专题06 期中真题百练通关（三角形&全等三角形&轴对称中5大压轴题型全归纳）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材人教版

专题06 期中真题百练通关（五大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型一 多结论问题 题型四 综合、实践与探究 题型二 最值问题 题型五 坐标系中的代数几何综合题 题型三 多解问题 题型一 多结论问题（共13小题） 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，，平分，且．若点E，F分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，三条角平分线交于点O，交于点H，两个外角角平分线交于点M，延长线交反向延长线于点N．则下列结论中：①平分；②当时，；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数有（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知是等边三角形，点分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 4．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）在中，，过点作交于点，过点作交于点，与交于点，过点作分别交于点，点在上，连接交于点，点是的中点，连接．下面结论：①；②；③；④；．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 5．（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；② 为等边三角形；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分交于交于，连接，下列说法：；；；． 其中正确结论是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知点在同一直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（   ） A．①②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①②④⑤ 10．（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，，下列结论中：①；②平分；③平分；④若四边形的周长是15，且的面积为3，则四边形的面积等于11．上述结论中一定正确的有（   ） A．①②④ B．②③ C．②④ D．③④ 11．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 12．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）如图，在等腰直角中，，点是内部一点，连接并延长至点，连接、，垂足为点交于点，延长交于点，连接，．给出以下结论：①；②平分；③若点为的中点，连接并延长交于点，则：④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（23-24八年级上·北京海淀·期中）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的；②当，时，可得到形状唯一确定的；③当，时，可得到形状唯一确定的；④当，时，可得到形状唯一确定的，其中所有正确结论的序号是 ．    题型二 最值问题（共9小题） 14．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 16．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点G，点P为直线上一动点，则的最小值是 ． 17．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图,钝角三角形的面积是,最长边,平分,点分别是,上的动点,则的最小值为 ． 18．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 19．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，点，若点是直线上一动点，点是直线上的一动点，，，则的最小值为 ． 20．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ． 21．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在锐角中，，，，点，，分别为，，上的动点，则周长最小值为 . 22．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等腰的角平分线，，，为线段（端点除外）上的动点，连接，作，且，连接，当的周长最小时，则的值是 ． 题型三 多解问题（共10小题） 23.（23-24八年级上·河南安阳·期中）在中，点在的边上，连接，，，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 24．（23-24八年级上·广西贵港·期中）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C． D．或 25．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 26．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动．若发现与恰好全等，则点Q运动速度可能为 27．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为29°，那么等腰三角形的顶角为 度． 28．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为 ． 29．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 30．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，若以为一边画等腰三角形，且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为 ． 31．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与直线相交于点，并且互相垂直，点和点分别是直线和上的两个动点，且线段长度不变，点是关于直线的对称点，连接，若，则的度数是 ． 32．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，中，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 题型四 综合、实践与探究（共16小题） 33．（24-25八年级上·云南昭通·期中）（1）如图①，在中，已知，角平分线平分，，垂足为D，与相交于点F，若，易证，所以．则线段和的数量关系是________； （2）如图②，在中，已知，，，垂足E在的延长线上，若分别延长，交于点P，且．试探究线段和的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，在中，已知，，点D在线段上，，，垂足为E，与交于点F．试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． 34．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是等边三角形．，是边上的高，点E在边上，连接，以为边在其下方作等边，连接． (1)当是等腰三角形时，__________度； (2)求证：； (3)求的最小值； (4)当是等腰三角形时，直接写出的大小． 35．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度． 36．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在等腰中，，的垂直平分线分别交，于，两点． (1)如图1，连接，若，的周长为19，直接写出的长； (2)若是的中线． ①如图2，交于点，若，求证：； ②如图3，是的中点，是射线上的动点，连接，作等边，连接，若，直接写出的最小值． 37．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）在等边中，是边所在直线上一点（点不与端点重合），． (1)如图，若点在延长线上，点关于直线的对称点为，连接、，其中、分别交射线于点、． ①求的大小（用表示）． ②用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在边上，且，点关于直线的对称为，在线段上取一点，使，连接并延长交于点，直接写出线段与的数量关系是 ． 38．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知线段，点是平面内一动点，且，连接，射线在右侧，与夹角为，作点C关于射线的对称点D，连接，，，交于点E，交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)在（1）的条件下，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，当最长时，请直接写出的长． 39．（24-25八年级上·广西南宁·期中）数学课上，刘老师列举了下面两个例题： 例1：在等腰中，，求的度数．（只有一个：） 例2：在等腰中，，求的度数．（共有三个：、或） 刘老师启发同学们进行变式探索，小明编了如下题目： (1)变式1：已知在等腰中，，求的度数； (2)变式2：已知在等腰中，，求的度数； (3)探索：在解（1）（2）后，小明发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．于是小明开始探索在等腰中，的度数取哪些值时，的度数是唯一的？已知：在等腰中，，当的度数唯一时，求的取值范围．请你帮助小明完成此题． 40．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点，连接．    (1)当点是的中点时，求的面积； (2)过作且（在直线上方）． ①如图，当在线段上，连接，请问的面积的值是否为定值？若为定值请求出该值；若不为定值请说明理由； ②如图，当在的延长线上，连接，与的延长线交于点，求证：． 41．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）完成下列各题： (1)问题的提出：如图，中，，则求证：．    (2)知识的运用：如图，四边形是正方形，，，点是边上一点，，且，连．求的度数．    (3)拓展与延伸：如图，四边形中，，，，为四边形边上一点，连接，若，且，探究与的数量关系．直接写出结果，不需说明理由．    42．（24-25八年级上·河北张家口·期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 43．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）【活动初探】 在学习等十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点．求证：． 【变式再探】 （2）如图，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接． ①如图，当点在点上方，猜想并证明，，的数量关系； ②若，，，请直接写出______（用含，的代数式表示）． 44．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． 【初步探索】如图，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则可得、、之间的数量关系是 ； 【探索延伸】如图，点在线段的延长线上，上述结论还成立吗？ 若成立给予证明，若不成立请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【灵活运用】在中，若，，，，则的周长为 ． 45．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，在中，，点在边上， (1)如图1，若，试求的度数； (2)如图2，作，交直线于点，过点作交直线于点， ①若，图中有与相等的线段，请找出并证明； ②若（如图3），其他条件不变，重复（2）的操作，设四边形的面积是，的面积是，试求与的比值． 46．（24-25八年级上·重庆合川·期中）已知中，，以和为边向外作等边和等边． (1)连接、，如图，求证：； (2)若为中点，连接，如图，求证：； (3)若，延长交于，，如图，则_____（直接写出结果） 47．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，为等腰三角形，，D为边上一点，连接． (1)如图1，若，将绕点D逆时针旋转90°得到线段，连接，若，，求四边形的面积； (2)如图2，若，将绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接，若G为中点，连接，求证：平分； (3)如图3，若，，点M、N分别在线段、上，且，连接、，当取最小值时，点P是线段上的一个动点，连接、、，请直接写出取得最小值时，的度数． 48．（24-25八年级上·山东临沂·期中）综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 题型五 坐标系中的代数几何综合题（共7小题） 49．（24-25八年级上·福建莆田·期中）等腰中，，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． (1)如图（1），若，，求C点的坐标； (2)如图（2），当点D恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试猜想：线段、、三者之间是否存在确定的数量关系？并证明你的结论． 50．（24-25八年级上·全国·期中）在直角坐标系中，A点的坐标为，B点在y轴负半轴上，且，E点与B点关于x轴对称，C点的坐标为，且满足．    (1)写出三点的坐标：A ，B ，C ； (2)如图1，x轴上一点M位于A点右侧，连接，延长至N，使M位于的垂直平分线上．若，求点M的坐标； (3)如图2，点P为x轴上A点右侧的一个动点，，先作直线，作，垂足为H，在射线HQ上取一点G，满足，连接．请问：在点P运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，直接写其变化范围． 51．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中： (1)若点B坐标为，点C坐标为，求点A的坐标； (2)若点B坐标为，点C坐标为，连接，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的点P的坐标（用含m，n的式子表示）； (3)已知，，在x轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，直接写出点Q的坐标_____． 52．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点A在y轴的正半轴上，，点C的坐标为． (1)如图1，设，的面积为s，求s于m的关系式；（不要求写出m的取值范围） (2)如图2，过点C作交的延长线于点D，交y轴于点E，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，过点F作直线，交于点N，交x轴负半轴于点M，交于点G，连接，，，连接，，若的面积为18，连接，求的面积． 53．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：先将点P向右()或向左()平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点P的“R关联点” (1)如图1，点P坐标为 ①当点R坐标为时，则点P的“R关联点”的坐标为：________； ②若点为点P的“R关联点”，则R的坐标________； (2)如图2，点，点B与点A关于y轴对称点R在边上，点P坐标为 ①画出点P所有的“R关联点”； ②这些关联点组成的图形形状是：________； (3)如图3，点，，点R在正方形边上，点．若线段上存在点的“R关联点”，直接写出n的取值范围． 54．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）在平面直角坐标系中，，作点A关于y轴的对称点C，连接平分交于D． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点C作，垂足为E，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，以为边在x轴上方作等边，点G是边垂直平分线上一动点，连接，将沿翻折，点G的对应点为，过作，垂足为M当最小时，直接写出的值． 55．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）综合与实践 模型再现 如图1，在中，，垂足分别为，探究图中与之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，从而可得出结论，他的结论应是：____________； 直接运用 （1）请你写出上述结论，并填空： 已知，则____________；____________． 类比棎究 （2）如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为． ①猜想与，之间的数量关系，并说明理由； ②已知，求四边形的面积． 拓展应用 （3）如图3，在等腰中，，则点坐标为：____________；若点（不与点重合）在坐标平面内，若与全等，则点的坐标为：____________． 一、单选题 1．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若，当周长最小时，则= ． = ．                 5．如图，在中，，，为的中点，于点，其延长线交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 （填序号）． 6．如图，在中，，，点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以个单位秒和个单位秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点作于点，过点作于点要使与全等则点的运动时间为 ． 三、解答题 7．已知 ，点D、F分别为线段、上两点，连接、交于点E． (1)若，，如图1所示， 度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 8．问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06期中真题百练通关（五大压轴题型） 真题实战·百练通关 选填小床辅 解答压轴 题型二 多结论同题 题型四综合、实践与探究 题型二 最值问题 题型五坐标系中的代数几何综合题 题型三多解问题 题型一多结论问题（共13小题） 1.(2425八年级上福建福州期中)如图，∠A0B=120°，OP平分∠A0B,且0P=10,若点E,F分别 在OA,OB上，且PEF为等边三角形，则满足上述条件的PEF有() 0 A B P A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 【答案】D 【详解】解：如图，在OA、OB上截取OM=ON=OP,作∠EPF=60°， 0 M BOP平分∠A0B, ∠M0P=LP0N=60°， OP=OM =ON, :△OPM,△OPN是等边三角形， MP=OP,∠MP0=∠OMP=∠POF=∠EPF=60°， ·LMPE=LOPF, 在△PME和△POF中， ∠PME=∠POF PM=PO ∠MPE=∠OPF 1/120 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .△PME≌POF(ASA), :PE=PF, :∠EPF=60°， ∴△PFE是等边三角形， :只要∠EPF=60°，PEF就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个. 故选：D. 2.(23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期中)如图，在ABC中，三条角平分线BE、CF、AD交于点O, OH⊥BC交于点H,两个外角角平分线BM、CM交于点M,BE延长线交CM反向延长线于点N.则下列 结论中：①0D平分∠BOC;②当LBAC=60°时，BC=BF+CE;③LDOH=LOCB-LOBC;④ ∠B0C-∠M=2∠N:回S0H4B+BC+AC,©8H=4B+BC-AC),其中正确的个数有( 1 ) 2 B DH C M A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【详解】解：若OD是∠BOC的平分线， 则∠B0D=∠DOC, :A0是∠BAC的平分线， .∠BAD=∠CAD :∠BOD=∠BAD+LOBA,∠DOC=LDAC+∠ACO, ∠0BA=LOCA, :BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的角平分线， ∠ABC=LACB, AB=AC,这与AB与AC不一定相等矛盾， .OD不一定是∠BOC的平分线，故①不正确； 当LBAC=60°时，在BC上截取BI=BF,连接O1,如图： 2/120 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠0BC+∠0CB=(180°-∠BAC)÷2=60°， ∴∠B0C=120°， ∴∠E0F=∠B0C=120°， .∠AF0+∠AE0=180°， ∠CE0+LAE0=180°， .∠CEO=∠AFO, 在△OBI和△OBF中， BI=BF ∠OBI=∠OBF, OB=OB A E B p M .△OBI≌△OBF(SAS), .∠OIB=∠0FB, ,180°-∠0IB=180°-∠0FB,即LC10=∠AF0, .LC10=∠CE0, 在△CIO和△CE0中， ∠ICO=∠ECO 0C=0C ∠CIO=∠CEO .△CI0≌ACEO(ASA), 3/120 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .CI=CE, BC=BI+CI, BC=BF+CE,故②正确： 如图： B DH 以 :OH⊥BC于H, ∠0HD=90°， ∠D0H=90°-∠ODH=90°-（∠BAD+∠ABC)=90°-∠BAD-∠ABC, :∠BAD=5B4C=l80-∠ABc-∠ACB. ∠D0H=90-2l80-∠4Bc-∠AC8)-∠A8c =号4CB-3ABC=∠0C8-∠08cC=∠0CB-∠08C,放@正痛： 2 :BN平分∠ABC,BM平分∠PBC, ∠MBN=∠MBC+∠NBc=2Psc+∠ABC=90, :.∠M=90°-∠N; 同理可得∠MC0=90°， .∠C0N=90°-∠N, ∴.∠M+∠C0N=180°-2∠N, 而∠C0N=180°-∠B0C, ∠M+180°-∠B0C=180°-2∠N, :∠B0C-∠M=2∠N,故④正确： :ABC三条角平分线BE、CF、AD交于点O,OH⊥BC, .O到AB,AC的距离都等于OH, ÷Sc=Sm+Sc+5cam号4B0I+Bc-01+4C-0n 4/120 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =二OH(AB+BC+AC),故⑤正确： 过O作0K⊥AB于K,OT⊥AC于T,如图： B BK+AK=AB,BH+CH =BC,AT+CT=AC, ..(BK+AK)+(BH +CH)-(AT +CT)=AB+BC-AC, ..(BK+BH)+(AK -AT)+(CH -CT)=AB+BC-AC, 由角的对称性可知，BH=BK,AK=AT,CT=CH, ..2BH AB+BC-AC, :BH=4B+BC-4C),故@正确： .正确的有：②③④⑤⑥，共5个； 故选：C. 3.(23-24八年级上·江苏无锡期中)如图，己知ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上， CD、AE交于点F,∠AFD=60°，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD,连接 HA、HC.①BD=CE;②LAHC=60°；③FC=CG;④SACD=SACGH;其中说法正确的是() G D F E A.①②④ B.①③④ C.②④ D.①②③④ 【答案】A 【详解】解：①：△ABC是等边三角形， LB=LACE=60°，BC=AC, :∠AFD=LCAE+LACD=60°，∠BCD+LACD=∠ACB=60°， .∠BCD=∠CAE, 5/120 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△BCD和aCAE中， I∠B=∠ACE BC=AC ∠BCD=∠CAE ∴aBCD≌△CAE(ASA, BD=CE,故①正确，符合题意： ②如图，作CM⊥AE交AE的延长线于M,作CN⊥HF于N, H G D ,∠EFC=∠AFD=60°， .∠AFC=120°， :FG为△AFC的角平分线， ∠CFH=∠AFH=60, ∴.∠CFH=∠CFE=60°， :CM⊥AE,CN⊥HF, :CM =CN :LCEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE,∠CGN=LAFH+∠CAE=60°+∠CAE, .∠CGN=∠CEM, 在△ECM和aGCN中， [∠CGN=∠CEM ∠CME=∠CNG=90°， CM=CN aECM≌AGCN(AAS), CE=CG,EM=GN,∠ECM=∠GCN, .∠MCN=∠ECG=60°， 由①知△BCD≌△CAE(ASA), :AE=CD, .HG=CD, 6/120 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AE=HG, AE+EM=HG+GN,即AM=HN, 在△AMC和△HNC中， AM HN ∠AMC=HNC=90°， CM=CN ∴.AAMC≌AHNC(SAS), .∠ACM=∠HCN,AC=HC, :∠ACM-∠ECM=LHCN-∠GCN,即∠ACE=∠HCG=60°， :△ACH是等边三角形， :∠AHC=60°，故②正确，符合题意； ③由②知，∠CFH=∠AFH=60°， 若FC=CG,则LCGF=60°，从而LFCG=60°，这与∠ACB=60°相矛盾，故③错误，不符合题意； ④：△ECM≌aGCN(AAS),△AMC≌△HNC(SAS), S.AMC-S.ECM =S.MNC-S.GCN,S.ACE=S.CGm :△CAE≌△BCD, ∴.S。BCD=S,cGH=S。4CE,故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④， 故选：A. 4.(23-24八年级上·重庆渝中期中)在ABC中，∠ACB=45°，过C点作CD⊥AB交AB于点D,过点 A作AE⊥BC交BC于点E,AE与CD交于点F,过点E作EH⊥CD分别交CD、AC于点G、H,点Q在 CD上，连接AQ交GH于点P,点P是AQ的中点，连接EO.下面结论：①△ABE≌aCFE;② ∠EHC=∠E4C+LDC8;@CQ=B0:①∠GB0=∠G0E:S2Pi SAGOr CO 其中正确的是() A.①②③④ B.①②③⑤ C.①②④⑤ D.①③④⑤ 7/120 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】解：①：CD上AB,AE⊥BC, :∠AEB=LAEC=∠ADC=∠CDB=90°， LBAE+LB=90°，∠BCE+LB=90°， ∠BCE=∠BAE, :∠ACB=45°， “△ACE为等腰直角三角形， AE=CE,∠ACB=∠EAC=45°， 在△ABE和△CFE中， ∠BAE=∠BCE AE=CE ∠AEB=∠CDB=90° aABE≌△CFE(ASA),故①正确，符合题意： ②：AE⊥BC,EH⊥CD, :∠DCB+∠CFE=90°，∠AEH+∠CFE=90°， ∠DCB=∠AEH, :LEHC=∠EAC+∠AEH, :∠EHC=∠EAC+∠DCB,故②正确，符合题意； ③过点A作AM⊥EH交EH的延长线于M,则∠AME=90°， .M H ,EH⊥CD, B .∠EGC=∠AME=90°， ∠ECG+LGEC=90°， :∠AEE+∠GEC=90°， :ZAEE ZGCE, 在△AEM和△ECG中， 8/120 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠AEE=∠GCE ∠AME=∠EGC, CE=EA △AEM≌△ECG(AAS, :AM=GE, P为AQ的中点， :AP=PO, 在△APM和△QPG中， ∠APM=∠QPG ∠AMP=∠QGP, AP=OP ∴AAPM≌△QPG(AAS, ..GO=AM, :.GO=GE, ∴△GQE是等腰直角三角形， ∴.∠GEQ=45°， :若CQ=EQ,则∠QCQ=22.5°，显然不满足条件，故③错误，不符合题意： ④'△EGQ是等腰直角三角形， ∴∠GEQ=∠GQE=45°，故④正确，符合题意； ⑤过点A作AM⊥EH交EH的延长线于M, :CD⊥AB,EH⊥CD,AM⊥EH, :四边形ADGM为矩形， ∴AM=DG=GQ, ∴.△GQP和△AHP等高， S.GOP:S.AHP=GP PH, :GP为△ADQ的中位线， 9/120 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AD =2GP, △ADE≌△CQE, :AD=CO, ∴.CQ=2GP, S.oor=ce, 故⑤正确，符合题意； 2PH 综上所述，正确的有：①②④⑤， 故选：C 5.(23-24八年级·辽宁锦州期中)如图，在ABC中，AC=BC,∠B=30°，D为AB的中点，P为CD 上一点，E为BC延长线上一点，且PA=PE.有下列结论：①LPAD+LPEC=30°；②△PAE为等边三 角形；③BC=EC+CP;④S西边形4Cp=S△4Bc,其中正确的结论是() A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 【答案】A 【详解】解：如图，连接BP, :AC=BC,∠B=30°，D为AB的中点， ∠CAB=∠CBA=30°，AD=BD,CD⊥AB, CD是4的中垂线，∠4cD=∠BcD=l80-∠C4B-∠CB=×180-30-30r=60, ∴.AP=BP, PA=PE, .PA=PB=PE, .∠PAB=∠PBA,∠PEB=∠PBE, ,LPAD+LPEC=∠PBA+LPBE=LABC=30°，故结论①正确； 10/120