|²， 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 思考：在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题.你能回忆一下证明过程吗？比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会？ 例2 如图，已知平行四边形 ABCD，你能发现对角线 AC 和 BD 的长度与两条邻边 AB 和 AD 的长度之间的关系吗? A B C D 分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系. 解：如图，取{ ， }为基底，设 ＝ ， ＝ ，则 ＝ ＋ ， ＝ － . 所以 2＝( ＋ )2＝ 2＋2 · ＋ 2， 2＝( － )2＝ 2－2 · ＋ 2. 上面两式相加，得 2＋ 2＝2( 2＋ 2). 于是 AC 2＋BD2＝2(AB2＋AD2). 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤： 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量 第二步：进行有关的代数运算 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论 小结： 1.用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.教材P74.3 (2a,0) (0,0) y x 证明：如图，△ABC 是直角三角形.以顶点 C 为原点，边 CA 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 在Rt△ABC 中，点 C 的坐标是(0，0)，设点 A 的坐标是(2a，0)，点 B 的坐标是(0，2b)， (0,2b) B P A C 由线段中点坐标公式， 得斜边 AB 的中点 P 的坐标是(a，b). (a,b) 由两点间的距离公式，得 所以|PA|＝|PB|＝|PC| . 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. |PC|2＝a2＋b2， |PA|2＝(2a－a)2＋(0－b)2＝a2＋b2， |PB|2＝(0－a)2＋(2b－b)2＝a2＋b2. 课堂练习 2.已知 AO 是△ABC 边 BC 的中线，用坐标法证明 |AB|2＋|AC|2＝2( |AO|2 ＋|OC|2).教材P79.12 A O B C x y 证明：如图，以点 O 为原点，边 BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设 A(a，b)，B(－c，0)，C(c，0)，则 |AB|2＝(a＋c)2＋b2， |AC|2＝(a－c)2＋b2， |AO|2＝a2＋b2， |OC|2＝c2. 所以 |AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)， 2( |AO|2 ＋|OC|2)＝2(a2＋b2＋c2). 所以 |AB|2＋|AC|2＝2( |AO|2 ＋|OC|2) . 3.已知0＜x＜1，0＜y＜1， (1)求证： ＋ ＋ ＋ ≥2 ， 并求使等式成立的条件. (2)说明上述不等式的几何意义.教材P80.17 x y O A B C P (1)证明：如图，在平面直角坐标系中，点 A(1，0)， B(1，1)，C(0，1).连接 AB，BC.设 P(x，y)为正方形内一点，则0＜x＜1，0＜y＜1.连接PO，PA，PB，PC，则 |PO|＝ ，|PC|＝ ，|PA|＝ ，|PB|＝ . x y O A B C P 连接 OB，AC，则|PO|＋|PB|≥|OB|，当点 P 在线段 OB 上时等号成立； |PA|＋|PC|≥|AC|，当点 P 在线段 AC 上时等号成立. 因为|OB|＝|AC|＝ ， 所以|PO|＋|PC|＋|PB|＋|PA|≥2 . 当点 P 是线段 OB 与线段 AC 的交点时等号成立，即 ＋ ＋ ＋ ≥2 ， 当 x＝ ，y＝ 时，等式成立. (2)对于(1)中的不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和. 4.如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线具有什么关系？为什么？教材P103.17 设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 由题意，得 |AD|2＋|BC|2＝|AB|2＋|CD|2， 即(x1－x4)2＋(y1－y4)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(x3－x4)2＋(y3－y4)2， 整理得 x1x2＋x3x4－x1x4－x2x3＋y1y2＋y3y4－y1y4－y2y3＝0， 即 (x3－x1)(x4－x2)＋(y3－y1)(y4－y2)＝0. 所以直线 AC 与 BD 垂直，即它的对角线垂直. 课堂小结 1.已知 P(a，2)，Q(－2，－3)，M(1，1)三点，且 |PQ|＝|PM|，求 a 的值. 课后练习 2.(1)求在 x 轴上与点 A(5，12)的距离为13的点的坐标； (2)已知点 P 的横坐标是7，点 P 与点 N(－1，5)间的距离等于10，求点 P的纵坐标. 3.已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 如图所示，建立平面直角坐标系，设 故|AC|＝|BD|. A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c). $